高分突破智取压轴小题11 数列与函数、不等式相结合问题

数列与函数、不等式相结合问题数列与函数、不等式相结合问题一．方法综述数列与函数、不等式相结合是数列高考中的热点问题，难度较大，求数列与函数、不等式相结合问题时会渗透多种数学思想.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强，但万变不离其宗，只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题，如数列中的恒成立问题、数列中的最值问题、数列性质的综合问题、数列与函数的综合问题、数列与其他知识综合问题中都有所涉及，本讲就这类问题进行分析.二．解题策略类型一数列与不等式1.1数列与基本不等式【例1】某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为________．【答案】10【解析】由题意可知：每年的维护费构成一个以2为首项，2为公差的等差数列，故第n年的维护费为：an=2+2（n﹣1）=2n，总的维护费为：=n（n+1）故年平均费用为：y=，即y=n++1.5，（n为正整数）；由基本不等式得：y=n++1.5≥2+1.5=21.5（万元）当且仅当n=，即n=10时取到等号，即该企业10年后需要更新设备．故答案为：10．（2020·广东高三）已知数列是各项均为正数的等比数列，为数列的前项和，若，则的最小值为（）A．9 B．12 C．16 D．18【答案】D【解析】由得，所以.所以.当且仅当时取得最小值.故选：D【指点迷津】本题考查了等比数列的相关性质以及基本不等式的相关性质，等比数列的通项公式是，等比中项，基本不等式有，考查公式的使用，考查化归与转化思想.【举一反三】1.（2020山东省济宁市模拟）已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为【答案】【解析】因为数列是正项等比数列，，，所以，，，所以，，，，，因为，所以，，，当且仅当时“=”成立，所以的最小值为.2．（2020·江苏扬州中学）已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，Sn为数列{an}的前n项和，则的最小值为【答案】4【解析】∵a1，a3，a13成等比数列，a1=1，∴a32=a1a13，∴（1+2d）2=1+12d，d≠0，解得d=2．∴an=1+2（n-1）=2n-1．Sn=n+×2=n2．∴===n+1+-2≥2-2=4，当且仅当n+1=时取等号，此时n=2，且取到最小值4，1.2数列中的恒成立问题【例2】（2020·四川双流中学）已知定义域为的函数满足，当时，，设在上的最大值为，且的前n项和为，若对任意的正整数n均成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】运用二次函数的最值和指数函数的单调性求得x∈[0，2）时f（x）的最大值，由递推式可得{an}是首项为，公比为的等比数列，由等比数列的求和公式和不等式恒成立思想可得k的范围．【详解】当x∈[0，2）时，，所以函数f(x)在[0，）上单调递增，在（，1）上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，可得当0≤x＜1时，f（x）的最大值为f（）＝；1≤x<2时，f（x）的最大值为f（）＝1，即有0≤x＜2时，f（x）的最大值为,即首项，由可得可得{an}是首项为，公比为的等比数列，可得Sn＝＝，由Sn＜k对任意的正整数n均成立，可得k≥．故选：B．【指点迷津】对于数列中的恒成立问题，仍要转化为求最值的问题求解；【举一反三】1.（2020安徽省毛坦厂中学）已知等差数列满足，，数列满足，记数列的前项和为，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意得，则，等差数列的公差，.由，得，则不等式恒成立等价于恒成立，而，问题等价于对任意的，恒成立.设，，则，即，解得或.故选:A.2.（2020·江苏高三模拟）设等差数列的前n项和为，若不等式对任意正整数n都成立，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】令,由，当时，取得最小值，由此能求出结果.【详解】,令，则，当时，取最小值，即，，因为不等式对任意正整数n都成立，当，所以，当时，，综上.故选：D1.3数列中的最值问题【例3】（2020·浙江高三期末）已知数列中，，若，设，若，则正整数的最大值为（）A．1009 B．1010 C．2019 D．2020【答案】B【解析】,∴,∴,即数列为单调增数列,,即,,,,即,正整数的最大值为1010,故选:B.【指点迷津】本题利用数列的递推公式,确定数列的单调性，再根据范围求正整数的最小值.在解题时需要一定的逻辑运算与推理的能力，其中确定数列单调性是解题的关键【举一反三】1．（2020·湖南高三月考）数列满足,且．记数列的前n项和为,则当取最大值时n为（）A．11 B．12 C．11或13 D．12或13【答案】C【解析】【分析】分的奇偶讨论数列的奇偶性分别满足的条件,再分析的最大值即可.【详解】由题,当为奇数时,,.故.故奇数项为公差为1的等差数列.同理当为偶数时,.故偶数项为公差为-3的等差数列.又即.又.所以.综上可知,奇数项均为正数,偶数项随着的增大由正变负.故当取最大值时n为奇数.故n为奇数且此时有,解得.故或.故选：C2.（2020浙江省湖州三校）已知数列满足，，则使的正整数的最小值是（）A．2018 B．2019 C．2020 D．2021【答案】C【解析】令,则,所以，从而，，因为,所以数列单调递增，设当时,当时,所以当时，，，从而,因此,选C.类型二数列与函数的综合问题【例4】（2020·上海中学高三）已知函数为定义域上的奇函数，且在上是单调递增函数，函数，数列为等差数列，且公差不为0，若，则（）A．18 B．9 C．27 D．81【答案】C【解析】【分析】根据题意，由奇函数的性质可得f（﹣x）+f（x）＝0，又由g（x）＝f（x﹣3）+x且g（a1）+g（a2）+…+g（a9）＝27，可得f（a1﹣3）+f（a2﹣3）+…+f（a9﹣3）+（a1+a2+…+a9）＝27，结合等差数列的性质可得f（a1﹣5）＝﹣f（a9﹣5）＝f（5﹣a9），进而可得a1﹣5＝5﹣a9，即a1+a9＝10，进而计算可得答案．【详解】根据题意，函数y＝f（x）为定义域R上的奇函数，则有f（﹣x）+f（x）＝0，∵g（x）＝f（x﹣3）+x， ∴若g（a1）+g（a2）+…+g（a9）＝27，即f（a1﹣3）+a1+f（a2﹣3）+a2+…+f（a9﹣3）+a9＝27，即f（a1﹣3）+f（a2﹣3）+…+f（a9﹣3）+（a1+a2+…+a9）＝27，f（a1﹣3）+f（a2﹣3）+…+f（a9﹣3））+（a1﹣3+a2﹣3+…+a9﹣3）＝0，又由y＝f（x）+x为定义域R上的奇函数，且在R上是单调函数，且（a1﹣3）+（a9﹣3）＝（a2﹣3）+（a8﹣3）＝…＝2（a5﹣3），∴a5﹣3＝0，即a1+a9＝a2+a8＝…＝2a5＝6，则a1+a2+…+a9＝9a5＝27；故选：C．【指点迷津】(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去“f”，即将函数值的大小转化自变量大小关系,对称性可得到两个对称的自变量所对应函数值关系.【举一反三】1.（2020·湖南模拟）已知函数y＝f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)>1，且对任意的实数x，y，等式f(x)f(y)＝f(x＋y)恒成立．若数列满足＝f(0)，且f()＝()，则的值为()A．2209 B．3029 C．4033 D．2249【答案】C【解析】【分析】因为该题为选择题，可采用特殊函数来研究，根据条件，底数小于1的指数函数满足条件，可设函数为，从而求出，再利用题目中所给等式可证明数列为等差数列，最后利用等差数列定义求出结果。【详解】根据题意，可设，则，因为，所以，所以，所以数列数以1为首项，2为公差的等差数列，所以，所以，故选C。2．已知定义在实数集上的函数满足，则的最大值为A． B． C． D．【答案】B【详解】由题设可得，即，由此可得，则或，又，故，所以，则，令，则，因为，所以令可得极值点为，故当时，；当时，，且，所以，即的最大值为，应选答案B．【指点迷津】本题的求解思路是依据题设中所提供的条件信息“定义在实数集上的函数满足”，并对这个递推的等式运用演绎推理的思维模式，将其巧妙地转化为，然后再借助题设推得，从而求出，明确目标是以为变量的函数，最后借助导数求出其所有极值，则极值中最大在即为所求函数的最大值，使得问题巧妙获解．本题求解过程中体现了等价转化与化归的数学思想及构建函数的建模思想，同时换元法、从一般到特殊的演绎推理的推理论证能力也得到具体运用和展示．类型三数列与其他知识综合问题【例5】（2020·湖南衡阳市八中高三）已知函数，，若函数的所有零点依次记为，且，则【答案】【解析】函数，令，可得，即函数的对称轴方程为，又的周期为，令，可得，所以函数在上有29条对称轴，根据正弦函数的性质可知，（最后一条对称轴为函数的最大值点，应取前一条对应的对称轴）将以上各式相加得【指点迷津】这类题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题.【举一反三】1．（2020·上海高三）已知等差数列（公差不为零）和等差数列，如果关于的实系数方程有实数解，那么以下九个方程（）中，无实数解的方程最多有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】B【解析】设等差数列的公差为不为零,等差数列的公差为，因为关于的实系数方程有实数解，所以，即,化简得，所以第五个方程有解.设方程与方程的判别式分别为和，则,所以和至多一个成立,同理可知,和至多一个成立,和至多一个成立,和至多一个成立,所以在所给的个方程中无实数解的方程最多个.故选:B2.将向量组成的系列称为向量列，并定义向量列的前项和．若，则下列说法中一定正确的是（）A.B.不存在，使得C.对，且，都有D.以上说法都不对【答案】C【解析】由，则，所以数列构成首项为，公比为的等比数列，所以，又当时，，所以当，且时，是成立的，故选C.三．强化训练1．（2020·江苏海安高级中学）数列是公差不为0的等差数列，且，设（），则数列的最大项为（）A． B． C． D．不确定【答案】B【解析】【分析】观察到有根号，且与下标之和为定值，故两边平方．平方后出现想到用等差数列性质，想到用基本不等式．【详解】由两边平方得，由等差数列性质得，当且仅当即时成立，故最大值为，故选B．2.（2020许昌市模拟）已知数列，的前项和分别为，，且，，，若恒成立，则的最小值为（）A． B． C．49 D．【答案】B【解析】当时，，解得.当时，由，得，两式相减并化简得，由于，所以，故是首项为，公差为的等差数列，所以.则，故，由于是单调递增数列，，.故的最小值为，故选B.3．（2020·上海市实验学校高三）已知函数的定义域为，当时，，对任意的，成立，若数列满足，且，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】试题分析：∵，∴，∴，，设，，∵，∴，∴，所以为增函数．，，，，，，∴．4.（2020四川省成都市外国语学校一诊）在正项等比数列中，，．则满足的最大正整数的值为（）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】C【解析】∵正项等比数列中，，，∴.∵，解可得，或（舍），∴，∵，∴.整理可得，，∴，经检验满足题意，故选：C．5.若数列的通项公式分别为，且，对任意恒成立，则实数的取值范围是()A． B． C． D．【答案】D【解析】，故当n为奇数，-a<2+,又2+单调递减，故2+，故-a2，解a当n为偶数，又2-单调递增，故2-，故，综上a故选：D6.（2020·辽宁实验中学高三）已知各项都为正数的等比数列的前项和为，且满足．若，为函数的导函数，则()A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】通过数列各项都为正数的等比数列，且，，可以求出，而即求数列的前项和，通过错位相减法求出即可．【详解】解：设等比数列的公比为，，，，且；或（舍．．，．，，．令，①则，②①②得：，．即．故选：．7．（2020贵阳模拟）设，点，，，，设对一切都有不等式成立，则正整数的最小值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意知sin，∴，∴，随n的增大而增大，∴,∴，即，又f(t)=在t上单增，f(2)=-1<0，f(3)=2>0，∴正整数的最小值为3.8．（2020·浙江高三）已知数列满足：，．则下列说法正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】考察函数，则先根据单调性可得，再利用单调性可得.【详解】考察函数，由可得在单调递增，由可得在单调递减且，可得，数列为单调递增数列，如图所示：且，，图象可得，所以，故选B.9．（2020·重庆高三）已知在点处的切线方程为，，的前项和为，则下列选项正确的是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意得，∴，解得，∴．设，则，∴在上单调递减，∴，即，令，则，∴，故．设，则，∴在上单调递增，∴，即，令，则，∴，故．综上选A．10．（2020·宁夏高考模拟）已知数列满足，，且，记为数列的前项和，数列是首项和公比都是2的等比数列，则使不等式成立的最小整数n为（）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】C【解析】试题分析：因为，∴当为偶数时，可得，即，是以为首项，以为公比的等比数列；当为奇数时，可得，即，是以为首项，以为公差的等差数列，，∵数列是首项和公比都是的等比数列，，则等价为，即，即分析函数与，则当时，，当时，不成立，当时，不成立，当时，不成立，当时，成立，当时，恒成立，故使不等式成立的最小整数为，故选C．11.将正整数12分解成两个正整数的乘积有，，三种，其中是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称为12的最佳分解.当（且）是正整数的最佳分解时，我们定义函数，例如.数列的前100项和为__________．【答案】【解析】当为偶数时，；当为奇数时，，，故答案为.12.（2020河北省衡水中学）已知数列的前项和.若是中的最大值，则实数的取值范围是_____．【答案】【解析】因为，所以当时，；当时，也满足上式；当时，，当时，，综上，；因为是中的最大值，所以有且，解得.13.已知数列中，，点列在内部，且与的面积比为，若对都存在数列满足，则的值为______.【答案】80【解析】在上取点，使得，则在线段上．

，三点共线，

，即故答案为：80．14.已知函数，点O为坐标原点，点，向量，θn是向量与的夹角，则使得恒成立的实数t的取值范围为___________．【答案】【解析】根据题意得,是直线OAn的倾斜角，则：，据此可得：结合恒成立的结论可得实数t的取值范围为.15．（2020·河北高三期末（理））数列是首项，公差为的等差数列，其前和为，存在非零实数，对任意有恒成立，则的值为__________．【答案】或【解析】【分析】分类讨论和两种情况即可求得的值.【详解】当时，恒成立，当时：当数列的公差时，即，据此可得，则，当数列的公差时，由题意有：，，两式作差可得：，整理可得：，即：，①则，②②-①整理可得：恒成立，由于，故，据此可得：，综上可得：的值为或.16．（2020·海南中学）对于三次函数，定义：设是的导数，若方程有实数解，则称为函数的拐点.某同学经过探索发现任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数