高三数学总复习64不等式的综合应用教案新人教A版

2014届高三数学总复习6.4不等式的综合应用教学设计新人教A版考情剖析考点新知掌握不等式的综合应用；掌握基本不等式的应用性问题的基本思路：读题(背景、结综合应用；掌握不等式与其余函数方程等知论)——条件——建模——解题——反省识的综合应用．——作答.4(必修5P102习题7改编)函数y＝x＋x(x≠0)的值域是________．答案：

(－∞，－

4]∪[4，＋∞)分析：当

x>0

时，

4y＝x＋x≥2

4x·x＝4，当

x<0

时，y＝x44＋x＝－（－x）＋－x

≤－2

4（－x）·－x

＝－4.(必修5P102习题9改编)某种产品按以下三种方案两次提价．方案甲：第一次抬价p%，第二次抬价q%；方案乙：第一次提p＋qp＋q价q%，第二次抬价p%；方案丙：第一次抬价2%，第二次抬价2%.此中p>q>0，上述三种方案中抬价最多的是________．答案：方案丙分析：设本来价钱为，方案甲：经两次抬价后价钱为A1＋pA100qp＋qpq；方案乙：经两次抬价后价钱为1＋＝A1＋＋10000100100Apqp＋q21＋1＋；方案丙：经两次抬价后价钱为A1＋200＝A[1100100p＋qp＋q21p＋q＋100＋2）·10000.由于2>pq，因此方案丙抬价最多．3.(2013·海门联考)设x∈R，f(x)1|x|，若不等式f(x)＝2＋f(2x)≤k对于随意的x∈R恒成立，则实数k的取值范围是________．答案：k≥21|x|1|2x|1|x|分析：不等式化为k≥2＋2，由于2∈(0，1]，因此k≥2.4.(2013·苏州期中)设变量x，y知足|x|＋|y|≤1，则x＋2y的最大值为________．答案：2分析：作出可行域为正方形，4个极点分别为(1，0)，(0，1)，(－1，0)，(0，－1)，则z＝x＋2y过点(0，1)时最大值为2.[备课札记]题型1含参数的不等式问题例1若不等式组x2－x－2＞0，的解集中所含整2x2＋（5＋2k）x＋5k＜0数解只有－2，求k的取值范围．解：由x2－x－2>0有x＜－1或x＞2，由2x2＋(5＋2k)x＋5k＜0有(2x＋5)(x＋k)＜0.由于－2是原不等式组的解，因此k＜2.5由(2x＋5)·(x＋k)＜0有－2＜x＜－k.由于原不等式组的整数解只有－2，因此－2＜－k≤3，即－3≤k＜2，故k的取值范围是[－3，2)．变式训练不等式(－1)na<2＋（－1）n＋1*恒成立，务实数a对随意n∈Nn的取值范围．11解：当n为奇数时，－a＜2＋n，即a＞－2＋n.1而－2＋n≤－3，则a>－3；1113当n为偶数时，a＜2－n，而2－n≥2－2＝2，3因此a＜2.3综上可得：－3<a<2.题型2不等式在函数中的应用2x－a例2已知函数f(x)＝x2＋2在区间[－1，1]上是增函数．(1)务实数a的值构成的会合A；(2)设x1、x2是对于x的方程f(x)1＝x的两个相异实根，若对随意a∈A及t∈[－1，1]，不等式2＋tm＋1≥|x1－x2|恒成立，m务实数m的取值范围．4－2x2＋2ax解：(1)f′(x)＝（x2＋2）2，由于f(x)在[－1，1]上是增函数，因此当x∈[－1，1]时，′(x)≥0恒成立，令φ(x)＝x2－ax－2，即x2－ax－2≤0恒成立．φ（1）＝－a－1≤0，解得－1≤a≤1.φ（－1）＝a－1≤0，因此A＝{a|－1≤a≤1}．由f(x)＝1得x2－ax－2＝0.x设x1，x2是方程

x2－ax－2＝0

的两个根，因此

x1＋x2＝a，x1x2＝－2.

进而|x

1－x2|

＝

（x1＋x2）2－4x1x2＝

a2＋8，由于

a∈[

－1，1]

，因此

a2＋8≤3，即|x

1－x2|

max＝3，不等式对随意a∈A及t∈[－1，1]不等式恒成立，2即m＋tm－2≥0恒成立．设g(t)22＝m＋tm－2＝mt＋m－2，则2g（1）＝m＋m－2≥0，2g（－1）＝m－m－2≥0.解得m≥2或m≤－2.故m的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．备选变式（教师专享）ab设a，b＞0，且ab＝1，不等式a2＋1＋b2＋1≤λ恒成立，则λ的取值范围是________．答案：[1，＋∞)abab2分析：由于ab＝1，因此a2＋1＋b2＋1＝a2＋ab＋b2＋ab＝a＋b1≤＝1，因此λ≥1.ab题型3不等式在实质问题中的应用例3某丛林出现火灾，火势正以100m2/分钟的速度顺风蔓延，消防站接到报警立刻派消防队员前往，在火灾发生后5分钟到达救火现场，已知消防队员在现场均匀每人灭火250m/分钟，所消耗的灭火资料，劳务津贴等花费为人均125元/分钟，另附带每次救火所消耗的车辆、器材和装备等花费人均100元，而烧毁丛林的损失费60元/m2，应当派多少消防队员前往救火才能使总损失最少？解：设派x名消防队员前往救火，用t分钟将火息灭，总损失5×10010为y，则t＝50x－100＝x－2，y＝灭火劳务津贴＋车辆、器材装备费＋丛林损失费125xt＋100x＋60(500＋100t)1060000＝125x×x－2＋100x＋30000＋x－2500100(x－2)＋x－2＋314505002100（x－2）·x－2＋31450＝36450，62500当且仅当100(x－2)＝x－2，即x＝27时，y有最小值36450，故应派27人前往救火才能使总损失最少，最少损失36450元．备选变式（教师专享）某学校拟建一块周长为400m的操场，如下图，操场的两端是半圆形，中间地区是矩形，学生做操一般安排在矩形地区，为了能让学生的做操地区尽可能大，试问怎样设计矩形的长和宽？解：设中间矩形地区的长，宽分别为

xm，ym，中间的矩形地区面积为

2Sm，则半圆的周长为

πy2

m.πy∵操场周长为400m，因此2x＋2×2＝400，400即2x＋πy＝4000＜x＜200，0＜y＜π.1S＝xy＝2π·(2x)·(πy)12x＋πy220000.≤2π·2＝π2x＝πy，x＝100，200由解得2x＋πy＝400，y＝π.x＝100，∴当且仅当200时等号成立．y＝π200即把矩形的长和宽分别设计为100m和πm时，矩形地区面积最大．(2013·连云港模拟)对于x的不等式x2－ax＋2a＜0的解集为A，若会合A中恰有两个整数，则实数a的取值范围是________．25答案：－1，－3∪3，9分析：设方程x2－ax＋2a＝0的两根为x1、x2，则1<|x1－x2|a2－8a≤3，解得4＋17<a≤9或－1≤a<4－17.当4＋17<a4＋17a9≤9时，考虑抛物线的对称轴，由于4<2<2≤2，会合A中恰aa2－8aa25有两个整数即4和5，因此5－2<2≤2－3，解得3<a≤9；1a4－17当－1≤a<4－17时，考虑抛物线的对称轴，由于－2≤2<2aa2－8a<0，会合A中恰有两个整数即－1和0，因此2－(－1)<2≤1a12，解得－1≤a<－3.2.(2013·天津)已知函数f(x)＝x(1＋a|x|)．设对于x的不等式f(x＋a)<f(x)的解集为A，若11A，则实数a的取值－，22范围是________．1－5，0答案：2分析：由题意得0∈A，因此f(0＋a)<f(0)，即a(1＋a|a|)<0，明显a<0，解得－1<a<0，函数f(x)＝x(1＋a|x|)是奇函数且图象11中两条抛物线的对称轴x＝2a，x＝－2a之间的距离大于1，而－1<a<0，因此f(x＋a)<f(x)的解集为1a1a2a－2，－2a－2，因此111a1a1－51＋5－2，2(2a－2，－2a－2)，解得2<a<2.又－1<a<0，因此1－5<a<0.211(2013·宿迁模拟)若a>0，b>0，且2a＋b＋b＋1＝1，则a2b的最小值为________．23＋1答案：211分析：2a＋4b＋3＝(2a＋4b＋3)·2a＋b＋b＋1＝[(2a＋b)112a＋b3（b＋1）＋3(b＋1)]·2a＋b＋b＋1＝1＋b＋1＋2a＋b＋3≥4＋23＋123，因此a＋2b≥.214.(2013·天津)设a＋b＝2，b>0，则当a＝________时，2|a||a|＋b获得最小值．答案：－21|a|a＋b|a|ab|a|1分析：2|a|＋b＝4|a|＋b＝4|a|＋4|a|＋b≥－4＋b|a|3b|a24|a|·b＝4，当且仅当4|a|＝b且a<0取等号，即a＝－2，b＝4.(2013·徐州模拟)若对知足条件x＋y＋3＝xy(x＞0，y＞0)的随意

x、y，(x

＋y)

2－a(x

＋y)

＋1≥0恒成立，则实数

a的取值范围是

________．37答案：－∞，

6分析：x＋y＋3＝xy≤x＋y2a≤x＋y＋2，因此x＋y≥6，则113737x＋y，由于上述不等式右侧的的最小值为6＋6＝6，故a≤6.(2013苏州模拟)已知实数x、y知足不等式2x－y≥0，2x3＋y3x＋y－4≥0，则2的取值范围是________．x≤3xy55答案：3，9y1y12x3＋y3分析：作出可行域，求得x∈3，2，令t＝x∈3，2，则x2y＝2＋2，求导可得2＋21上递减，在，上递加，故2x3＋y3t(12ttt32)xy2255＝t＋t∈3，9.3.(2013·南通模拟)设P(x，y)为函数y＝x2－1(x＞3)图象3x＋y－5x＋3y－7，则当m最小时，点P的坐上一动点，记m＝＋x－1y－2标为________．答案：(2，3)3x＋x2－6x＋3x2－10x2－3x－1分析：m＝x－1＋x2－3＝6＋x－1＋x2－3.x2－3x－1当且仅当x－1＝x2－3，即x＝2时m获得最小，此时点P的坐标为(2，3)．xy4.(2013·镇江模拟)已知x、y为正数，则2x＋y＋x＋2y的最大值为________．2答案：3yxy1分析：设t＝x∈(0，＋∞)，则令f(t)＝2x＋y＋x＋2y＝t＋2t＋2t＋1，求导得f(t)在(0，1)上递加，在(1，＋∞)上递减，故所求的最大值为f(1)＝2.3不等式应用大概可分为两类：一类是成立不等式求参数的取值范围，或解决一