新教材人教b版必修第一册3.1.3第1课时函数的奇偶性课件

第三章函数的奇偶性第1课时函数的奇偶性学习目标XUEXIMUBIAO1.了解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图像的对称性解决简单问题.内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PARTONE奇偶性偶函数奇函数条件设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D结论f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)图像特点关于

对称关于

对称y轴原点知识点函数奇偶性的概念及图像特点思考奇(偶)函数的定义域有何特征？答案

奇(偶)函数的定义要求“对定义域D内任意一个x，都有－x∈D”，故奇(偶)函数的定义域必须关于原点对称.1.奇、偶函数的定义域都关于原点对称.(

)2.函数f(x)＝x2＋|x|的图像关于原点对称.(

)3.对于定义在R上的函数f(x)，若f(－1)＝f(1)，则函数f(x)一定是偶函数.(

)4.不存在既是奇函数又是偶函数的函数.(

)思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU×√××2题型探究PARTTWO例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝2－|x|；一、函数奇偶性的判断解

∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数.解

∵函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x)既是奇函数又是偶函数.解

∵函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数.解

f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.又当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x).综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数.反思感悟判断函数奇偶性的两种方法(1)定义法(2)图像法注意：对于分段函数奇偶性的判断，应分段讨论，要注意根据x的范围取相应的函数解析式.跟踪训练1判断下列函数的奇偶性：解因为函数f(x)的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)＝

是非奇非偶函数.解因为f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称.所以f(x)为奇函数.解因为f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－(－x)＝x2＋x＝f(x)；当x<0时，－x>0，则f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x＝f(x)，综上可知，f(x)是偶函数.二、奇、偶函数图像的特征及应用例2

定义在R上的奇函数y＝f(x)在[0，＋∞)上的图像如图所示.

(1)请在坐标系中补全函数f(x)的图像；解先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2,0)，连线可得f(x)的图像如图.(2)解不等式xf(x)>0.解

xf(x)>0即图像上横坐标、纵坐标同号.结合图像可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2).延伸探究把本例中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题.解

(1)f(x)的图像如图所示.(2)xf(x)>0的解集是(－∞，－2)∪(0,2).反思感悟可以用奇(偶)函数图像关于原点(y轴)对称这一特性去画图，求值，解不等式等.跟踪训练2

设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，当x∈[0,5]时，函数y＝f(x)的图像如图所示，则使函数值y＜0的x的取值集合为A.(2,5) B.(－5，－2)∪(2,5)C.(－2,0) D.(－2,0)∪(2,5)√解析

因为原函数是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图像关于坐标原点对称，由y＝f(x)在[0,5]上的图像，知它在[－5,0]上的图像，如图所示，由图像知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5).三、利用函数奇偶性求参数例3

(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝__，b＝__；0解析

因为偶函数的定义域关于原点对称，结合偶函数图像的特点，得b＝0.解析

∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，－1显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，故a＋1＝0，得a＝－1.反思感悟利用奇偶性求参数的常见类型及策略(1)定义域含参数：奇、偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数.(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数即可求解.跟踪训练3

(1)若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝__.解析方法一显然x∈R，由已知得f(－x)＝(－x)2－|－x＋a|＝x2－|x－a|.又f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)，即x2－|x＋a|＝x2－|x－a|，即|x＋a|＝|x－a|.又x∈R，所以a＝0.方法二由题意知f(－1)＝f(1)，则|a－1|＝|a＋1|，解得a＝0.0(2)若定义在(－1,1)上的奇函数f(x)＝

，则常数m＝__，n＝

__.解析由已知得f(0)＝0，故m＝0.由f(x)是奇函数，知f(－x)＝－f(x)，00∴x2－nx＋1＝x2＋nx＋1，解得n＝0.3随堂演练PARTTHREE1.(多选)给定四个函数，其中是奇函数的有12345√√12345解析

对于A，函数的定义域为R，f(x)＝x3，f(－x)＝(－x)3＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数；对于B，函数的定义域不关于原点对称，则函数f(x)为非奇非偶函数；对于C，函数的定义域为R，f(0)＝0＋1＝1≠0，则函数f(x)为非奇非偶函数；A.y轴对称

B.直线y＝－x对称C.坐标原点对称

D.直线y＝x对称12345√解析∵函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，12345√解析

因为f(x)是定义在R上的奇函数，123454.下列图像表示的函数是奇函数的是_____，是偶函数的是_____(填序号).解析

①③关于y轴对称是偶函数，②④关于原点对称是奇函数.②④①③123455.若f(x)是定义在R上的奇函数，f(3)＝2，则f(－3)＝___，f(0)＝__.解析因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－2，f(0)＝0.－20课堂小结KETANGXIAOJIE1.知识清单：(1)函数奇偶性的概念.(2)奇函数、偶函数的图像特征.2.方法归纳：特值法、数形结合法.3.常见误区：忽略奇函数、偶函数的定义域关于原点对称.4课时对点练PARTFOUR1.(多选)下列函数是奇函数的是A.y＝x(x∈[0,1]) B.y＝3x2基础巩固1345678910111213141516解析

利用奇函数的定义，首先定义域关于原点对称，排除选项A；又奇函数需满足f(－x)＝－f(x)，排除选项B.2C.y＝

D.y＝x|x|√√2.(多选)若函数f(x)为定义在R上的奇函数，下列结论正确的是A.f(－x)＋f(x)＝0 B.f(－x)－f(x)＝－2f(x)13456789101112131415162C.f(－x)f(x)≤0 D.＝－1√√√1345678910111213141516解析

∵f(x)为R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(－x)＋f(x)＝0，f(－x)－f(x)＝－2f(x)，f(－x)f(x)＝－[f(x)]2≤0，∴A，B，C正确.而D不一定成立，如f(x)＝x，23.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是A.奇函数

B.偶函数C.非奇非偶函数

D.既是奇函数又是偶函数1345678910111213141516解析

因为f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，所以由f(－x)＝f(x)，得b＝0.所以g(x)＝ax3＋cx.所以g(－x)＝a(－x)3＋c(－x)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数.2√4.已知函数f(x)是奇函数，函数g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于A.41345678910111213141516解析由题意知f(－1)＋g(1)＝－f(1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝f(1)＋g(1)＝4.两式相加，解得g(1)＝3.2√134567891011121314151625.已知定义在R上的偶函数f(x)满足：当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝解析

∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)＝2－2＝0，f(0)＝0＋1＝1.∴f(f(－2))＝f(0)＝1.A.1 B.3 C.－2 D.－3√6.已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝__.13456789101112131415162解析

由奇函数定义有f(－x)＋f(x)＝0，得a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝2ax2＝0，故a＝0.013456789101112131415162解析

因为f(x)为奇函数，所以f(x)＝x3＋2x，1345678910111213141516解析令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)是奇函数，∴f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2，又f(－3)＝－3，∴g(3)＝5.又f(3)＝g(3)＋2，所以f(3)＝5＋2＝7.28.已知f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝__.713456789101112131415162故函数f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称，且有x＋2>0，故函数f(x)为奇函数.∵b∈Z，∴a＝1，b＝1，c＝0.13456789101112131415162又f(1)＝2，∴a＋1＝2b.∵a∈Z，∴a＝0或1.解得－1<a<2，综合运用1345678910111213141516211.已知函数y＝f(x)是偶函数，且图像与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是A.4解析因为f(x)是偶函数，且图像与x轴有四个交点，所以这四个交点每组两个关于y轴一定是对称的，故所有实根之和为0.√134567891011121314151612.(多选)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是A.f(x)＋|g(x)|是偶函数

B.f(x)－|g(x)|是偶函数C.|f(x)|＋g(x)是偶函数

D.|f(x)|－g(x)是奇函数解析

由f(x)是偶函数，可得f(－x)＝f(x)，由g(x)是奇函数，可得g(－x)＝－g(x)，故|g(x)|为偶函数，∴f(x)＋|g(x)|为偶函数，f(x)－|g(x)|是偶函数.2√√134567891011121314151613.已知定义域为[a－4,2a－2]的奇函数f(x)＝2021x3－5x＋b＋2，则f(a)＋f(b)的值为__.解析

因为奇函数的图像关于原点对称，所以a－4＋2a－2＝0，所以a＝2，因为函数f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，即b＋2＝0，故b＝－2，所以f(a)＋f(b)＝f(2)＋f(－2)＝f(2)－f(2)＝0.2014.已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝__.1345678910111213141516解析在f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1中，令x＝－1，得f(－1)－g(－1)＝1，又f(－1)＝f(1)，g(－1)＝－g(1)，∴f(1)＋g(1)＝1.21拓广探究13456789101113141516故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]2121345678910111213141516216.(1)已知函数f(x)，x∈R，若对于任意实数x1，x2，都有f(x1＋x