人教b版选择性必修第一册2.4曲线与方程作业2

【基础】2.4曲线与方程同步练习一．单项选择1．方程表示的曲线不可能是（）A．椭圆 B．抛物线 C．双曲线 D．直线2．设动点P是曲线上任意一点，定点，点M分PA所成的比为，则点M的轨迹方程是（）A． B．C． D．3．数学中有许多形状优美．寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横．纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是()A．① B．② C．①② D．①②③4．已知直线l的方程是，点不在直线l上，则方程表示的曲线是（）A．直线l B．与l垂直的一条直线C．与l平行的一条直线 D．与l平行的两条直线5．方程所表示的曲线的对称性是（）轴对称轴对称轴对称6．曲线经过伸缩变换后，对应曲线的方程为：，则曲线的方程为()A． B．C． D．7．下列命题正确的是（）A．到x轴距离为3的点的轨迹方程是x＝3B．方程表示的曲线C是直角坐标平面上第一．三象限的角平分线C．方程|x﹣y|+（xy﹣1）2＝0表示的曲线是一条直线和一条双曲线D．3x2﹣2y2﹣3x+m＝0通过原点的充要条件是m＝08．方程表示的曲线是()A． B． C． D．9．若曲线上所有点的坐标都满足方程，则（）A．方程是曲线的方程B．坐标满足方程的点都在曲线上C．曲线是方程所表示的曲线D．点的坐标满足方程是点在曲线上的必要条件10．已知曲线C：y＝，曲线C关于y轴的对称曲线C′的方程是（）A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝ D．y＝11．方程所表示的曲线的对称性是（）A．关于轴对称 B．关于轴对称C．关于轴对称 D．关于原点对称12．点的坐标分别是，，直线与相交于点，且直线与的斜率的商是，则点的轨迹是（）A．直线B．圆C．椭圆D．抛物线13．若函数的图像与曲线恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.14．笛卡尔．牛顿都研究过方程，关于这个方程的曲线有下列说法：①该曲线关于轴对称；②该曲线关于原点对称；③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有且只有三个点的横．纵坐标都是整数．其中正确的是（）A．②③ B．①④ C．③ D．③④15．与坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（）A． B． C． D．

参考答案与试题解析1．【答案】B【解析】分，，三种情况讨论，即可得出结果.【详解】（1）当，即或时，方程可化为或，故方程表示直线；（2）当，即或时，方程可化为，当时，方程表示椭圆，当时，方程无解，不能表示任何曲线；（3）当，即时，方程可化为，表示双曲线；综上，可知方程不能表示抛物线.故选B【点睛】本题主要考查曲线与方程，用分类讨论的思想即可求解，属于基础题型.2．【答案】A【解析】首先设M的坐标为，由题意可用M的坐标表示点P的坐标为，由P是曲线上任意一点，代入即可求得M的轨迹方程详解：设点M的坐标为，点坐标为∵点，点M分PA所成的比为，，，得∴即点P的坐标为，代入曲线，得，即点M的轨迹方程是故选：A【点睛】本题考查了动点轨迹问题，首先设目标点，根据相应关系用目标点表示已知方程上的点，代入方程即可求得动点的轨迹方程3．【答案】C【解析】将所给方程进行等价变形确定x的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.【详解】由得,,,所以可为的整数有0,-1,1,从而曲线恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1),(-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.由得,,解得,所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过.结论②正确.如图所示,易知,四边形的面积,很明显“心形”区域的面积大于,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.故选C.【点睛】本题考查曲线与方程？曲线的几何性质，基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识？基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”.4．【答案】C【解析】根据两直线方程和特征，判定其平行即可.详解：因为点不在直线l上，所以是不为0的常数，所以方程表示过点且与直线l平行的一条直线.故选:C.【点睛】本题考查了利用两直线方程判定直线平行，属于基础题.5．【答案】D【解析】将方程中的分别换为，以及将换成，比较所得方程与原方程，看相同与否，再将方程中的换为，比较所得方程与原方程是否相同，最后得到结果.【详解】将方程中的换为，方程变为，与原方程相同，故关于轴对称；将方程中的换为，方程变为，与原方程相同，故关于轴对称；将方程中的换为，方程变为，与原方程不同，故不关于直线对称；可知曲线既关于轴对称，又关于轴对称，从而得到其关于原点对称；故选D.【点睛】该题考查的是利用方程判断曲线的对称性，属于简单题目.6．【答案】A【解析】从变换规则入手，代入新方程化简可得.【详解】把代入得，化简可得，故选A.【点睛】本题主要考查坐标变换，明确变换前和变换后的坐标之间的关系是求解关键.7．【答案】D【解析】根据曲线与方程的定义，对4个选项分别进行判断即可得出结论．【详解】解：选项：到轴距离为3的点的轨迹方程是，故错误；选项：方程表示的曲线是直角坐标平面上第一．三象限的角平分线，除去原点，故错误；选项：方程，即且，即点或；故错误；选项：通过原点，则；当时通过原点，故正确．故选：．【点睛】本题考查了命题的真假判断，曲线与方程的定义，属于基础题．8．【答案】D【解析】因为,所以图像在二,四象限,结合表示圆心在原点,半径为1的圆，即可得解.详解：因为表示圆心在原点,半径为1的圆,又,说明图像在二,四象限,故选D.【点睛】本题考查了曲线与方程,属基础题.9．【答案】D【解析】由曲线上所有点的坐标都满足方程，但方程的解对应的点不一定在曲线上，逐一判断各选项即可得解.详解：解：由曲线上所有点的坐标都满足方程，则可得曲线上所有点的坐标都满足方程，但方程的解对应的点不一定在曲线上，即点的坐标满足方程是点在曲线上的必要条件，故选：D.【点睛】本题考查了曲线与方程，重点考查了充分必要条件，属基础题.10．【答案】A【解析】设所求曲线上任意一点，由关于直线的对称的点在已知曲线上，然后代入已知曲线，即可求解．【详解】设所求曲线上任意一点，则关于直线的对称的点在已知曲线，所以，故选A．【点睛】本题主要考查了已知曲线关于直线的对称的曲线方程的求解，其步骤是：在所求曲线上任取一点，求得其关于直线的对称点，代入已知曲线求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．11．【答案】D【解析】将方程中的分别换为，以及将换成，比较所得方程与原方程，看相同与否，再将方程中的换为，比较所得方程与原方程是否相同，最后得到结果.【详解】将方程中的换为，方程变为，与原方程相同，故关于轴对称；将方程中的换为，方程变为，与原方程相同，故关于轴对称；将方程中的换为，方程变为，与原方程不同，故不关于直线对称；可知曲线既关于轴对称，又关于轴对称，从而得到其关于原点对称；故选D.【点睛】该题考查的是利用方程判断曲线的对称性，属于简单题目.12．【答案】A【解析】设点M坐标，由题意列等量关系，化简整理即可得出结果.【详解】设，由题意可得,,因为直线与的斜率的商是，所以，化简得，为一条直线,故选A.【点睛】本题主要考查曲线的方程，通常情况下，都是设曲线上任一点坐标，由题中条件找等量关系，化简整理，即可求解，属于基础题型.13．【答案】A【解析】利用绝对值的几何意义，由y＝|x|﹣1可得，x≥0时，y＝x﹣1；x＜0时，y＝﹣x﹣1，确定函数y＝|x|﹣1的图象与方程x2+λy2＝1的曲线必相交于（±1，0），为了使函数y＝|x|﹣1的图象与方程x2+λy2＝1的曲线恰好有两个不同的公共点，则两曲线无其它交点．y＝x﹣1代入方程x2+λy2＝1，整理可得（1+λ）x2﹣2λx+λ﹣1＝0，分类讨论，可得结论，根据对称性，同理可得x＜0时的情形．【详解】由y＝|x|﹣1可得，x≥0时，y＝x﹣1；x＜0时，y＝﹣x﹣1，∴函数y＝|x|﹣1的图象与方程x2+λy2＝1的曲线必相交于（±1，0）所以为了使函数y＝|x|﹣1的图象与方程x2+λy2＝1的曲线恰好有两个不同的公共点，则y＝x﹣1代入方程x2+λy2＝1，整理可得（1+λ）x2﹣2λx+λ﹣1＝0当λ＝﹣1时，x＝1满足题意，由于△＞0，1是方程的根，∴0，即﹣1＜λ＜1时，方程两根异号，满足题意；y＝﹣x﹣1代入方程x2+λy2＝1，整理可得（1+λ）x2+2λx+λ﹣1＝0当λ＝﹣1时，x＝﹣1满足题意，由于△＞0，﹣1是方程的根，∴0，即﹣1＜λ＜1时，方程两根异号，满足题意；综上知，实数λ的取值范围是[﹣1，1）故选：A．【点睛】本题考查曲线的交点及二次方程根的问题，考查分析解决问题的能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．14．【答案】C【解析】以﹣x代x，以﹣x代x，﹣y代y，判断①②的正误，利用方程两边的符号判断③的正误，利用赋值法判断④的正误.【详解】以﹣x代x，得到，方程改变，不关于轴对称；以﹣x代x，﹣y代y，得