2020届高三数学一轮复习导学案教师讲义 第1讲 函数及其表示

231231知识点函数及其表示单调性奇偶性指数函数对数函数

第2章函概念与基本初等函数考纲下载了解构成函数的要素会求一些单函数的定义域和值域了解映射的概念．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方(如图象法、列表法、解析法表示函数．了解简单的分段函数，并能简单应.理解函数的单调性及其几何意义．理解函数最大值、最小值及其几何意.结合具体函数了解函数奇偶性的含了解指数函数模型的实际背景．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．理解指数函数的概念理解指数数的单调性掌握指数函数图象通过的特殊点．知道指数函数是一类重要的函数模.理解对数的概念及其运算性质道换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．理解对数函数的概念理解对数数的单调性掌握对数函数图象通过的特殊点．知道对数函数是一类重要的函数模型．了解指数函数y＝a(＞且a与对数函数y＝logx(＞0且a≠1)a互为反函数.了解幂函数的概念．幂函数

结合函数y＝x，y＝，＝

，y＝，y＝xx

的图象，了解它们的变化情函数的图象函数与方程函数模型及其应用

况.会运用函数图象理解和研究函数的性.结合二次函数的图象了解函数零点与方程根的联系判一元二次方程根的存在性及根的个数．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型的广泛应用

2222第1讲函及其表示．函数与映射的概两集合A、B

函数设AB是两个非空的数集

映射设A是个非空的集合对应关系

如果按照某种确定的对应关系，如按某一个确定的对应关系f，使对于集合中的任意一个数，使对于集合A中任意一个元f：→名称记法

在集合中有唯一确定的数f)和它对应称f：→为从集合到合B的一个函数y＝()(x∈)

x集合B中有唯一确定的元素y与之对应称对应f：A→B为集合到集合B的个映射对应fA→B是个映射．数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y＝(x)xA中叫自变量的取值范围A叫做函数的定义域；与x的相对应的y值做函数值，函数值的集合{(x)|∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域对应关系．相等函数：如果两个函数的义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．．分段函数若函数在其定义域的不同子集上对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示种函数称为分段函数．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×)(1)函数y＝(x)的图象与直线x＝多有交点．)(2)函数f)＝x－2x与t＝t－t是一函数()(3)若两个函数的定义域与值域相，则这两个函数是相等函数()(4)若A＝R，＝{＞0}：x→y＝x，则对应关系f是从A到的射．()

2logx2332x322logx2332x32(5)分段函数是由两个或几个函数成的()(6)分段函数的定义域等于各段定域的并集，值域等于各段值域的并集()答案：(1)

(2)√

(3)×(4)××√(教习改编)若函y＝(x)定义域为＝{－2≤x≤2}，值域为N＝{|0≤y≤2}，则函数＝()的图象可能)答案：(教材习题改编)下列哪个函数与y＝x相()xA＝xC．yx解析：Ry

B＝2D．y＝){∈Rx0}，2

{x∈R，ABxxx∈，，(x，x，D.(教材习题改编)下列对应关系：①＝{1，，＝{，－，－，1，3}f：→x的方根；②＝R，＝，：x→的数；③＝R，＝，：x→－2；④＝{，0，1}，B＝{10，1}，：A中的数的平方．其中是到的映射的是()A①③C．④答案：

B②④D．③已知函数fx)＝2＋1，若fa＝5，则实数的值为________．解析：()答案：12

a，21，12.，≥，(教材习题改编)已知函数f(x)＝则f(1)f(－＝．，，解析：(1)×，f(3)×(3，ff526.

2213221322132213答案：函数的定义频)函数的定义域是高考命题的重点选择题或填空题的形式直接考查其识相结合函的单调性、最值考查．主要命题角度有：求的定义域；已数的定义域求参数的取范围．例]角度一求的定义域

－x定义域(2x2A，2)C，2)

B－2，2)D－2，2]若定域[，函数＝的义_．－1－1≥02x【解析要函数有意，必须所以－2

，4－x，由

解得0，的义[．0，【答案(1)C，若将本例“函数改“数”其件不变，如何求解？解：由函数定义域[得函数定域[，令

1，得≤x≤且≠1.－1≠0，所以的域[22角度二已数的定义域求参的取值范围

22(1)若函数f)2

＋ax－

－1定义域为R则取值范围_______．ax1(2)若函数y＝的义为，实的取值范围是________ax＋ax＋3【解析f)，

＋axa

1∈，

2ax

≥2

0

，xaxa，Δ)2a，1≤0.(2)yax

，2322ax0，yax22axxa，yxa≠0，(2a)4·30，0a3.，a[03)【答案－10](2)[0，函数定义域的求解策略(1))，(2)((ab)ag)b(gx②yf(gx))(，b，(x)(，)yfx)(3)，()，[注意]，(2)，[通关练习]．已知fx)定义域是[，4]，则fx＋(－1)定义域．解析：f)[，4]≤3，，≤

22x2xx22x2xxxxx1txx1x≤3，fx1)f(1)[，答案：[1，．若函数fx)＋mx＋1定义域为实数集，则实数的值范围．解析：

21m，1≥，m≤0m≤≤4.答案：[0，求函数的解析式(1)已知f

x＋＝x

[典例引领]＋，f)解析式；x(2)已知f＋＝，求f(的解析式；(3)已知f)是二次函数，且f＝0，f＋＝fx＋＋1求fx)(4)已知函数f)满足f－x＋2()＝2求f(x的解析式．【解】(1)(f

1xx

2fx)，≥2≤2f)f)x22≥x2.2)，ft，t1t1，t1f)f)lg

，x1.x1)fx)bxc(≠，f0c0，f()axbxfx1)f(x)1，

x2x2a(x2(bxx1ax2(2b(b1a

fx)xx∈)fx)fx2，①f)2()2

，②×②，，3(xx1

f)

1

x

fx)f)

1

，x∈R求函数解析式的4种方法(1)配凑法f(())(x)，F(xg)，x()，fx)(2)待定系数法((3)换元法())，，(4)解方程组法fx)f

f()，，)[注意][通关练习]．已知fx＋1)＝x＋2x，求f(x)的解析式．解：法一：()t，(t1)，t≥1ft)(t1)2tt2tt21.f)x1≥

12123sinf法二：()x2x()2x1(1f(2，x≥1f)x1≥．设y＝fx)是二次函数，方程fx)两个相等实根，且fx)＝2＋2求f(x)的解析式．解：f)ax2(≠0)，f)2ax2，a，b，f)2c.fx)0，c0，(x)x2分段函数)分段函数是一类重要的函数是考的命题热点多选择题或填空题的形式呈现试题多为容易题或中档题．主要命题角度有：(1)求分段函数的函数值；(2)已知函数值，求参数的或取值范)；(3)与分段函数有关的方程、不等问题．[典例引领]角度一求分段函数的函数值x＞0(1)已知函数f()＝则ff≤0，

的值是_．3sinπ，≤0(2)已知f)＝，f的为_______－＋1，x＞0【解析f2ff

(321

1π(2).1【答案(1)(2)－

1π1，a2a∈－a，a.1π1，a2a∈－a，a.角度二已知函数值求参数的(或取值范围已知fx)＝

x2∈[0，＋∞|sin，∈－，0

fa)＝，a＝．1【解析a≥，f)，aπ1，0，a，π1π46【答案

π或－角度三与分段函数有关的方程、不等式问题A2C．

，x，高山东卷)fx＝x－，≥，BD．

若fa)f(a＋，则f

＝()0高全国卷Ⅲ)函数fx＝则足()＋x－的x的值，范围是_．【解析法一：a，1，fa，(a1)2(a11)fa(a2，a

f

(4)×1)a≥1，1，fa2(1)，f1)11)2.fa(2(1)2，，

6法二：01，(，，≥1，x)x，，

0x≤，(xf2xx110x≤，(xf2xx11，(x)f2x222fa(，2(11)，af

(4)6.(2)≤0，)f，≤0

xx1111x2x2，x，∞.【答案(2)

－，＋(1)根据分段函数解析式，求函数的解题思路，，ffa))，(2)已知分段函数的函数，求参值的解题思路，(3)已知分段函数的函数值满足的等，自变量取值范围的解题思路，[通关练习]．设函数fx)＝A3C．

＋logx)，x＜1则f－2)＋f＝)，BD．解析：C21

22log1212322222log12123222f2)log2)1log123.log2

1f12)2

f2)f(log2

12)39.C≤，．已知函数fx)＝且f(a＝－2则f－＝()，x＞，A－log73C．

B－D．解析：a≤0，22a0，

29，fa(2)222

＋1)，＜1，设数fx)＝则使得f()≥1的变量的值范围是．x－1，x≥11解析：(x≥111

≤2≤x1.≥1，，1≤10.≥1，xx≤≤x≤答案：(∞，2]∪，10]理解函数概念应关注的个易错点在断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同．(2)易混“函数”与“映射”的概数是特殊的映射映射不一定是函数从A到B的一个映射、若不是数集，则这个映射便不是函数．(3)与x轴直的直线和个函数的图象至多有1个交点．函数解析式的求法求函数解析式常用的方法有：配凑法待定系法；(3)换元法；(4)解方程组法．

220022220022函数定义域的求法求函数的定义域的关键在于列全限制条件并准确求解方程组或不等式组)；对于求含有字母参数的函数的定义域问题注意对参数取值的讨论于际问题的定义域一定要使实际问题有意义．解决分段函数问题应关注(1)分段函数是一个函数求”是解决分段函数的基本原则(2)在求分段函数的值fx时要先判断属于定义域的哪个子集，再代入相应关系式(3)分段函数的值域00应是其定义域内不同子集上各关系式的取值集合的并集；(4)当变量范围不确定时，要根据定义域分成的不同子集进行讨论．．函数fx)A，＋∞C．(2，3)

＋ln(3－xx－2

)的定义域是()B，＋∞D．(2，∪，＋∞解析：C2x3(2，3)．已知函数fx)x，∈，fx)＝4则x的为)00A－2C．2或2

BD．2解析：B0，(x)x，(x)4，，0，()x2，f)，x402，B00．广州综合测试(一)已知函数f＝，则f(＝()＞AC．解析：Af(3)log

BD．0

21log23222222221log232222222fff)22log

4

，A－x．已知f，f(x)解析式()＋xxAf()＝＋

Bfx)＝－1xC．f(x)＝

＋

xD．(x)－1xt(1)2t2t解析：Ct，，(tt(1t21t2

，f)f()

，．已知f－＝2－5，且fa)＝6，则a等()A－C．解析：Btx，2t2ftt2)4

BD．faa6a

，．已知函数fx)＝若f(＋f＝，则实数a值等于)0.A－3C．

B－1D．解析：Af(1)，ff(1)，a，fa)a，a≤0，()a2，a，a，A．设函数fx)＝Aa

－1＞0(a＋abf(a)则(≠)的值为)，x＜，BC．a，b中小的数

D．，中较大的数解析：C，ab，fa)1

2222nn，n，2222nn，n，n，f))2(解析：D.f)×2，，n≥，≥，(f(n2，n

(b(bfab)12

[(b()]ba)a0abf()，

(b(bfab)12

[(b()]aa)，C．若二次函数g)满足(1)＝1，g－＝5且图象过原点，则()的解析式为()Ag()＝x－xC．(x＝x＋x

B)＝3x－xD．＝－x－x解析：Bgx)bx(a0)，g，g(5，，5，(32x.c0c，．已知函数y＝f(x＋的定义域是－2，3]，则＝f(2x－1)的定义域为()A[，7]C．[－，5]

B[，4]D．0，解析：D.f(x1)[2，1x≤1x1≤40≤≤，(2

0.．石家庄质量检(一设函数()＝()

x＋n＜，若ff＝，实数n为log，≥2A－C．

B－D．3313342242

n1322

3xxf(x)②f3xxf(x)②f(x，x0，4，n

，＜111石庄量检测(一))已知函数f()＝f(f(x＜的集为()x≥1A－，＋∞C．(1－ln，1)

B(－∞，1ln2)D．(1，1＋ln2)解析：Bx≥，fx)x3≥，，f()2e

12，ff))2f)1x1xlnf(f))2(∞1ln2)，B．已知具有性质f函数：

x

＝－f)的函数，我们称fx为满足“倒负”变换的函数，下列x，0<x，1，x＝，①()＝x－；fx)＝x＋；③(x＝x，x>1.x其中满足“倒负”变换的函数()A①②C．③1解析B①(xxf

B①③D．1xx③f

，0<，，x，>1xx>1xffx<1

x

f)，．函数f)()分别由下表给出．xf)

x(x)

则fg的值为_；满足f(x))＞gf(x))的x值为________．解析：g(1)，(3)，fg

2＋xx2＋xxff2，ff，ff，ff27，(，g(g3，(，g(g1，(，g(g3答案：12．若f)对于任意实数恒2－f(－)＝3＋，则f＝________．解析：，f(1)f4，，f(1)f2①f(1)2.答案：215．知函数．

x≥，f()＝

若[f)－f，实数a的值范围为解析：a，，a<0，[(a)]a

2)>0，2，>2a<0.，a>2.，，a[fa)(a)][3a(a2)]>0a2a>0a>0<2，<2.，a(∞，∞答案：(∞，∪，＋)知函数f)足对任意的x∈R都

1＋x＋f－＝立f＋f＋…

＝．解析：f

1f

271f×2，ff…f

2×37.答案：7．设x∈，义号函数＝错误则()A＝|sgn．＝x

223232x2xx223232x2xx，f(x)x)xxx，2…f1×1009×ffff21212C．＝x|sgnxD．＝sgnx解析：D.<0，x，|sgnx，xx，xxx)·(x，A，，，f))都是定义在实数集上函数函fx)∈Rg)＝((x0，f)＝()则)