柯桥中学2022学年高三第一次数学限时测试

柯桥中学2022学年高三第一次数学限时测试（满分：150分，时间：120分钟）命题人：王文清徐雅平一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜3}C．{x|﹣1＜x＜0或0＜x＜3} D．{x|﹣1＜x＜0或1＜x＜3}2．已知p：方程x2+ax+b=0有且仅有整数解，q：a，b是整数，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件3．下列函数中，与y=x相同的函数是（）A． B．y=lg10x C． D．4．已知，则下列不等式一定成立的是（）A． B． C．ln（a﹣b）＞0 D．3a﹣b＜15．已知角α（0°≤α＜360°）终边上一点的坐标为（sin150°，cos150°），则α=（）A．150° B．135° C．300° D．60°6．若3sinα+cosα=0，则的值为（）A． B． C． D．﹣27．设函数f（x）=，则当x＞0时，f[f（x）]表达式的展开式中常数项为（）A．﹣20 B．20 C．﹣15 D．158.函数y=的部分图象大致为（）AB C D9．大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个小孩的现象普遍存在，某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个小孩共8人，准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4名小孩不考虑位置），其中A户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有（）A．18种 B．24种 C．36种 D．48种10．若函数f（x）=2x2﹣lnx在其定义域的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是（）A． B． C． D．二．填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=，f（x）的最小值是．12．函数f（x）=1﹣3sin2x的最小正周期为，值域为.13．函数y=cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移个单位后，与函数y=sin（2x+）的图象重合，则φ=．14．设曲线y=ex在点（0，1）处的切线与曲线y=（x＞0）上点P的切线垂直，则点P的坐标为．15．已知2cos2x+sin2x=Asin（ωx+φ）+b（A＞0），则A=，b=．16．若将函数f（x）=x5表示为f（x）=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a5（1+x）5，其中a0，a1，a2，…a5为实数，则a0=，a3=．17．设a，b∈R，若x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2，则ab等于．三．解答题（本大题共5小题，共74分）18．(本题满分14分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．19．(本题满分15分)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．20．(本题满分15分)已知命题P：函数f（x）为（0，+∞）上单调减函数，实数m满足不等式f（m+1）＜f（3﹣2m）．命题Q：当x∈[0，]，实数m=sin2x﹣2sinx+1+a．若命题P是命题Q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．21．(本题满分15分)已知函数，求函数f（x）的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性．22．(本题满分15分)已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．（Ⅰ）当a=4时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围．

柯桥中学2022学年高三第一次数学限时测试参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜3}C．{x|﹣1＜x＜0或0＜x＜3} D．{x|﹣1＜x＜0或1＜x＜3}【解答】解：由A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|x＜0，或x＞1}，故A∩B={x|﹣1＜x＜0，或1＜x＜3}．故选D．【点评】本题考查了集合的交集的运算，属于基础题．2．已知p：方程x2+ax+b=0有且仅有整数解，q：a，b是整数，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【解答】解：a，b是整数时，x2+ax+b=0不一定有整数解，即命题p⇒命题q为假命题，若x2+ax+b=0有且仅有整数解，由韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）我们易判断a，b是整数．即命题p⇒命题q为真命题，故p是q的充分不必要条件故选：A．【点评】本题考查的知识点是充要条件的判断，充要条件判断的方法一般为：先判断p⇒q与q⇒p的真假，再根据充要条件的定义给出结论．3．下列函数中，与y=x相同的函数是（）A． B．y=lg10x C． D．【解答】解：对于A，y==|x|（x∈R），与函数y=x的对应法则不同，不是同一函数；对于B，y=lg10x=x（x∈R），与函数y=x的定义域相同，对应法则也相同，是同一函数；对于C，y==x（x≠0），与函数y=x的定义域不同，不是同一函数；对于D，y=+1=x（x≥1），与函数y=x的定义域不同，不是同一函数．故选：B．【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题．4．已知，则下列不等式一定成立的是（）A． B． C．ln（a﹣b）＞0 D．3a﹣b＜1【解答】解：∵，∴a＞b＞0，∴＜，＜，ln（a﹣b）与0的大小关系不确定，3a﹣b＞1．因此只有A正确．故选：A．【点评】本题考查了幂函数指数函数与对数函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．已知角α（0°≤α＜360°）终边上一点的坐标为（sin150°，cos150°），则α=（）A．150° B．135° C．300° D．60°【解答】解：∵角α（0°≤α＜360°）终边上一点的坐标为（sin150°，cos150°），即（，﹣），则α为第四象限角，再根据tanα==﹣，∴α=360°﹣60°=300°，故选：C．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，特殊角的三角函数值，属于基础题．6．若3sinα+cosα=0，则的值为（）A． B． C． D．﹣2【解答】解：∵3sinα+cosα=0，∴tanα=﹣，∴===，故选：A．【点评】本题考查同角三角函数基本关系的运用，考查学生的计算能力，比较基础．7.（2022•陕西）设函数f（x）=，则当x＞0时，f[f（x）]表达式的展开式中常数项为（）A．﹣20 B．20 C．﹣15 D．15【解答】解：当x＞0时，f[f（x）]==的展开式中，常数项为：=﹣20．故选A．【点评】本题考查二项式系数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．8.（2022•新课标Ⅰ）函数y=的部分图象大致为（）A． B． C． D．【解答】解：函数y=，可知函数是奇函数，排除选项B，当x=时，f（）==，排除A，x=π时，f（π）=0，排除D．故选：C．【点评】本题考查函数的图形的判断，三角函数化简，函数的奇偶性以及函数的特殊点是判断函数的图象的常用方法．9．大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个小孩的现象普遍存在，某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个小孩共8人，准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4名小孩不考虑位置），其中A户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有（）A．18种 B．24种 C．36种 D．48种【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①、A户家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的家庭，可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个小孩中任选一个，来乘坐甲车，有C32×C21×C21=12种乘坐方式；②、A户家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个小孩都在甲车上，对于剩余的2个家庭，从每个家庭的2个小孩中任选一个，来乘坐甲车，有C31×C21×C21=12种乘坐方式；则共有12+12=24种乘坐方式；故选：B．【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，关键是依据题意，分析“乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭”的可能情况．10．若函数f（x）=2x2﹣lnx在其定义域的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是（）A． B． C． D．【解答】解：求导函数，当k=1时，（k﹣1，k+1）为（0，2），函数在上单调减，在上单调增，满足题意；当k≠1时，∵函数f（x）=2x2﹣lnx在其定义域的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数∴f′（x）在其定义域的一个子区间（k﹣1，k+1）内有正也有负∴f′（k﹣1）f′（k+1）＜0∴∴×＜0∴∵k﹣1＞0∴k+1＞0，2k+1＞0，2k+3＞0，∴（2k﹣3）（2k﹣1）＜0，解得综上知，故选D．【点评】本题以函数为载体，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，分类讨论，等价转化是关键．二．填空题（共7小题）11．已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=0，f（x）的最小值是．【解答】解：∵f（x）=，∴f（﹣3）=lg10=1，则f（f（﹣3））=f（1）=0，当x≥1时，f（x）=，即最小值，当x＜1时，x2+1≥1，f（x）=lg（x2+1）≥0最小值0，故f（x）的最小值是．故答案为：0；．【点评】本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题．12．函数f（x）=1﹣3sin2x的最小正周期为π．【解答】解：∵函数f（x）=1﹣3sin2x=1﹣3=﹣+cos2x，∴函数的最小正周期为=π，故答案为：π．【点评】本题主要考查半角公式的应用，余弦函数的周期性，属于基础题．13．函数y=cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移个单位后，与函数y=sin（2x+）的图象重合，则φ=．【解答】解：函数y=cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移个单位后，得平移后的图象的函数解析式为y=cos[2（x﹣）+φ]=cos（2x+φ﹣π），而函数y=sin（2x+）=，由函数y=cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移个单位后，与函数y=sin（2x+）的图象重合，得2x+φ﹣π=，解得：φ=．符合﹣π≤φ＜π．故答案为．【点评】本题给出函数y=cos（2x+φ）的图象平移，求参数φ的值．着重考查了函数图象平移的公式、三角函数的诱导公式和函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换等知识，属于基础题．14．设曲线y=ex在点（0，1）处的切线与曲线y=（x＞0）上点P的切线垂直，则P的坐标为（1，1）．【解答】解：∵f'（x）=ex，∴f'（0）=e0=1．∵y=ex在（0，1）处的切线与y=（x＞0）上点P的切线垂直∴点P处的切线斜率为﹣1．又y'=﹣，设点P（x0，y0）∴﹣=﹣1，∴x0=±1，∵x＞0，∴x0=1∴y0=1∴点P（1，1）故答案为：（1，1）【点评】本题考查导数在曲线切线中的应用，在高考中属基础题型，常出现在选择填空中．15．已知2cos2x+sin2x=Asin（ωx+φ）+b（A＞0），则A=，b=1．【解答】解：∵2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+（cos2x+sin2x）=sin（2x+）+1，∴A=，b=1，故答案为：；1．【点评】本题考查了二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数的应用，熟练掌握公式是解题的关键．16．若将函数f（x）=x5表示为f（x）=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a5（1+x）5，其中a0，a1，a2，…a5为实数，则a3=10．【解答】解：f（x）=x5=[（x+1）﹣1]5=（x+1）5+（x+1）4（﹣1）+（x+1）3（﹣1）2+（x+1）2（﹣1）3+（x+1）1（﹣1）4+（﹣1）5而f（x）=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a5（1+x）5，∴a3=（﹣1）2=10故答案为：10【点评】本题主要考查了二项式定理的应用，解题的关键利用x5=[（x+1）﹣1]5展开，同时考查了计算能力，属于基础题．17．设a，b∈R，若x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2，则ab等于﹣1．【解答】解：验证发现，当x=1时，将1代入不等式有0≤a+b≤0，所以a+b=0，当x=0时，可得0≤b≤1，结合a+b=0可得﹣1≤a≤0，令f（x）=x4﹣x3+ax+b，即f（1）=a+b=0，又f′（x）=4x3﹣3x2+a，f′′（x）=12x2﹣6x，令f′′（x）＞0，可得x＞，则f′（x）=4x3﹣3x2+a在[0，]上减，在[，+∞）上增，又﹣1≤a≤0，所以f′（0）=a＜0，f′（1）=1+a≥0，又x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b，结合f（1）=a+b=0知，1必为函数f（x）=x4﹣x3+ax+b的极小值点，也是最小值点．故有f′（1）=1+a=0，由此得a=﹣1，b=1，故ab=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查函数恒成立的最值问题及导数综合运用题，由于所给的不等式较为特殊，可借助赋值法得到相关的方程直接求解，本题解法关键是观察出不等式右边为零时的自变量的值，及极值的确定，将问题灵活转化是解题的关键．三．解答题（共5小题）18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC2cosCsinC=sinC∴cosC=，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab=7，∵S=absinC=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2﹣18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．19．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．【解答】解：（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3；则P（X=0）=（1﹣）×（1﹣）（1﹣）=，P（X=1）=×（1﹣）×（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×=，P（X=2）=（1﹣）××+×（1﹣）×+××（1﹣）=，P（X=3）=××=；所以，随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望为E（X）=0×+1×+2×+3×=；（Ⅱ）设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P（Y+Z=1）=P（Y=0，Z=1）+P（Y=1，Z=0）=P（Y=0）•P（Z=1）+P（Y=1）•P（Z=0）=×+×=；所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为．【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题．20．已知命题P：函数f（x）为（0，+∞）上单调减函数，实数m满足不等式f（m+1）＜f（3﹣2m）．命题Q：当x∈[0，]，实数m=sin2x﹣2sinx+1+a．若命题P是命题Q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：命题P：根据已知条件得：，解得，即m；命题Q：x，∴sinx∈[0，1]，m=sin2x﹣2sinx+1+a=（sinx﹣1）2+a；∴当sinx=1时，m取最小值a，当sinx=0时，m取最大值1+a，所以m∈[a，1+a]；∵命题P是Q的充分不必要条件，所以；∴，解得；∴．【点评】考查根据函数的单调性解不等式，配方法求二次函数的值域，子集的概念．21．已知函数，求函数f（x）的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性．【解答