新教材人教b版选择性必修第二册3.1.1基本计数原理课件

第三章排列、组合与二项式定理排列与组合基本计数原理基础预习初探主题1分类加法计数原理一个小朋友的玩具盒子中有红色玻璃球20个，蓝色玻璃球1个，黄色玻璃球8个，现在他要从中取出一个玻璃球，有几种方法？1.这个小朋友要“完成的一件事”是什么？提示：从盒子中取出一个玻璃球.2.按照小球的颜色，完成这件事的方法分为几类？提示：小球有三种颜色，所以分为三类.3.他完成这件事有几种方法？提示：他可以取一个红色玻璃球，有20种方法，也可以取一个蓝色玻璃球，有1种方法，还可以取一个黄色玻璃球，有8种方法，所以共有20+1+8=29种不同的取法.结论：1.分类加法计数原理完成一件事，如果有n类办法，且：第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=___________种不同的方法.m1+m2+…+mn2.对分类加法计数原理的说明(1)核心：原理的核心为“分类”，完成一件事的方法为若干类.(2)特点：相互独立；各类方案相互独立，各类方案中的各种方法也相互独立，并且用任何一类方法都可以独立完成这件事.(3)应用：①根据问题的特点确定一个分类标准；②在确定的标准下进行分类；③分类不能重复，不能遗漏.【对点练】1.有一道数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5名同学只会用综合法证明，有3名同学只会用分析法证明，现从这些同学中任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数为 ()【解析】选A.解决问题分成两类，一是可以用综合法证明，有5种方法，一是可以用分析法证明，有3种方法，根据分类加法计数原理知共有3+5=8种.2.小明计划在2021年的暑假从他居住的昆明到北京去游学，他可以坐动车，也可以乘普通火车，还可以乘飞机，已知动车每日5班，普通火车每日10班，飞机每日2班，则小明在某一天从昆明到北京有_______种出行方式.

【解析】出行方式分3类，动车有5种方式，普通火车有10种方式，飞机有2种方式，这三类的每一种方式都可以达到出行目的，所以由分类加法计数原理，共有5+10+2=17种出行方式.答案：17主题2分步乘法计数原理一个小朋友的书橱中有童话故事书20本，少年哲学书1本，《十万个为什么》18本，要求三种类型的书各取一本，则这个小朋友有几种取法？1.完成的一件事是什么？提示：要求三种类型的书各取一本.2.分几个步骤？提示：分3个步骤.3.完成这件事共有几种方法？提示：第一步取1本童话故事书，有20种方法；第二步取1本少年哲学书，有1种方法；第三步取1本《十万个为什么》，有18种方法；所以共有20×1×18=360种方法.结论：1.分步乘法计数原理完成一件事，如果需要分成n个步骤，且：做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=______________种不同的方法.m1×m2×…×mn2.对分步乘法计数原理的说明(1)明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的.(2)将完成这件事划分为几个步骤，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成.【对点练】1.某班小张等4位同学报名参加A，B，C三个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张不能报A小组，则不同的报名方法有 ()种 种 种 种【解析】选C.根据题意，分析可得：除小张外，每位同学都可以报A，B，C三个课外活动小组中任意一个，都有3种选择，小张不能报A小组，只有2种选择，所以不同的报名方法有3×3×3×2=54(种).2.某地计划下派4名干部到4个贫困村担任驻村干部去完成精准扶贫的任务，每个村派一名干部，则下派方法有 ()种 种 种 种【解析】选A.完成的一件事是“下派4名干部到4个贫困村”，分为4个步骤，第一步从4个干部中选一个下派到第一个贫困村，第二步从余下的3个干部中选一个下派到第二个贫困村，第三步从余下的2个干部中选一个下派到第三个贫困村，第四步下派余下的那个干部到第四个贫困村，所以由分步乘法计数原理得下派方法共有4×3×2×1=24种.核心互动探究探究点一分类加法计数原理【典例1】(1)椭圆+=1(m>0，n>0)的焦点在x轴上，且m∈{1，2，3，4，5}，n∈{1，2，3，4，5，6，7}，则这样的椭圆的个数为 ()(2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为________.

【思维导引】(1)椭圆的焦点在x轴上，则有m>n.(2)先将10位数字分类，再分别计算每一类满足条件的个数.【解析】(1)选A.因为焦点在x轴上，所以m>n，以m的值为标准分类，由分类加法计数原理，可分为四类：第一类：m=5时，使m>n，n有4种选择；第二类：m=4时，使m>n，n有3种选择；第三类：m=3时，使m>n，n有2种选择；第四类：m=2时，使m>n，n有1种选择.故符合条件的椭圆共有10个.(2)根据题意，将十位上的数字按1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个.由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(个).答案：36【类题通法】分类加法计数原理的两个条件(1)根据问题的特点能确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类.(2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理.【定向训练】如图，从A到O有_______种不同的走法(不重复过一点).

【解析】分3类：第一类，直接由A到O，有1种走法；第二类，中间过一个点，有A→B→O和A→C→O，2种不同的走法；第三类，中间过两个点，有A→B→C→O和A→C→B→O，2种不同的走法.由分类加法计数原理可得共有1+2+2=5(种)不同的走法.答案：5探究点二分步乘法计数原理【典例2】(1)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 ()(2)有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有_______种不同的报名方法.

【思维导引】(1)先考虑从E到F的走法，再考虑从F到G的走法.(2)分步确定每个项目的选法.【解析】(1)选B.由题意可知E→F共有6种走法，F→G共有3种走法，由分步乘法计数原理知，共有6×3=18种走法.(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有6×5×4=120(种).答案：120【类题通法】利用分步乘法计数原理解题的策略(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的.(2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成任务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总方法数.提醒：分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成.【定向训练】1.已知集合M={-3，-2，-1，0，1，2}，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上的点，则P表示坐标平面上第二象限的点的个数为 ()【解析】选A.确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，由于a<0，所以有3种方法；第二步确定b，由于b>0，所以有2种方法.由分步乘法计数原理，得到第二象限的点的个数是3×2=6.2.如图，某电子器件由3个电阻串联而成，形成回路，其中有6个焊接点A，B，C，D，E，F，如果焊接点脱落，整个电路就会不通.现发现电路不通，那么焊接点脱落的可能情况共有________种.

【解析】因为每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况，而只要有一个焊接点脱落，则电路就不通，故共有26-1=63种可能情况.答案：633.从-1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)=ax2+bx+c的系数，则可组成_______个不同的二次函数，其中偶函数有_______个(用数字作答).

【解析】一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知共有3×3×2=18(个)二次函数.若二次函数为偶函数，则b=0，同上可知共有3×2=6(个)偶函数.答案：186探究点三两个计数原理的综合应用角度1涂色、种植问题【典例3】如图，用6种不同的颜色分别给图中A，B，C，D四块区域涂色，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有 ()种 种种 种【思维导引】按A与D同色和不同色分为两类进行求解.【解析】选C.完成此事可能使用4种颜色，也可能使用3种颜色.当使用4种颜色时：从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D有3种，完成此事共有6×5×4×3=360种方法；当使用3种颜色时：A，D使用同一种颜色，从A，D开始，有6种方法，B有5种，C有4种，完成此事共有6×5×4=120种方法.由分类加法计数原理可知：不同的涂法有360+120=480(种).角度2与几何有关的问题【典例4】(1)如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是 ()(2)如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个(用数字作答).【思维导引】(1)按面定线，每个表面对应6组，每个对角面对应2组.(2)分两类：两个公共边的和一个公共边的.【解析】(1)选B.长方体的6个表面构成的“平行线面组”的个数为6×6=36，另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”的个数为6×2=12，故符合条件的“平行线面组”的个数是36+12=48.(2)把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有8×4=32(个)；第二类，有两条公共边的三角形共有8个.由分类加法计数原理知，共有32+8=40(个).答案：40角度3排数与排队问题【典例5】(1)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有 ()个 个 个 个(2)生产过程中有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有 ()种 种 种 种【思维导引】(1)首位是4和5的所有无重复数字的五位偶数即为合题意的；(2)即从最特殊的元素甲入手分类，按第一道工序是甲和不是甲进行分类.【解析】(1)选B.①首位为5，末位为0：4×3×2=24(个)；②首位为5，末位为2：4×3×2=24(个)；③首位为5，末位为4：4×3×2=24(个)；④首位为4，末位为0：4×3×2=24(个)；⑤首位为4，末位为2：4×3×2=24(个).由分类加法计数原理，得共有24+24+24+24+24=120(个).(2)选B.分两类：①第一道工序安排甲时有1×1×4×3=12(种)；②第一道工序不安排甲时有1×2×4×3=24(种).所以共有12+24=36(种).【类题通法】利用两个计数原理解决应用问题的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么.(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类.(3)弄清分步、分类的标准是什么.(4)利用两个计数原理求解.【定向训练】在如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为 ()【解析】选C.分两种情况：(1)A，C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B，D有1种，有4×3×2=24(种)；(2)A，C同色，先涂A有4种，E有3种，C有1种，B，D各有2种，有4×3×2×2=48(种).综上两种情况，不同的涂色方法共有48+24=72(种).【课堂小结】课堂素养达标1.已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为 ()【解析】选C.分两类情况讨论：第1类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面.根据分类加法计数原理知，共可以确定8+5=13个不同的平面.2.从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数有 ()【解析】选D.从0，1，2，3，4，5六个数字中，任取两个不同数字和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，共有3种方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类加法计数原理得共有N=3+3=6(种).3.某班元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，