2022年8月九师联盟高三数学（文）开学摸底联考卷附答案解析

2022年8月九师联盟高三数学（文）开学摸底联考卷

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色用水签字笔将密封线内项目填写清廷。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题

目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5比米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内

作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

4.本卷命装花鼠'高源范由。........................................

一、选择题:本题共12小题,每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1§±!=

.l—i

A.2+3iB.3+3iC.2-3iD.3-3i

2.巳知集合从=(工£用工<3),8={3/一240),则408=

A.{0,1}R{1}C.[0,l]D.(0,l]

3,已知,c=lg0.3,这三个数的大小关系为

A.b<a<cRa<b<cC.c<a<bD.c<b<a

4,若双曲线5一多=1储>0,6>0）的离心率为石，则该双曲线的渐近线方程为

A.y=±yxB.y=±V3x

C.y=±5/5xD.y=±2x

5.巳知函数/⑴=Asin皿（A>0,3>0）与g（力=々cos皿的部分图象如图所示，则

U

3.

AA.AA=1l,s=一3B.A=2,»

C.A=l,=fD.A=2,◎=>

w0

6.设等比数列｛&｝的前项和为S.,若④一如=2,做一%=6,则S<=

A.-60B.—40

C.20D.40

7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

A.32

B.34

C.36卬

D.38

俯视图

【高三摸底联考•文科数学第1页（共4页）】G

I

8.函数人力=多看的图象大致为

10.巳知数列｛J｝满足的=1,对任意的n€N•都有a+=j+n+l,则小。=

A.36R45

C55D.66

11.过原点作两条互相垂直的直线分别交抛物线，=2拉于A,B两点（A,B均不与坐标原点重合），若

抛物线的焦点F到直线AB距离的最大值为3,则p=

A.|R2

L

C.3D.6

12.已知函数八/=¥，关于工的方程/（力一志=m有三个不等的实根，则m的取值范围是

A.（-8,e—B.卜—^，+8）

C.（-8，已-e）D.（十-e,+8）

二、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分。

13.已知向量a,b的夹角为120,，且|a|=1,㈤=4,则a•b=.

[3z+yC6,

14.设…满足约束条例则z=2x+y的最大值为.

15.若直线y=12x+m与曲线）=/一2相切，则m=.

16.在三棱锥D-ABC中,CD_L底面ABC,ACJ_BC,AB=BD=5,BC=4,则此三棱锥的外接球的表面

积为.

【高三摸底联考•文科数学第2页（共4页）】G

2

三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步馨。第17~21题为必考题，每个试题考

生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。

（一）必考题:共60分。

17.（本小题满分12分）

△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin:A+sin2C-sin2B-sinAsinC=0.

⑴求B；

⑵若g=得,求tanC.

CL

18.（本小题满分12分）

如图，在三棱柱ABC-A|BC中,AC=BC=1,AB=&,B|C=LBC1平面ABC.

（D证明:ACJL平面BCCIBII

（2）求点C到平面ABBiA的距离.

19.（本小题满分12分）

某新能源汽车制造公司,为鼓励消费者购买其生产的新能源汽车,约定从今年元月开始，凡购买一辆

该品牌汽车,在行驶三年后，公司将给予适当金额的购车补贴.某调研机构对巳购买该品牌汽车的消

费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，得其样本频率分布直方图如图所示.

0.10补贴金额的心理

0.05预期值（万元）

1234567

（1）求实数。的值；

（2）估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数（同一组数据用该区间

的中点值作代表）和中位数;（精确到0.01）

（3）现在要从购车补贴金额的心理预期值在［3,5）间用分层抽样的方法抽取6人,再从这6人中随机

抽取2人进行调查,求抽到2人中购车补贴金额的心理预期值都在［3,4）间的概率.

3

20.(本小题满分12分)

已知点F(6,0)是椭圆C：£+£=l(a>b>0)的一个焦点，点M(信十)在椭圆C上.

(1)求椭圆C的方程।

(2)若直线I与椭圆C交于不同的A,B两点，且分+及8=—*(0为坐标原点)，求直线I斜率的取

值范围.

21.(本小题满分12分)

已知函数(a+l)x+alnx.

(1)当a>l时，求八z)的单调区间；

(2)当aVl且a#0时，若人工)有两个零点，求a的取值范围.

(二)选考题:共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

fx=l+3cosa,

在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为《(a为参数).在以原点为极点,7轴正半

ly=l+3sina

轴为极轴的极坐标中，直线I的极坐标方程为apcos(，+£)=m.

(1)求曲线M的普通方程，并指出曲线M是什么曲线；

(2)若直线I与曲线M相交于A,B两点，IAB|=4,求m的值.

23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲

设函数/(x)=|x+l|+\x-a|.

⑴当。=1时，求关于工的不等式的解集；

(2)若在［0,2］上恒成立，求a的取值范围.

【高三摸底联考•文科数学第4页(共4页)】G

4

高三文科数学参考答案、提示及评分细则

A5±i=（5±i）（l±i）=4+6i=2+3i

2.A因为为.1.2）.3=Cr|0Q<l）.所以AnB={0」）,

3.C・・»=2=铲5>个3=«>0“=ko.3<lg\=0.：.c<a<b.

4.D小题可知,所以双曲线的渐近线方程为>=±2工

5.Dv4=l-7'=—=1-5X4..,..4=2.（u=v.

4U）5

6.Bg=—■―^=3・%=—1•则S,=-40.

a\—az

7.D根据题中的三视图可知•该几何体是由一个长、宽均为2•高为，1的长方体截去一个长、宽均为1・高为，I的长方体后

剩余的部分,因此该几何体的表面积为2X2X2+2X4X4-1X1X2=38.

8.B•・/-/)=-/(".・・・/(』•)为奇函数•排除A.C・・・/(/)=一得＞-/・・•・排除D・故选B.

sin(a4--r)-^-(sinaH-cosa)..।,..

'472sma-rcosatana1_9

9.A---；------7=~P--------------------=----------------=；----------?=o3.tano2a-7~r=一~三,则m------

.(n\J9sina-cosatana_1434

s,n\a\)-y(sina-cx)sa)

数列伍>满足&•对任意都有则.由递推公式可得

10.C1=1N,a“+i=”“+〃+1.-I—a”=〃+1aM—a^-\

—a„-2=n—1・a“T—a“7=〃—2・•・・・”,一人=4・a.-a?=3・。2—川=2•等式左右两边分别相加可得-a\=2+3+4

+…+〃-2+〃-1+〃•所以、“〃=I卜2+3+4+・.・+〃-2+j1》.则a.=I。：11=55.故选(*.

II.B设宜线AB的方程为.r=〃yH,/15』）「丸仙・义）•把出线方程代入抛物线方程•得"一2"〃了一2m=0•所以为+

因为圮,所以力义=,即+»义=,解得义=—,所以/=所以在线恒

X=20〃.yiy:=—2".（M_L（q+y00M4”22,

过点（260）•则抛物线的焦点F到宜线AB距离的最大值为2/〉一号=3・即。=2.

12.C/'（/）=上乎1•可知函数/Q）的图象如图所示，令⑺=〃一〃〃一]=V

11，

0有两个不等的实根.则/,/2=-1<0•乂关于工的方程一外一启=，"有三个不等1（24

的实根•所以LVOV/2Vq•,则#=（!）=/■—?—1>0•解得/〃<?一€.-2r

13.-2a・fe=lX4X（-y）=-2.

14.7作出约束条件表示的可行域.由图可知,当宜线？=21+》过点（一1・9）时・=取得最大值7.

15.一18或14设切点为（m・演））・・・・:/=3/・・・・3,02=12./0=±2.当工。=2时・部=6•则6=24+3勿=-18：当了。=

—2时.vo=-10•则-10=—24+，〃，/〃=14.

16.347r由题可知AC=CD=故三棱锥D-ABC的外接球的半径7=仆+丁+3：=

5

2

4KX()=34n.

17.：(1)Vsin2A4*sin2C—sin2B—sinAsinC=0.

••a2+d~~1r-ac=O,即a1+d-吩=ac..............................................................2分

由余弦定理可得,cosB=a少了F..........................4分

又仔.二8=拳.........................................................................5分

⑵(方法一)：3=年.."4=与一(?,.................................................................6分

/27t，、、i1/■*

Asin(——C)RCOS(十

则幺=型=_1__=J——^4——.......................................................8分

」csin(sinCsinC

=鱼.—!—p-L...............................................................................io分

2tanC十2,川”

•.•?=^..\tanC=尊.........................................................................12分

(方法二.二可设“=3Ar=2A由余弦定理可得......................................8分

再由余弦定理.得cosC=<.....................................................................10分

41

故tanC=有.....................................................................................12分

18.(1)证明:因为B|CJ_平面ABC,所以BC_LAC...............................1分

因为AC=BC=l,AB=y?.所以AC_LBC,....................................3分

又BCTIBC,所以ACJ_平面BCGB”........................................5分

（2）解：设点C到平面ABB盟|的距离为I,.

因为8“'_1_平面ABC,所以B,C±A（\B,C±BC.

则八B产&.8B严&.乂八8=&.所以△八88,是等边：角形.

故Sa吗=^X(&>=与........................................................................7分

VC-.W.A,=2V<-.w<l=2VB1-..w(=2XyXB1CXSA,vi(=-1•..........................................9分

=--

VJ-ABB^!1S.ABB1?l|,〃=：X2X§•A=g/1......................................................11分

所以八=冬......................................................................................12分

19.解式1)由题意知，1X<0.10+0.30+0.30+a+0.........................................2分

解得“=0.15.....................................................................................3分

(2)平均数的估计值为F=l.5X0.1+2.5X0.3+3.5X0.3+4.5X0.15+5.5X0.1+6.5X0.05=3.5万元

6

因为0.1+0.3<0.5<0.14-0.3+0.3•则中位数在区间（3.4》内.

设中位数为3+H.则0.1+0.3+0.3.r=0.5....................................................................................................................7分

得33,所以中位数的估计值为3.33万元....................................................8分

⑶从购车补贴金额的心理预期值在13,5响用分层抽样的方法抽取6人.则购车补贴金额的心理预期值在13.1）间

的有4人•记为以,6一4•购车补贴金额的心理预期值在14.5）间的有2人，记为A,3,则基本事件有《〃,〃》・《〃・「.

《c・d》・（A,B）•共15种情

况...............................................................................................10分

其中购车补贴金额的心理预期值都在13・4）间有（“•〃〉・（u.c）•共6种情况,所以抽到

2人中购车补贴金额的心理预期值都在[3,4）间的概率。=/=1........................................................................12分

20.解式D由题可知•椭圆的另一个焦点为（一6・0）・.......................................................................................................1分

所以点M到两黑点的距离之和为、/（2后2+（十>+）=4,...................................................................................3分

所以a=2・...........................................................................................................................................................................4分

又因为（=伍.所以〃=1.则椭圆C的方程为苧+V=L...........................................................................................5分

⑵当直线/的斜率不存在时，结合椭圆的对称性可知，心+的=0,不符合题意...........................6分

故设直线/的方程为,y\）•BCJ：,»）,

y=kx-\-m

联立1.可得（伏2+1）^2+8加〃”+4（加1-1）=0.

y+y=i

所以<_4（»r~l）.......................................................................................................................................8分

4一+1'

4=16（，/一"-+］）>0.

（木门+）〃Q?+（左心+加.n-82〃/-2A

而好+人=+知=2/I〃"力+.2）=2员+

Xi4,2-1）

由儿八+A*=—■•可得〃/=快+1............................................................................................................................】0夕»

所以--L又因为16（4必一M+1）>0,所以4公一缺>0,

4

综上,我€[-1,0）U（l，+8）.........................................................................................................................................12分

21.解MD/DuH-S+D+qn,F-l5T-GcrX））............................................................................................1分

当4>1时.由/（工）>0,得OOC1或工>4：...............................................................................................................2分

由/Cr）<0.得lO<a....................................................................................................................................................3分

故人力在（0,13储,+8〉上单调递增，在（La）上单调递减.............................................5分

（2）①当a<0时,/Cr）在（1.+8）上单调递增.在（0.1）上单调递减.

7

则/Cr）mn=/（1）=—a--.............................................................................................................................................6分

因为三，〃6（0.1），/（〃。>0.且/（2）=。（-2+仙2）>0,.................................................................................................7分

所以/（1）=一0一十<0.即一十VaVO・.........................................................................................................................8分

②当OVaVl时,/Cr）在（0,公，（1・+8）上单调递增•在储.1）上单调递减.

/（1）在.r=a时取得极大值•且/（0）=/<?—（a+l）a+alna=—■-1+lna）・

因为0VaVl・所以-1+lnaVO,则/Q）V0・.............................................................................................................10分

所以/Cr）在（0.+8）只有一个零点.................................................................U分

综上，。的取值范围为（一十，0）......................................................................................................................................12分

f.r=l+3cosa<

解：（1）由彳（a为参数）.消去参数得（Ll”