a小学数学奥赛4-3 任意四边形、梯形与相似模型(三).教师版

任四、形似型板块三

例题精相似三角形模型(一金字模

(二沙漏型A

E

AD

EB

G

C

BC①

ADAEDE；ABACBC②S：:．所的角，是状同大不的角形只要形不变不大怎改它都相)，与似角相的用性及理下⑴似角的切应段长成例并这比等它们相比⑵似角的积等它相比平；⑶接角两中的段做角的位．三形位定：角的位长于所应底长一半相三形型给们供三形间边面关相转化工．在学数，现多情是为条行而现相三角．【1如图已在行边ABCD中，16，AD，BE，么FC的长是少D

CFA

B

E【考点】相似三角形模型【度】2星【型】解答【解析】图中有一个沙漏，也有金字但我用就能解决问题，因为平行于，所4BFBECD4:16，以．1【答案】8【2如图量玻管径量具ABC，的为15厘米，被分等如小璃口DE正对量上等处DE平，那小璃口DE多？

BEA0

D1030

50【考点】相似三角形模型【度】3星【型】解答【解析】有一金字塔模型，所DEABDC:，DE:1540:60，以DE厘米．【答案】10【3如图DE行BC，若AD:，那么S

:

．

【考点】相似三角形模型【度】2星【型】填空【解析】根据字塔模型::DE:BC，S::54:25，设4份，则份S份所以:．eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)【答案】4:15【4如图ABC中，，FG，BC互平，AD，则

:S:四边FGF

．

【考点】相似三角形模型【度】3星【型】填空【解析】设份，根据面积比等相似比的平，所以eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)

:

AD:AF，SAD:，所以【答案】

，因此S份，::S3:D

份，进而有SD

份，【固如，DE平行BC，AD，，，AC长AD

EB

【考点】相似三角形模型【度】3星【型】解答【解析】由金塔模型得AD:ABAE:BC2:5，以【答案】10

【固如，△中DE，FG，，PQ，BC互平，ADFMMP，则S

△

:四形D

:四形

:四形

:四形

．AD

EF

GM

P

QB

C【考点】相似三角形模型【度】3星【型】填空【解析】设份:SAD，此eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)份，S，S份．F四形四形

，进而有四形

份同理有所以有

△

:四形D

:四形

:四形

:四形

3::7:9【总结继续拓展，我们得到一个规律：平行线等分线段后，所分出来的图形的面积成等差数列【答案】7:9【5

已知

△

中，

DE

平行

BC

，若

AD:DB

，且

D

比

大

8.5cm

，求

．

【考点】相似三角形模型【度】3星【型】解答【解析】根据字塔模型:(23)，

:

:5

:25，设

份则

eq\o\ac(△,)

25份，S

D

2521份，

D

比S

大份，恰好8.5cm，所以cm【答案】

【6如图MN平行，

eq\o\ac(△,)

eq\o\ac(△,)

:9

，

AM

，BM的长M

【考点】相似三角形模型【度】3星【型】解答【解析】在沙模型中，因为:S:9，以MN:BC，金字塔模型中有：AM:AB:，为AMcm，，以BM【答案】2【固如，知平行，BO，那AB________AD

EOB

C

【考点】相似三角形模型【度】3星【型】填空【解析】由沙模型得:EO:DE3:2，再由金字塔模型得AD:DE:BC2:3．【答案】2:11【7如图ABC中AB，AD，ED与平行的面是平厘那44的积

平厘．

D【考点】相似三角形模型【度】3星【型】填空1【解析】因为AD，ED与平，4根据相似模型可知ED:BC4，EO:OC4，4平厘米，则平方厘，15又因为SAD:DC，所以平方厘)．3【答案】

53【8如下，方边为l0厘米BO长厘。AE=____米AOD

E

C【考点】相似三角形模型【度】3星【型】填空【关键词】走美杯，级，决赛，第题10分【解析】AOBeq\o\ac(△,)EDA相，对应边成比例ABBO：，AB×AD÷BO10×10÷812.5(米。【答案】【9如图，知方ABCD的边是厘米是CD边的点，接角交BE于点，则角AOB的面是平厘。、24B、C、D、【考点】相似三角形模型【度】3星【型】选择【关键词】华杯赛，五年级，初赛【解析】C【答案】

【10在中正形，A，B，C分是在的点，VCDO面是面的倍C

CB

BAD

E

OA

D【考点】相似三角形模型【度】3星【型】解答【解析】连接BC知OA∥EF据相似三形性质OD:AD::DE11所以VCDO的面积等于的面积；由AC可得COOA，所24S，VCDO的积是ABO面的3．VCDOCBOV【答案】3【11图是一个方，中标值单位厘．：影分面是少方米1010【考点】相似三角形模型【度】4星【型】解答【解析】如下所示，为了方便叙，将某些点标上字母，并连接．DCx

10

x

x10

x

10eq\o\ac(△,)AEG面积为x，eq\o\ac(△,)EBGeq\o\ac(△,)BFGeq\o\ac(△,)FCG的积均为x，eq\o\ac(△,)ABF的积为，S

ABF

1100400100，那么正方形内空白部分面积为4x2所以原题中阴影部分面积为【答案】

20

4008003

(平方厘米)．【】如图线AB与垂直已ADBD，那么中影分积多？

形形D

D

DO

C

C

C【考点】相似三角形模型【度】3星【型】解答【解析】解法：这个图是个对图形，且各边长度已经给出，不妨连接这个图形的对称轴看看．作辅助线BO，则图关于称，有，，且S::．设的积为份，则VDBO的积为3，直角三角形的面积为8份因为，阴影部分的面积为4份所以阴影部分的面积为0．解法二：连接D、AC．由于AD，BDBE，所以DE∥，据相似三角形性质，可知DE:ACBD:BA3:5，根据梯形蝴蝶定理，S:S::

:

:15:15:所以:S，阴影

1532

；又

形

11，以S．2232【答案】15【13如，边和EFGH都平四形四形的积1BG:GC3:1，则边EFGH面．

DF

HG

【考点】相似三角形模型【度】3星【型】填空【关键词】华杯赛，精英邀请赛【解析】因为FGHE为行四边形，所以//AG，所以为平行边形．11BG:，么，以．44又AEGC所以BG1:3，据漏模型，FGAFAE，所以

3．4【答案】3【14已三形面为a，:2:1，是的点且∥，交CD于求影分面．D

B

【考点】相似三角形模型【度】4星【型】解答【解析】已知AF:FC2:1，且∥BC，利用相似三角形性质可知EFBC:AC，所以

323BC，且S:S4:．又因为E是BD的点所以EG是三角形的中位线那

112BC，EG:EF:4，23所以GF:EF，可得S

:

1:8，以S

:

，那么S

a18

．【答案】

a18【15已正形过直分交AB、的长于、，AEcm，cm，正形的边．D

CF【考点】相似三角形模型【度】3星【型】解答【解析】方法：本题有两个金塔模型，根据这两个模型有BC:AFCEDC:AE:，正DCCFx方形的边长为x，以有，，得，以正方形的边AFAE15长为．方法二：或根据一个金字塔列方程即

x15，解得x10【答案】6【16如，角是一锐三形料边BC120毫，AD毫米要它工正方零，正形一在上，余个点别、AC上，这正形件边是少

【考点】相似三角形模型【度】3星【型】解答【解析】观察中有金字塔模型个用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以有

PNAP，，BCABAB设正方形的边长为x毫米，长为48毫米．

PHBPx，，解得，正方形边AD120【答案】48【固如ABC，有长方DEFG，G、在BC，D、E别在上，是△的高，M，DG:DE2厘米AH米求方的和．

11

A

EB

C【考点】相似三角形模型【度】3星【型】解答【解析】观察中有金字塔模型个用与已知边有关的两个金字塔模型，所以

DEADDGBD，，BCAH所以有

DEDGBD2xx24DGDEx以有得2x，BCAHAB1277因此长方形的长和宽分别是

，7【答案】长，【17图是长2cm的正形从G到正形点、D连成个角，知个角在上截的EF长度cm，么三形GDC面是少G

F

D

M

【考点】相似三角形模型【度】4星【型】解答【解析】根据中条件，可以直判断出F与DC平，从而三角形EF与角形GDC相，这样，就可以采用相似三角形性质来解决问题．做垂DC于M，于N．因为EF∥DC所以三角形GEF三角形GDC相似，且相似比为:DC，所以GN:GM，因为MNGMGN，以GM18

，所以三角形GDC的积2【答案】108【18如，一边为的正形边分延1和3割出中阴部，阴部的积是少O

M

N【考点】相似三角形模型【度】3星【型】解答【解析】根据似三角形的对应成比例有：

NF；，122则NF

55，，93

阴4阴4【答案】

512【19图的小方的长为数厘)，们面之等52平方厘，阴部的积是．ABC

DGHF【考点】相似三角形模型【度】3星【型】填空【关键词】101中【解析】设大、正方形的边长分别为厘、厘()，m

52，以m．，m

，合题意，所以m只为或7．检验可知只有、n满题意，所以大、小正方形的边长分别为厘米和厘米．根据相似三角形质，BG:GF:6:，而BG，BG3.6(厘，以阴影部分面积为：

3.610.8平方厘米)．【答案】【20如，是矩一对线中，中经出个角的面为和，那阴部的块角角的积多？

A

AC

4OEB

C

4OEB【考点】相似三角形模型【度】4星【型】解答1【解析】连接OB积为4的角形占了矩形面积的，所以S所:EA1:3,所△5CE:5:8,三角形相似可得阴影部分面积为)2．88【答案】

【21已长形ABCD的积70厘，是的中，、G是边上三分，阴△的面是少米A

E

DA

E

DH

H

B

F

B

F

【考点】相似三角形模型【度】3星【型】解答【解析】因为E是的点，F、G是BC边的三等分点，由此可以说明如果把长方形的长分成6份的话，那么EDAD、GC份大家能在图形中找到沙漏EODBOG：

ODMeq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,S)BG，以OBO，当于把BD分成()7份同理也可以在图中在次找到沙漏：△EHD和△BHF也是沙漏，EDBF，此可以推出：HDBH相于把分成3)份我就可以把分成份5和7的小公倍)其中OD占1ODMeq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,S)HO6份连接则知BED的面积为积为：(平方厘米)35

352

，在BD为的三角形中HO占6份则面【答案】3【22ABCD是平四形面为72平厘米E、F分为、BC的点则中阴部的面为平厘．A

D

A

G

DE

O

E

O

HM

MB

B

F

C【考点】相似三角形模型【度】4星【型】填空【解析】方法：注意引导学生用三角形的中位线定理以及平行线的相关性质．设、H分为AD、DC的中点，连接GH、、．可得

1=4

，对角线被EF、AC、GH平均分成四段，又OM∥EF，所以DOED:EDOD，

2BD:BD:3，4所以

11172(平厘米，2(平厘．334同理可得平方厘米，S平厘米．所以S24(平方厘米)，于是，阴影部分的面积为(平方厘米)方法二寻找图中的沙漏，:CD:2FC:ADCMAM因为的11三等分点，(平方厘米)，平方厘米)，644同理【答案】48

(平方厘米)，所以S(平方厘米)．阴影【23如，角PDM的积平厘，方ABCD的是6厘，是厘，M是BC的中，三形的面积方米

DM

K【考点】相似三角形模型【度】4星【型】填空【解析】本题矩形内连接三点成一个三角形，而且其中一点是矩形某一条边的中点，一般需要通过这一点做垂线．取AD的点，接，设交PD于K．则三角形PDM被成个三角形，而且这两个三角形有公共的底边K，知三角形PDM的积

18等于BC(方厘米，所以MK=(厘米，那么(厘米．2333因为NK是三角形的中位线，所以APNK18(平方厘米)．23

83

(厘米)所以三形的面为【答案】8【24如，方中，E为的点与BE、分交G、H，OE直AD于E，交AF于O，知

，HF

，．

D

H

F

C【考点】相似三角形模型【度】3星【型】解答【解析】由于∥DF，利用相似三角形性质可以得到AB::5:3，又因为E中，那么有:23所以:OE10:3，利用相似三角形性质可以得到:GOAB:，2而

111040，以AGcm．221313【答案】

1【25右中方的积1，、别为AB、BD的点GC．阴部分面．3D

D

FG

G

HI

【考点】相似三角形模型【度】3星【型】解答【解析】题中件给出的都是比关系，由此可以初步推断阴影部分的面积要通过比例求解，而图中出现最多的就是三角形，那么首先想到的就是利用相似三角形的性质．阴影部分为三角形，已知底边为正方形边长的一半，只要求出高，便可求出面积．可作FH垂BC，GI垂BC于I．根据相似三角形性质，CI:CG:CF1:3，又因为CHHB，以CI:CB6，即6，以

15．224【答案】

【26梯的积12，ABCD，为AC的中，的长与AD交于F，边CDFE的积．

33CBD33CB

CG

DC

【考点】相似三角形模型【度】4星【型】填空【解析】延长BF、CD相交于．1由于E为AC的中点，根据相似三角形性质，ABGDGCAB再根据相似三2角形性质，:ABDG，GF:1:3，而S::CD:1，11所以SS．1118又，S，以1SS．622633【答案】【27如，角ABC的面积60平厘，D、、F分为边的点那阴部的积是平厘．AAD

M

E

D

M

EN

NB

F

CB

FF

C【考点】相似三角形模型【度】4星【型】填空【解析】阴影分是一个不规则四边形，不方便直接求面积，可以将其转化为两个三角形的面积之差．而从图中来看可以转化为BEF与EMN的积之差可转化为BCM与的面积之差．(法1)如图，连接DE．由于D、、分为各边中点，那么BDEF为行四边形，且面积为三角形面积的一半，即平方厘米；那么的积为平行四边形BDEF面积的一半，为平厘米．根据几何五大模型中的相似模型，由于DE为三角形ABC中位线，长度为BC的半，则1EM:BM:，以EM；31EN:FNFC1:1，以EN．21那么EMN的积占BEF面积的，所以阴影部分面积为5(平方厘米)．3(法2)如图，连接．根据燕尾定理，:EC，:ADDB，11所以SS平方厘米，3311而S30平厘，所以7.5方厘米，2那么阴影部分面积为207.5(平方厘米)．【总结求三角形的面积，一般有三种方法：⑴利用面积公式：底；⑵利用整体减去部分；

242eq\o\ac(△,)⑶利用比例和模型．242eq\o\ac(△,)【答案】【28如,ABCD是角形AB4,ADDE，么形ABCD的面是少?A

BO

FO

E

C

DE

【考点】相似三角形模型【度】3星【型】解答【解析】延长AB于点分计算eq\o\ac(△,,)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,,)DOCeq\o\ac(△,,)BOC的积，再求和．BF∴S；1又∵eq\o\ac(△,)3∴7.5,S7.5,S7.522.5eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)∴【答案】40

7.522.5【29边为8厘米2厘的个方并在起那图阴三角的积多平厘？

MN

OHDC【考点】相似三角形模型【度】3星【型】解答【解析】给图标注字母，按顺针方向标注，大正方形为BCD，正方形为MNDE，EB分交AD于OH两，EC，AOOC∴AC，AHADS1∵72eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)∴

eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)

94040【答案】【30如图长形中EF，FG，AG的长DF

C【考点】相似三角形模型【度】3星【型】解答

eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)【解析】因为∥BE，根据相似三角形eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)

DGAG，GB又因为DF∥，

DGFG，GB所以

AGFGGE

，即GE25，所以AG．【答案】15【31如，知方ABCD的边为，FBC边的点是DC边上点且DE:，AF与相于G，求S

A

AB

G

F

G

D

E

D

E

M

D

【考点】相似三角形模型【度】4星【型】解答【关键词】迎春杯【解析】方法两线交于点M出个沙漏有:FC1:1，因此，根据题意有，再根据另一个沙漏有:AB:EM4:7，所以eq\o\ac(△,)

443241111

．方法二：连接,EF，别求，S4，据eq\o\ac(△,4)eq\o\ac(△,)432蝴蝶定理S:::7，以．41111【答案】

【32如所，知行边ABCD的面是，E、F是AB、AD的中，BF交ECM，BMG面．

F

D

I

A

H

E

C

B

【考点】相似三角形模型【度】4星【型】解答【解析】解法：由题意可得，EF是AB、AD的点，得EF//，FD:BCFH:2EB:CDGD所CH:GH:EF2:3，并得G、H是BD的等分点，所以BGGH所以:EFBM:，211所以BM；52411又因为BD，以S．35530解法二：延长C交于I，右图，可得，AI:BC:，从而可以确定M的的位置，BM:IF，BM

21，BGBD(鸟头定理，53

331515可得331515

2121S535330【答案】

【33正形ABCD面是平厘，是的点F是BC的点四形BGHF的积平厘．A

D

DGHFE

GHFBM【考点】相似三角形模型【度】4星【型】填空【关键词】清华附中，入学测试【解析】欲求边形BGHF的积求出EBG和的积．1由题意可得到：:EB:CD所以可得：将、DF延交于M点，可得：BM:DCMF:FD:FC，

12而EH:HCEMCD:CD2得CH，251而，以S21211SS．本题也可以用蝴蝶定理来做，连接EF，定H的置(也就是FH:)，同样也能解出．【答案】14【34如图，已知DCF

eq\o\ac(△,)E

点DE,分别在,,上，且AD2,BDAFFC，是少CEFA

D

B

A

D

B【考点】相似三角形模型【度】4星【型】解答【解析】△ABC的面积已知，若知道的面积占△ABC的分之几就可以计算出△ABE的面积．连接CD．∵S四形D

∴∴与平，

eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)∴eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)△∴∵BD∴::55∴eq\o\ac(△,)7【答案】10【35如长形中EF别CD、边上点，DEECFB求

PM:MN:NQ

．

M

FBAQN

M

FBGN

C

C【考点】相似三角形模型【度】4星【型】解答【解析】如图过E作AD的平行线交PQ于G．由于E是DC的点，所是的点．由于DEEC，FBAF，所以AF:2:3，BFCE4:3．根据相似性，PM:MG:MEDE2:3，GN:NQ:NBEC:BF3:4233于是PMMNGQ，NQPG，55357所以PM::NQ

2364:::18:10．535【答案】【36如图、E、F、G均各的等点线EG和DF把三角ABC分成部，果四形FOGC的面是平厘，求角的面积

G

GO

O【考点】相似三角形模型【度】3星【型】解答【解析】设三形以AB为的高为h，由于FG:AB，所以ED:FG2；12所以三角形以GF为的高是hh；33又因为三角形以FG为底的高是h，22所以三角形OGF的积与三角形的面积之比h:h，93所以三角形的积为(平方厘米，32而三角形CFG面积占三角形的，3

22所以三角形的面积是22

49

40.5(平方厘米)．【答案】【37如，为正形AMNBDEFC且请四形的面为多少D

F

D

E

F

Q

S

M

A

PM【考点】相似三角形模型【度】4星【型】解答【关键词】香港保良局小学数学世界邀请赛【解析】(法1由//CD，

MPPCDC

MB，所以PCPM，，以EC11MQMC，以，以S占的，26所以2)．1(法)如图，连结AE，则S(cm

RBAB，而，所以，AB22MNS(．而(cm)，因为3332DC

，14所以MC则(cm33

，阴影部分面积等于

162cm)．33【答案】

23【38如所示在三形ABC中DC=3BD，DE=EA．三形ABC的面是．阴部的积多?F

D

C【考点】相似三角形模型【度】4星【型】解答【关键词】奥林匹克题【解析】eq\o\ac(△,)ADC同，所以底的比等于面积比，那么有

ADC

DC4而为AD中，所以

S

DEC

1S2连接eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)面相，设

则．

的面积也为x，

S

ABD

11S.44

8FDC8FDCFx

D

CS

FDE

14

x

而

3Sx.DECS

1:Sx);(x)3解得x.4856所以，阴影部分面积为

S

338567【答案】

37【39一等直三形一正形图摆，、、这块面比次4:．那，④⑤两的积是．D①

②

A

①

B

②

C

KE

H③

⑤

③⑤④

④GFI

【考点】相似三角形模型【度】3星【型】填空【关键词】迎春杯，六年级，初赛【解析】如图:S，:BC2，:，::，∵AE，:CD7:2EHIF∴:AC:，

::14．【答案】9:14【40下中四形是长1正形E、G、分别AB、CDDA重，如左