新教材苏教版必修第一册3.2.1-3.2.2基本不等式的证明基本不等式的应用作业

课时跟踪检测（九）基本不等式的证明基本不等式的应用[A级基础巩固]1．设a，b为正数，且a＋b≤4，则下列各式中正确的是()A.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)<1 B.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥1C.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)<2 D．eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥2解析：选B因为ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,2)))eq\s\up12(2)＝4，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥2eq\r(\f(1,ab))≥2eq\r(\f(1,4))＝1，当且仅当a＝b＝2时等号成立．2．(2021·常州市高一质量考试)如果正数a，b，c，d满足a＋b＝cd＝4，那么()A．ab≤c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一B．ab≥c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一C．ab≤c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一D．ab≥c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一解析：选A∵a＋b≥2eq\r(ab)，∴ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号．∵c＋d≥2eq\r(cd)，∴c＋d≥2eq\r(cd)＝4，当且仅当c＝d＝2时取等号．∴c＋d≥ab，当且仅当a＝b＝c＝d＝2时等号成立．3．(2021·泰州中学月考)若a>0，b>0，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\r(ab)，则a2＋b2的最小值为()A．2 B．2eq\r(2)C．4 D．4eq\r(2)解析：选C∵a>0，b>0，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\r(ab)≥2eq\r(\f(1,ab))，ab≥2，当且仅当a＝b＝eq\r(2)时等号成立，∴a2＋b2≥2ab≥4，当且仅当a＝b时等号成立，综上，a2＋b2C.4．(多选)设a，b是正实数，则下列各式中成立的是()A．a＋b≥2eq\r(ab) B．eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2C.eq\f(a2＋b2,\r(ab))≥2eq\r(ab) D．eq\f(a＋b,2)≤eq\f(2ab,a＋b)解析：ABC由eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)得a＋b≥2eq\r(ab)，当且仅当a＝b时等号成立，∴A成立；∵eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2，当且仅当a＝b时等号成立，∴B成立；∵eq\f(a2＋b2,\r(ab))≥eq\f(2ab,\r(ab))＝2eq\r(ab)，当且仅当a＝b时等号成立，∴C成立；∵eq\f(a＋b,2)－eq\f(2ab,a＋b)＝eq\f(（a－b）2,2（a＋b）)≥0，∴eq\f(a＋b,2)≥eq\f(2ab,a＋b)，∴D不成立，故选A、B、C.5．(2021·徐州高一月考)若对x>0，y>0，有(x＋2y)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋\f(1,y)))≥m恒成立，则m的取值范围是()A．m≤4 B．m>4C．m<0 D．m≤8解析：选D由x>0，y>0，得(x＋2y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋\f(1,y)))＝2＋eq\f(4y,x)＋eq\f(x,y)＋2≥4＋2eq\r(\f(4y,x)·\f(x,y))＝8，当且仅当2y＝x时取等号，则m≤8，故选D.6．(2021·山东济宁高一月考)中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S＝eq\r(p（p－a）（p－b）（p－c）)求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a＝3，b＋c＝5，则此三角形面积的最大值为()A.eq\f(3,2) B．3C.eq\r(7) D．eq\r(11)解析：选B由题意知，p＝eq\f(1,2)(3＋5)＝4，则S＝eq\r(4（4－a）（4－b）（4－c）)，＝eq\r(4（4－b）（4－c）)＝2eq\r(（4－b）（4－c）)≤8－(b＋c)＝3，当且仅当4－b＝4－c，即b＝c时等号成立﹐∴B.7．要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，解析：设底面矩形的一边长为xm，由容器的容积为4m高为1m，得另一边长为eq\f(4,x)m.记容器的总造价为y元，则y＝4×20＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))×1×10＝80＋20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))≥80＋20×2eq\r(x·\f(4,x))＝160，当且仅当x＝eq\f(4,x)，即x＝2时，等号成立．因此当x＝2时，y取得最小值160，即容器的最低总造价为160元．答案：1608．若正实数a，b，c满足a2－3ab＋4b2－c＝0，则当eq\f(ab,c)取得最大值时，eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)－eq\f(2,c)的最大值为____________．解析：由条件可得c＝a2－3ab＋4b2，则eq\f(ab,c)＝eq\f(ab,a2－3ab＋4b2)＝eq\f(1,\f(a,b)－3＋4×\f(b,a))，由eq\f(a,b)－3＋4×eq\f(b,a)＝4×eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)－3≥2eq\r(4×\f(b,a)×\f(a,b))－3＝1，当且仅当4×eq\f(b,a)＝eq\f(a,b)，即a＝2b时，eq\f(ab,c)有最大值，此时c＝2b2，所以eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)－eq\f(2,c)＝eq\f(2,b)－eq\f(1,b2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－1))eq\s\up12(2)＋1，当b＝1时，eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)－eq\f(2,c)eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)－eq\f(2,c)的最大值为1.答案：19．设a，b，c都是正数，试证明不等式：eq\f(b＋c,a)＋eq\f(c＋a,b)＋eq\f(a＋b,c)≥6.证明：因为a>0，b>0，c>0，所以eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2，eq\f(c,a)＋eq\f(a,c)≥2，eq\f(c,b)＋eq\f(b,c)≥2，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(a,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＋\f(a,c)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,b)＋\f(b,c)))≥6，当且仅当eq\f(b,a)＝eq\f(a,b)，eq\f(c,a)＝eq\f(a,c)，eq\f(c,b)＝eq\f(b,c)，即a＝b＝c时，等号成立．所以eq\f(b＋c,a)＋eq\f(c＋a,b)＋eq\f(a＋b,c)≥6.10．(1)已知x<3，求y＝eq\f(4,x－3)＋x的最大值；(2)已知x，y是正实数，且x＋y＝4，求eq\f(1,x)＋eq\f(3,y)的最小值．解：(1)∵x<3，∴x－3<0，∴y＝eq\f(4,x－3)＋x＝eq\f(4,x－3)＋(x－3)＋3＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3－x)＋（3－x）))＋3≤－2eq\r(\f(4,3－x)·（3－x）)＋3＝－1，当且仅当eq\f(4,3－x)＝3－x，即x＝1时取等号，∴y的最大值为－1.(2)∵x，y是正实数，∴(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(3,y)))＝4＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)＋\f(3x,y)))≥4＋2eq\r(3).当且仅当eq\f(y,x)＝eq\f(3x,y)，即x＝2(eq\r(3)－1)，y＝2(3－eq\r(3))时取等号．又x＋y＝4，∴eq\f(1,x)＋eq\f(3,y)≥1＋eq\f(\r(3),2)，故eq\f(1,x)＋eq\f(3,y)的最小值为1＋eq\f(\r(3),2).[B级综合运用]11．(多选)下列四个命题中，是真命题的是()A．∀x∈R，且x≠0，x＋eq\f(1,x)≥2B．∃x∈R，使得x2＋1≤2xC．若x＞0，y＞0，则eq\r(\f(x2＋y2,2))≥eq\f(2xy,x＋y)D．若x≥eq\f(5,2)，则eq\f(x2－4x＋5,2x－4)的最小值为1解析：选BCD对于A，∀x∈R，且x≠0，x＋eq\f(1,x)≥2对x<0时不成立；对于B，当x＝1时，x2＋1＝2，2x＝2，x2＋1≤2x成立，正确；对于C，若x>0，y>0，则(x2＋y2)(x＋y)2≥2xy·4xy＝8x2y2，化为eq\r(\f(x2＋y2,2))≥eq\f(2xy,x＋y)，当且仅当x＝y>0时取等号，正确；对于D，eq\f(x2－4x＋5,2x－4)＝eq\f(（x－2）2＋1,2（x－2）)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（x－2）＋\f(1,x－2)))，因为x≥eq\f(5,2)，所以xeq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（x－2）＋\f(1,x－2)))≥eq\f(1,2)·2eq\r(（x－2）·\f(1,x－2))＝1，当且仅当x－2＝eq\f(1,x－2)，即x＝3时取等号．故eq\f(x2－4x＋5,2x－4)的最小值为1.12．(2021·无锡市高一月考)已知a，b，c满足当a>b>c时，不等式eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)＋eq\f(λ,c－a)>0恒成立，则λ的取值范围是()A．λ≤0 B．λ<1C．λ<4 D．λ>4解析：选C由题意知，原不等式可变形为λ<(a－c)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a－b)＋\f(1,b－c)))＝[(a－b)＋(b－c)]·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a－b)＋\f(1,b－c)))＝1＋eq\f(a－b,b－c)＋eq\f(b－c,a－b)＋1，而1＋eq\f(a－b,b－c)＋eq\f(b－c,a－b)＋1≥4(当且仅当(a－b)2＝(b－c)2时等号成立)，则λC.13．(2021·泰州高一月考)“勾股容方”问题出自我国汉代数学名著《九章算术》，该问题可以被描述为：“设一直角三角形(如图①)的两直角边长分别为a和b，求与该直角三角形具有公共直角的内接正方形的边长”，公元263年，数学家刘徽为《九章算术》作注，在注中他利用出入相补原理给出了上述问题如图②和图③所示的解答，则图①中与直角三角形具有公共直角的内接正方形的边长为________，当内接正方形的面积为1时，则图③中两个标有“朱”的三角形和两个标有“青”的三角形的面积总和的最小值为________．解析：设内接正方形的边长为x，则图②的面积为ab，图③的面积为(a＋b)x，因为图②和图③的面积相等，则有ab＝(a＋b)x，解得x＝eq\f(ab,a＋b)，故内接正方形的边长为eq\f(ab,a＋b).因为内接正方形的面积为1，所以内接正方形的边长x＝1，则有a＋b＝ab，利用基本不等式可得，a＋b＝ab≥2eq\r(ab)，故ab≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号，所以两个标有“朱”的三角形和两个标有“青”的三角形的面积总和为ab－2≥2，故图③中两个标有“朱”的三角形和两个标有“青”的三角形的面积总和的最小值为2.答案：eq\f(ab,a＋b)214．已知a，b为正实数，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2eq\r(2).(1)求a2＋b2的最小值；(2)若(a－b)2＝4(ab)3，求ab的值．解：(1)因为a，b为正实数，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2eq\r(2)，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2eq\r(2)≥2eq\r(\f(1,ab))，即ab≥eq\f(1,2)(当且仅当a＝b时等号成立)．因为a2＋b2≥2ab≥2×eq\f(1,2)＝1(当且仅当a＝b时等号成立)，所以a2＋b2的最小值为1.(2)因为eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2eq\r(2)，所以a＋b＝2eq\r(2)ab.因为(a－b)2＝4(ab)3，所以(a＋b)2－4ab＝4(ab)3，即(2eq\r(2)ab)2－4ab＝4(ab)3，即(ab)2－2ab＋1＝0，(ab－1)2a，b为正实数，所以ab＝1.[C级拓展探究]15．某厂家拟在2021年举行某产