三垂线定理及其逆定理

三垂线定理及其逆定理第一页，共十七页，2022年，8月28日复习回顾

讲授新课巩固新课§9.4.2三垂线定理及其逆定理PCBA导入新课第二页，共十七页，2022年，8月28日A1B1C1ADD1BC如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，DD1⊥平面AC,DD1为平面AC的垂线，BD1为平面AC的斜线。思考：1、直线BD,AC和BD1之间有怎样的位置关系？2、总结：第三页，共十七页，2022年，8月28日三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。OaAP已知：PO、PA分别是平面的垂线、斜线，AO是PO在平面上的射影。a，a⊥AO。求证：a⊥pA第四页，共十七页，2022年，8月28日OaAP证明：a⊥PAa⊥平面PAOPA平面PAOPO⊥

a

AO⊥aPO⊥aPO∩AO=O第五页，共十七页，2022年，8月28日小结：OaAP定理中需要“一面、四线、三垂直”三垂线定理的实质是空间两直线垂直的判定定理（思想的转化）垂线最重要线射垂直线斜垂直第六页，共十七页，2022年，8月28日PAOaα问题：三垂线定理中包含那些垂直关系？线面垂直线斜垂直线射垂直第七页，共十七页，2022年，8月28日

注意：直线a一定要在平面内，如果a不在平面内，定理就不一定成立。a例如：当b⊥时，

b⊥OA探讨：如果将定理中“在平面内”的条件去掉，结论仍然成立吗？b但

b不垂直于OP

bPAOα第八页，共十七页，2022年，8月28日PCBA例1已知P是平面ABC外一点，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，

求证：PC⊥BC证明：∵P是平面ABC外一点

PA⊥平面ABC

∴PC是平面ABC的斜线∴AC是PC在平面ABC上的射影∵BC平面ABC且AC⊥BC∴由三垂线定理得

PC⊥BC第九页，共十七页，2022年，8月28日三垂线定理解题的关键：找“三垂”一、找线面垂直二、找平面的斜线在平面内的射影和平面内的一条直线垂直解题回顾PAOaα第十页，共十七页，2022年，8月28日线射垂直线斜垂直PAOaαPAOaα平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直三垂线定理的逆定理？第十一页，共十七页，2022年，8月28日在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。PAOaα

已知：PA，PO分别是平面的垂线和斜线，AO是PO在平面的射影,a,a⊥PO求证：a

⊥AO三垂线定理的逆定理第十二页，共十七页，2022年，8月28日三垂线定理的逆定理

在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。线射垂直线斜垂直定理逆定理线射垂直

线斜垂直定理逆定理第十三页，共十七页，2022年，8月28日⑴若a是平面α的斜线，直线b垂直于a在平面α内的射影，则a⊥b（）⑷若a是平面α的斜线,b∥α,直线b垂直于a在平面α内的射影，则a⊥b（）⑶若a是平面α的斜线，直线bα且b垂直于a在另一平面β内的射影则a⊥b（）⑵若a是平面α的斜线，平面β内的直线b垂直于a在平面α内的射影，则a⊥b（）练习：判断下列命题的真假：√×××ADCBA1D1C1B1第十四页，共十七页，2022年，8月28日例2在四面体ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD求证：AD⊥BC∴DO⊥BC，于是AD⊥BC.证明：作AO⊥平面BCD于点O，连接BO，CO，DO，则BO，CO，DO分别为AB，AC，AD在平面BCD上的射影。OADCB∵AB⊥CD，∴BO⊥CD，同理CO⊥BD，于是O是△BCD的垂心，第十五页，共十七页，2022年，8月28日小结：三垂线定理及其逆定理使用三垂线定理及其逆定理时应注意的问题：作业：课本24页1、2第十六页，共十七页，2022年，8月28日复习回顾：1、直线和平面垂直的定义