新教材人教b版选择性必修第二册3.1.2排列与排列数课件

1.理解并掌握排列的概念以及排列数公式,能应用排列知识解决简单的实际

问题.2.掌握几种有限制条件的排列,能应用排列数公式解决简单的实际问题.3.1.2排列与排列数1|排列与排列数排列一般地,从n个不同对象中,任取m(m≤n)个对象,按照①一定的顺序

排成一列,称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列.特别地,m=n时的排列(即取出所有对象的排列)称为全排列排列数从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数,称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数,用符号②

表示排列数公式

=n(n-1)…(n-m+1)=

注意:(1)所谓排成一列,是指与顺序有关,例如,排列AB与排列BA是不同的排

列,可以把一个排列看成一个类似点坐标的有序数对.(2)符号

中,总是要求n和m都是正整数,且m≤n,以后不再声明.规定:0!=③1

;

=1.1.处理排列问题的常用方法有直接法、间接法、位置分析法、对象分析

法、插空法、捆绑法等.

2|解决排列问题的常用方法1.若组成两个排列的对象相同,则这两个排列是相同的.

(

✕)提示:组成两个排列的对象相同,但这些对象的排列顺序不相同时,这两个排列是

不相同的.

=

中m≠n.

(

✕)×5×6×…×(n-1)×n=

.

(√)提示:因为

=n(n-1)(n-2)×…×(n-m+1),所以

=n(n-1)×(n-2)…[n-(n-3)+1]=n×(n-1)×(n-2)×…×6×5×4.4.5个人站成一排,其中甲、乙两人不相邻的排法可列式为

-

.

(√)提示:利用插空法可列式为

×

,利用间接法可列式为

-

.判断正误，正确的画“√”，错误的画“✕”.1|排列数及其运算

=n(n-1)…(n-m+1)是指从n个不同对象中取出m数的性质:

=n

=m

+

.解有关排列数的方程或不等式的步骤:

(1)计算:

;(2)用排列数表示(55-n)(56-n)…(69-n)(n∈N+且n<55);(3)化简:①1!+2·2!+3·3!+…+n·n!(n∈N+);②

+

+

+…+

(n≥2且n∈N+);(4)解不等式:

>6

.解析(1)

=

=

=3.(2)∵55-n,56-n,…,69-n中最大的数为69-n,且共有(69-n)-(55-n)+1=15个正整数,∴(55-n)(56-n)…(69-n)=

.(3)①原式=(2!-1)+(3!-2!)+(4!-3!)+…+[(n+1)!-n!]=(n+1)!-1.②∵

=

-

,∴

+

+

+…+

=

+

+

+…+

=1-

.(4)原不等式可化为

>

,整理,得(11-x)(10-x)>6,即x2-21x+104>0,∴(x-8)(x-13)>0,解得x<8或x>13.又∵

且x∈N+,∴x=2,3,4,5,6,7,∴原不等式的解集为{2,3,4,5,6,7}.方法总结

(1)排列数公式的乘积的形式适用于求值和当m较小时的含排列数的

方程或不等式问题.(2)排列数公式的阶乘的形式主要用于与排列数有关的证明、解方程或不等式等

问题,具体应用时注意提取公因式,可以简化计算.2|有限制条件的排队问题喜羊羊家族的四位成员与灰太狼、红太狼进行谈判,通过谈判他们握手言和,准

备一起合影(排成一排)以示团结友好.问题1.若灰太狼、红太狼必须在两端,应如何计算排法种数?提示:可按照特殊对象或特殊位置优先安排的原则,有

=48种排法.2.若安排喜羊羊家族的四位成员必须相邻,应如何计算排法种数?提示:可按照“捆绑法”,把喜羊羊家族的四位成员看成一个整体,与灰太狼、红

太狼全排列,有

种排法,又因为四位成员交换顺序会产生不同排列,所以共有

×

=144种排法.3.若安排灰太狼、红太狼不相邻,应如何计算排法种数?提示:可考虑“插空法”.首先将喜羊羊家族的四位成员排好,有

种排法;然后将灰太狼、红太狼插入四位成员形成的空(包括两端)中,有

种排法,共有

×

=480种排法.“在”与“不在”的问题解决“在”与“不在”的问题,常用的方法是特殊位置分析法、特殊对象分析

法.若以位置为主,则需先满足特殊位置的要求,再处理其他位置,若有两个及以上

的约束条件,则在考虑一个约束条件的同时要兼顾其他条件;若以对象为主,则需

先满足特殊对象的要求,再处理其他对象.当直接求解困难时,可考虑用间接法解

题,即先不考虑限制条件,计算出排列总数,再减去不符合要求的排列数.“相邻”与“不相邻”问题限制条件解题策略对象相邻通常采用“捆绑法”,即把相邻对象

看作一个整体并与其他对象进行排

列对象不相邻通常采用“插空法”,即先考虑不受

限制的对象的排列,再将不相邻对象

插在前面对象形成的空中“定序”问题在排列问题中,某些对象在题意中已排定了顺序,对这些对象进行排列时,不再考

虑其顺序.在具体的计算过程中,可采用“除阶乘法”解决,即n个对象的全排列中

有m(m<n)个对象的顺序固定,则满足题意的排法有

种.

情况的不同站法的种数.(1)老师甲必须站在中间或两端;(2)2名女学生必须相邻而站;(3)4名男学生互不相邻;(4)若4名男学生身高都不等,按从高到低的顺序站.解析(1)先考虑甲,有

种站法,再考虑其余6人,有

种站法,故不同站法的种数为

×

=2160.(2)2名女学生相邻而站有

种站法,将她们视为一个整体并与其余5人全排列,有

种站法,所以不同站法的种数为

=1440.(3)先排老师和女学生,有

种站法,再在老师和女学生站位的空(含两端)中插入男学生,每空一人,则插入方法有

种,所以不同站法的种数为

=144.(4)在7人全排列的所有站法中,4名男学生不考虑身高顺序的站法有

种,而从高到低顺序站有从左到右和从右到左2种,所以不同站法的种数为2×

=420.3|有限制条件的数字排列问题数字排列问题的解题原则数字排列问题的本质是“对象”占“位子”问题,有限制条件的排列问题的限制

条件主要表现在某对象不排在某个位子上或某个位子不排某些对象,解决该类排

列问题的主要方法是按照“优先”原则,即优先排特殊对象或优先满足特殊位

子,若一个位子安排的对象影响到另一个位子的对象个数时,应分类讨论.

用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个:(1)无重复数字且个位数字不是5的六位数?(2)无重复数字且为5的倍数的五位数?(3)无重复数字且比1325大的四位数?(4)无重复数字的六位数?若这些六位数按从小到大的顺序排成一列数,则240135

是该列数的第几项?解析(1)解法一(间接法):0在十万位或5在个位时都有

种情况,0在十万位且5在个位时有

种情况.故符合题意的六位数共有

-2

+

=504(个).解法二(直接法):十万位数字的排法因个位上数字为0与不为0而有所不同.因此需分两类:第一类:当个位数字为0时,符合题意的六位数有

个;第二类:当个位数字不为0时,符合题意的六位数有

个.故符合题意的六位数共有

+

=504(个).(2)符合要求的五位数可分为两类:第一类,个位上的数字是0的五位数,有

个;第二类,个位上的数字是5的五位数,有

个.故满足条件的五位数的个数为

+

=216.(3)符合题意的四位数可分为三类:第一类:形如2□□□,3□□□,4□□□,5□□□,共有4

个;第二类:形如14□□,15□□,共有2

个;第三类:形如134□,135□,共有2

个.由分类加法计数原理知,无重复数字且比1325大的四位数共有4

+2

+2

=270(个).(4)符合题意的六位数共有

-

=600(个).由于是六位数,故十万位数字不能为0,则十万位数字为1的有

个,十万位数