2021徐汇区高三二模数学解析

2021徐汇区高三二模数学解析一.填空题（本大题共题，1-64分，7-12每题5分，共541.集合A=x2−2x0,B={x||则AB=__________.【考点】集合的运算【解析】由A=∣x−x，解得A=x0x，由B={x||，解得B={x|1x220所以AB=x−1x.2.已知函数4f(x)2=+3x,则方程f1(x)=4的解x=__________.【考点】反函数【解析】由f1(x)=4知函数f1(x)经过点(x,4)，则f(x)经过点(4,x)，将横坐标等于4代入4f(x)2=+3x得f(x)=1所以此题答案为x=1.113.等比数列()anN*中，若a=,a=则a=__________.n258162【考点】等比数列性质【解析】根据等比数列性质得a2=aa，所以528a81a244=5==.1a2164.若方程x2−2x+3=0的两个根为和则||+|=__________.【考点】实系数一元二次方程的复根.【解析】因为方程x2−2x+3=0的根为=1+i，=1−i所以==3，所以||+|=23.5.函数f(x)=Asin(x+)A0,|2的部分的图像如下图所示，则f(x)=__________.1【考点】三角函数的图像.【解析】根据图像可以看出A=2,T=8所以==，将点(2,代入f(x)=2sin(x+)T44得满足条件的=0，所以f(x)=2sinx.46.双曲线x−y=的焦点到渐近线的距离等于__________.22149【考点】双曲线的图像.x2−y2=的焦点坐标为(13,0)和−13,0)，渐近线方程为：3【解析】根据题意知双曲线1y=x，所492以焦点到渐近线的距离为3.7.在二项式+ax)7(aR)的展开式中，x的系数为73则(a+a+a+的值是__________.23n→【考点】二项式定理+数列极限.【解析】因为二项式+ax)7的展开式中，x的系数为7323a1(a+a+a+=.1−a2n→71，即C161=7a=，所以a=，所以7338.已知正四棱柱ABCD−ABCD的八个顶点都在同一球面上，若AB=1,1111AA=,则A,C两点间的球面12距离是__________.【考点】球面距的计算.【解析】根据题意先求出正四棱柱的外接球O的半径R,因为AB=1,12AA=所以易求出球体的半径为

R=1，又因为A,C两点间的距离为2，所以=，所以球面距为

22AOC.29.在中，已知AB=BC=2,若yCsinC=则y的最小值是__________.sinCC【考点】三角函数的最值.【解析】根据题意因为在中==2所以13,Ca2+b2−c24+b2−13+b23b====+因为1b3所以312abbbb42CcosCsinCy==C−sinC=2cosC−1所以sinCcosC22212y1，y的最小值是12.aaa11121310.已知三行三列的方阵aaa212223aaa313233中有9ai=2,3;j=2,3)从中任取三个数，ij则有且仅有两个数位于同行或同列（注意不能同时出现既有两数同行、又有两数同列的情况）的概率是__________.(结果用分数表示)【考点】概率.【解析】将此题分为两类：（1）仅有两个数字同行，（2）仅有两个数字同列（1）先选那个单独的数字有9种，剩下同行为292=种，（2）和（1）同理，也有18种，所以共有36种可能.所以概率为363=.C73911.在ABC中，AM=AB,AN=AC,BN与CM交于点E，=a,=b,则=______（用a,b23表示）【考点】平面向量基本定理【解析】设AE=xa+yb由AE=xa+yb=xAB+3yAN，B,E,N三点共线x+3y=1AE=xa+yb=2xAM+yAC，M,E,C三点共线2x+y=121x=,y=55=a+b55312.已知实数a,b使得不等式ax2+bx+ax对任意x2都成立，在平面直角坐标系xoy中，点(a,b)形成的区域为，若圆的任一点都在x2+y2=r2中，则的最大值为___________【考点】函数恒成立【解析】由x2，aax2+bx+axax++b1x易知a=0b1，若axab11baxa1b++−−+−xxa当ayax=+在2单调递增，x−−++2a1b2ab10a2a1b+−5a+b−2022a1−b+−a2ab10当ay=ax+在2单调递减，ax2a+−1−b5a+b+202由图可知当圆与直线5a+b−2=0相切时r最大r=d=22929二.选择题（本大题共4题，每题5分，共13设:x1且y:x+y3，则是成立的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【考点】命题与条件【解析】，,比如x=y=1故选A.414．设z、1z为复数，下列命题一定成立的是（）2A.如果z20，那么z021=z=1+z=22B.如果z=，那么1z2z=1z2C.如果za1，a是正实数，那么−aza1D.如果z=a1，a是正实数，那么z1z=a21【考点】复数【解析】对于A,如果z=−iz=+i,2211,211+z2=0,所以z=z=不正确.120对于B，如果z=−iz=+i,11,21z=z,那么12z=z不正确.对于C,z是正实数，说明复数对121应的点到原点的距离小于a，所以−a不正确.对于D,z=a,a是正实数，那么1.1313zzaiai=+−112222=a正确.2故选D.15．若f(x)是R上的奇函数，且f(x)在+)上单调递增，则下列结论：①y|f(x)|是偶函数；②对任意的xR都有f(−x)+|f(x)=0；③y=f(x)f(−x)在(,0]上单调递增；④反函数()y=f1x存在且在(,0]上单调递增．其中正确结论的个数为（）A．1B2C．3D．4【考点】函数的奇偶性、单调性、反函数【解析】(1)是R上的奇函数,|f(−x)|−f(x)|f(x)|为偶数,即函数为偶数，(1)正确；(2)设f(x)=x,满足条件，则f(−x)+|f(x)=−x+|x|，但当x0时，f(−x)+|f(x)=−x−x=2x0对任意的xR都有f(−x)+|f(x)=0不成立，(2)错误;(3)函数f(x)是奇函数,y=f(x)f(−x)=−f2(x)5设t=f(x),则y=t2,f(x)在+)上单调递增f(x)在(−,0]上单调递增，f(x)函数y=t2在(−,0]上单调递增,根据复合函数单调性之间的性质可知y=f(x)f(−x)在(−,0]上单调

递增，(3)正确.−(4)反函数的定义域不一定包含(−,0]，比如f(x)=x，它的反函数定义域为,，不在(−,0]上22单调递增，(4)错误;故选B.16．已知an是公差为d(d的等差数列，若存在实数xxxx满足方程组1,2,3,sinxsinxsinxx+++=123asinx+asinx+asinx+ax=1122339则d的最小值为（）A.98B.89C.54D.45【考点】数列、三角函数【解析】②①：f()=a−+a−++a−25129f()=f(a)=2(4d+3d+2d+d)25d554故选C.三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.在直三棱柱ABC−ABC中，111BA⊥BC,BA=BC=BB=211)求异面直线AB与1AC所成角的大小；112)若M是BC的中点，求点M到平面ABC的距离11【考点】空间角度和距离【解析】（）连结CB，则CAB或其补角即为所求角11由BA⊥BC,BB⊥BCBC⊥平面1ABAB11AB1=C=AC=2+2=22226

CAB=

13（2）由M是BC的中点，则点M到平面ABC的距离等于点B到平面11ABC的距离的1112设点B到平面ABC的距离为d11由AB⊥BBAB⊥BCAB⊥平面111,111111CBCB1111S=ABBC==22222ABC111112211S=ABBB=22=211B1112211由V−=V−Sd=SBCBABCCABBABCABB331111111122d=22d=2故点M到平面ABC的距离为1122另：建系也可18.已知函数f(x)=x+a−1−x，21)若a=2，求函数f(x)的零点；2)针对实数a的不同取值，讨论函数f(x)的奇偶性【考点】函数的性质综合【解析】（１）f(x)=x+2−1−x2=0x+2=1−x2x=−22（２）由1−x20−1x1当a=0时，f(x)=x−1−x2,f(−x)=−x−1−x2=f(x)此时f(x)是偶函数当a0时，f=a+1,f(=−a+1ff(f+f(0f(x)是非奇非偶函数719．元宵节是中国的传统节日之一.要将一个上底为正方形ABCD的长方体状花灯挂起，将两根等长长度大于、C两点距离)的绳子两头分别拴住、C；D，再用一根绳子OP与上述两根绳子连结并吊在天花板上，使花灯呈水平状态，如图.花灯上底面到天花板的距离设计为1米，上底面边长为米，设θ，所有绳子总长为y米.(打结处的绳长忽略不计)(1)将y表示成θ的函数，并指出定义域；(2)要使绳子总长最短，请你设计出这三根绳子的长.(精确到0.01米)【考点】三角比及运用【解析】(1)设上底中心为M，则|AM|=0.42，|PM|=0.42θ，|PA|=0.42cosθ，故1.62y=4|PA|+|OP|=4|PA|+|OM|-|PM|=cosθ+1−0.42tanθ=0.42(4sin)−θ+520.42(4sin)11,θ0,arctan.θ4(2)记A=4−sinθθ，则θ=4，即1+A2sin(，π由sin()1得A15，等号成立时arctan15θ=−2520,arctan，4从而ymin=0.430+13.19(，此时这三根绳子长分别约为1.17米，米，米.x+y=上有两点P()及Q()，直线l:y=+b与椭圆交于A、B两点，与线段2220.已知椭圆163PQ交于点C（异于P、Q）.(1)当k=1且PC=CQ时，求直线l的方程；28(2)当k=2时，求四边形面积的取值范围；(3)记直线、、QA、QB的斜率依次为k、1k、k、23k.当b0且线段AB的中点M在直线y=−x4上时，计算kk的值，并证明：221+k22k3k4.12【考点】解析几何【解析】(1)设C(a,b)，则PC（a+b−CQ=(2−a,−1−b)，由PC=CQ，得2+=−=−12a2(2aa23解得11−=−−=b1(1bb.23,所以，直线l的方程为12y−=x−(−)，即x−y+1=0.33(2)l的方程为y=2x+b，代入椭圆方程，整理得9x2+bx+b2−6=0(*)则|AB|=2b)−36(2b−6)2−b)2221+2=,99由l与线段PQ相交，有4−1+b4+1+b，得5b5，0551由k=−，k=2知kk=1，所以AB⊥PQ且PQ=25，ll2故四边形PAQB的面积S=12||5||−b，==22920106其取值范围为,93.(3)将直线l的方程l:y=+b，代入椭圆方程，整理得(1+2k)x2+4kbx+2b-6=0(*)x+xy+y设A(x1,y),B(x22，则AB中点坐标为12,1222，4−且x12为方程(*)的两根，则1+x2=1+2k2.x+x+y+y=，即x由条件，有12120121+y2，229又y11+by2=kx2，故有(1+k)(x1+x2)+2b=0，4即+k)(−)+b=01+2k2，解得b=0（舍）或12.当k=12时，x1+x2=b−，x12=3b−23，则kk=1211(x+b−x+b−y−y−=11221212x+2x+2(x+2)(x+2)12121b−1xxxxb+(+)+(−12121242==xx+2(x+x)+421212，又由于kk=34111b(x+bx+bxx+(x+x)+b2yy2242112121212===x-2x-2(x-2)(x-2)xx-2(x+x)+4212121212，由kk，利用基本不等式有k2+k2kk成立.122341221.（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）若数集M至少含有3个数，且对于其中的任意3a,b,c(abc)，a,b,c都不能成为等差数列，

则称M为“集”.(1)判断集合4,8,(nN*,n3)是否是集？说明理由；(2)kN*,k3.集合A是集合的一个子集，设集合B=x+2k−1x，求证：若A是

集，则AB也是集；nn+3412222(3)设集合()C,,nN,n3=，判断集合C是否是集，证明你的结论.34nn+1【考点】数列综合题【解析】(1)任取三个不同元素2<2k(0i<j<kn)，若此三数成等差数列，则2+2k=22，但2+2k>2k2j+1=22，因此这三个数不能成等差数列.10所以，集合4,8,(nN*,n3)是“集”.(2)反证法.假设AB不是“集”，即AB中存在三个不同元素x<y<z，使x,y,z成等差数列，则x+z=2y.因为A是“集”，所以，x,y,z不能全在A中；如果x,y,z全在B中，则[x-(2k-1)]+[z-(2k-1)]=2[y-(2k-1)]依然成立，且x-(2k-1)，y-(2k-1)z-(2k-1)A中，这说明A中存在三个数构成等差数列，即A不是“集”，与条件矛盾，因此，x,y,z也不能全在B中.由于B中最小可能元素（为2