新教材人教a版必修第二册6.4.3第一课时余弦定理学案

6．余弦定理、正弦定理新课程标准解读核心素养1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系逻辑推理2.掌握余弦定理、正弦定理数学运算3.能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题数学建模第一课时余弦定理利用现代测量工具，可以方便地测出三点之间的一些距离和角，从而可得到未知的距离与角．[问题]例如，如图所示，A，B分别是两个山峰的顶点，在山脚下任意选择一点C，然后使用测量仪得出AC，BC以及∠ACB的大小．你能根据这三个量求出AB的距离吗？知识点一余弦定理文字表述三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍公式表达a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C推论cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)知识点二解三角形一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．()(2)已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的．()(3)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形．()(4)在△ABC中，若a2<b2＋c2，则△ABC一定为锐角三角形．()答案：(1)√(2)√(3)√(4)×2．在△ABC中，符合余弦定理的是()A．c2＝a2＋b2－2abcosC B．c2＝a2－b2－2bccosAC．b2＝a2－c2－2bccosA D．cosC＝eq\f(a2＋b2＋c2,2ab)解析：选A由余弦定理及其推论知只有A正确．故选A.3．在△ABC中，已知a＝9，b＝2eq\r(3)，C＝150°，则c＝()A.eq\r(39) B．8eq\r(3)C．10eq\r(2) D．7eq\r(3)解析：选D由余弦定理得：c＝eq\r(92＋（2\r(3)）2－2×9×2\r(3)×cos150°)＝eq\r(147)＝7eq\r(3).故选D.4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝eq\r(7)，c＝eq\r(3)，则B＝________．解析：由余弦定理，得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(1＋3－7,2×1×\r(3))＝－eq\f(\r(3),2).又0°<B<180°，∴B＝150°.答案：150°已知两边及一角解三角形[例1](链接教科书第43页例5)(1)在△ABC中，已知b＝60cm，c＝60eq\r(3)cm，A＝eq\f(π,6)，则a＝________cm；(2)在△ABC中，若AB＝eq\r(5)，AC＝5，且cosC＝eq\f(9,10)，则BC＝________．[解析](1)由余弦定理得：a＝eq\r(602＋（60\r(3)）2－2×60×60\r(3)×cos\f(π,6))＝eq\r(4×602－3×602)＝60(cm)．(2)由余弦定理得：(eq\r(5))2＝52＋BC2－2×5×BC×eq\f(9,10)，所以BC2－9BC＋20＝0，解得BC＝4或5.[答案](1)60(2)4或5eq\a\vs4\al()已知两边及一角解三角形的两种情况(1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解；(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角．[跟踪训练]1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos(A＋B)＝eq\f(1,3)，则c＝()A．4 B.eq\r(15)C．3 D.eq\r(17)解析：选DcosC＝－cos(A＋B)＝－eq\f(1,3).又由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝9＋4－2×3×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝17，所以c＝eq\r(17).故选D.2．在△ABC中，a＝3eq\r(3)，b＝3，B＝30°，解这个三角形．解：由余弦定理得b2＝c2＋a2－2cacosB，即c2－9c＋18＝0，解得c＝3或c＝6.当c＝3时，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝－eq\f(1,2)，∵0°<A<180°，∴A＝120°，故C＝180°－120°－30°＝30°；当c＝6时，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2)，∵0°<A<180°，∴A＝60°，故C＝180°－60°－30°＝90°.综上所述，A＝60°，C＝90°，c＝6或A＝120°，C＝30°，c＝3.已知三边或三边关系解三角形[例2](链接教科书第44页练习2题)(1)在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝eq\r(10)，求eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))的值；(2)在△ABC中，已知a∶b∶c＝2∶eq\r(6)∶(eq\r(3)＋1)，求各内角的度数．[解](1)根据余弦定理的推论得cosA＝eq\f(22＋32－（\r(10)）2,2×2×3)＝eq\f(3,12)＝eq\f(1,4)，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝－|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|·cosA＝－3×2×eq\f(1,4)＝－eq\f(3,2).(2)由a∶b∶c＝2∶eq\r(6)∶(eq\r(3)＋1)，令a＝2k，b＝eq\r(6)k，c＝(eq\r(3)＋1)k(k>0)．由余弦定理的推论，得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(6＋（\r(3)＋1）2－4,2×\r(6)×（\r(3)＋1）)＝eq\f(\r(2),2)，∴A＝45°.cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(4＋（\r(3)＋1）2－6,2×2×（\r(3)＋1）)＝eq\f(1,2)，∴B＝60°.∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.eq\a\vs4\al()已知三角形三边解三角形的方法先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦值，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论(或由求得的第一个角利用正弦定理)求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．[跟踪训练]1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝3，b＝5，c＝eq\r(19)，则最大角与最小角的和为()A．90° B．120°C．135° D．150°解析：选B在△ABC中，∵a＝3，b＝5，c＝eq\r(19)，∴最大角为B，最小角为A，∴cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(9＋25－19,2×3×5)＝eq\f(1,2)，∵0°<C<180°，∴C＝60°，∴A＋B＝120°，∴△ABC中的最大角与最小角的和为120°.故选B.2．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C＝________．解析：由已知可得(a＋b)2－c2＝ab，∴cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝－eq\f(1,2).∵C∈(0，π)，∴C＝eq\f(2π,3).答案：eq\f(2π,3)判断三角形的形状[例3](1)在△ABC中，(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab且2cosAsinB＝sinC，试判断三角形的形状；(2)在△ABC中，若acosB＋acosC＝b＋c，试判断该三角形的形状．[解](1)∵A＋B＋C＝180°，∴sinC＝sin(A＋B)．∵2cosAsinB＝sinC，∴2cosAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，∴sinAcosB－cosAsinB＝0，∴sin(A－B)＝0.∵0°<A<180°，0°<B<180°，∴－180°<A－B<180°，∴A－B＝0°，即A＝B.又(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，∴a2＋b2－c2＝ab，∴cosC＝eq\f(1,2).∵0°<C<180°，∴C＝60°，∴△ABC为等边三角形．(2)由acosB＋acosC＝b＋c，结合余弦定理得a·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＋a·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝b＋c，即eq\f(a2＋c2－b2,2c)＋eq\f(a2＋b2－c2,2b)＝b＋c，整理，得(b＋c)(a2－b2－c2)＝0.∵b＋c≠0，∴a2＝b2＋c2，故△ABC是直角三角形．eq\a\vs4\al()判断三角形形状的基本思想和两条思路[跟踪训练]在△ABC中，cos2eq\f(A,2)＝eq\f(b＋c,2c)(a，b，c分别为角A，B，C所对的边)，判断三角形的形状．解：因为cos2eq\f(A,2)＝eq\f(b＋c,2c)，所以eq\f(1＋cosA,2)＝eq\f(b,2c)＋eq\f(1,2)，所以cosA＝eq\f(b,c).由余弦定理的推论cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，得eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(b,c)，所以b2＋c2－a2＝2b2，所以a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形．1．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝eq\r(7)，b＝3，c＝2，则A＝()A．30° B．45°C．60° D．90°解析：选C∵a＝eq\r(7)，b＝3，c＝2，∴由余弦定理得，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(9＋4－7,2×3×2)＝eq\f(1,2)，又由A∈(0°，180°)，得A＝60°.故选C.2．一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－eq\f(3,5)，则三角形的另一边长是________．解析：设另一边长为x，则x2＝52＋32－2×5×3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝52，∴x＝2eq\r(13).答案：2eq\r(13)3．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝10，b＝15，C＝60°，则cosB＝________．解析：由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2ab·cosC＝102＋152－2×10×15×cos60°＝175，∴c＝5eq\r(7).∴cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(102＋175－152,2×10×5\r(7))＝eq\f(\r(7),14).答案：eq\f(\r(7),14)4．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a－c)(a＋c)＝b(b－c)，(1)求角A的大小；(2)若b＋c＝2a＝2eq\r(3)，试判断△ABC的形状．解：(1)∵(a－c)(a＋c)＝b(b－c)，∴a2－c2＝b2－bc，即b2＋c2－a2＝bc.∴cosA＝e