专题3.7例析一次函数图象截出的等腰三角形问题-2018一轮微突破原卷版学霸在路上

例析一次函数图象截出的等腰三角形问还会涉及等腰三角形一系列性质,的这个特殊的三角形能给我们解题带来许多的.例1 如图1，直线yx4与两坐标轴分别相交于A、B两点，点M是线段AB上任意一点(A、B两点除外)，过点M分别作MCOA于点C，MDOB于点D.MAB上运动时，你认为四边形OCMD的周长是否发生变化?并说明理由M运动到什么位置时，四边形OCMD的面积有最大值?最大值是多少2,3当四边形OCMD为正方形时，将四边形OCMDxa(0a4)，正方形OCMD与 部分的面积为S.试求S与a的函数关系式，并画出该函数图象分析第(1)问，要想确定四边形的周长在点的运动过程是如何变化的，首先要解决的问题就是结合图形表示出四边形的周长.根据矩形的性质，已知这里四边形的周长是2(OCMC，四边形周长的变化规律就取决于线段和OCMC的变化规律.结合题目条M的纵坐标的绝对值，这是这一方法的精髓;二是转化线段和法，根据条件知道OAB是一个等腰直角三角形，且腰OAOB4，因此MCCA，所以MCOC就转化成了OCACOA，从而也能将所求问题化解思路，解题的关键是先表示出四边形的面积，即OCMC，利用坐标法就可以将四边形的面积问题转化成确定面积的分割法表示;二是分类的思想，抓住a的变化规律，立足正方形成立的条件，给出a的正确分类解(1)yx4ABA的坐标为(40)B标为(04).所以OA4OB4，所以ABO是等腰直角三角形.因为MCOA，MDOB，所以四边OCMD是矩形，且MCA是等腰直角三角形，所以MCAC因为矩形OCMD的周长为2(OCMC)2(OCCA)2OA8，所以四边形OCMD8;设四边形OCMDSMD(x4)xx2MD(x4)xx24x所以四边形OCMDMx(0x4)x2，即当点M运动AB的中点时，四边形OCMD的面积最大且最大面积为4;SOCMD与直线的交点Q2，当0a2时，S41a223，当2a4时，此时a为正方形的边与直线交点的横坐标，所以交点的纵坐标为a4; 图形的等腰直角三角形的腰长，所以s1(a4)2;所以S与a函数的图象如图4所示2点评这道题是知识与方法的盛宴.涉及的知识点广，有几何知识，一次函数知识，二次函数知识等;涉思与探究2(2013年长沙中考题)5yx2xy轴分别交于点AB，动点P(ab在第一象限，由点Px轴y轴所作的垂线PMPN(垂足为MN)分别与ABEFP(ab)PMON2.求OAB的度数求证AOFBEO面积为S1OEF的面积为S2，试探究:S1S2是否存在最小值?若存在，请求出该最小值;若不存在，请分析第(1)问的证明是比较容易的;第(2)问的证明抓住一个关键点:两边对应成比例且夹角相等的两个所以OAB45;

y0时，x2A坐标为(20)B坐标为(02)，OAOB法1OMPN的面积是2P坐标为(a,2)E坐标为(aa2)Fa(2a2(,

AF ，BE OA 222 ，OA 222 OAAF

A(2,0)，B(0,OAOB4P的坐标为(aE(a2a)F(2bb)，如图AFDAF

BEPBE

BE BE 2a2，abBEBEBEOAOAAF 根据(2)知，以BF，EF，AE为边的三角形是直角三角形，且斜边是EF 2(ab2)，所以三角S

2(ab2))2(ab 2过点O作EF边上的高OD，易求得高为OD 2

122

2(ab2)abSS(ab2)2(ab 所以关于ab2SS有最小值，当ab21 但是此值不在取值范围内，因此取不到.因为ab2ab 2ab2222ab2

2SS

2)22222 22结论 如图5，在平面直角坐标系中直线yx2与x轴，y轴分别交于点A点B,动点P(a,在第一象限Px轴y轴所作的PMPN(垂足为MN)分别与直线AB相交于点E，点结论 PxyPMPN(垂足为MN)ABE为边的三角形的形状，并证明你的猜想.结论35，在平面直角坐标系中，直yx2x轴y轴分别交AB,动点P(ab)在第一象限由点Px轴，y轴所作的垂线PM，PN(垂足为M，N)分别与直线AB相交于点EF，S2OEAS3，试判断S1S2S3之间的关系，并证明你的猜想2，你同样能轻松解决结论45，在平面直角坐标系中，直yx2x轴y轴分别交AB,动点P(ab)在第一象限由点Px轴，y轴所作的垂线PM，PN(垂足为M，N)分别与直线AB相交于点EF，S2MEAS3，试判断S1S2S3之间的关系，并证明你的猜想.55yx2xyAB,P(abPxyPM，PN(垂足为M，N)ABEP(abPMON2P所在函数的解析式.1EOF45 2：直角三角形.3S2S2S2.4S2S1 5y2x C（1，0，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值 3.（2017丽水）xOyy=﹣x+mx轴，yA，BC（2，0当直线AB经过点C时，点O到直线AB的距离 POBPA，PC，若∠CPA=∠ABOm的值是设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（）A. B. C. D.

如图，直线l：y=x+1交yA1x轴正方向上取点B1OB1=OA1；过点B1A2B1⊥x轴，交l于点A2x轴正方向上取点B2B1B2=B1A2B2作A3B2⊥x轴，交l于点A3x正方向上取点B3B2B3=B2A3；…记△OA1B1S1，△B1A2B2S2，△B2A3B3S3S2017等于（）A. B. C. D.xOyD(－1，2)El2yx2yx6xAB相交于点CDABEAC上一个动点（A和C重合DEDDFDEBCF（1）判断ABC（2）当点E段AC上运动时，四边形CEDF的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，（3）