新教材苏教版必修第二册13.2.2空间两条直线的位置关系课件

13.2.2空间两条直线的位置关系1.了解空间两条直线的位置关系.2.了解基本事实4及其应用.3.理解等角定理及其应用.4.了解异面直线所成的角.

空间两条直线的位置关系我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线.位置关系共面情况公共点个数相交直线在同一平面内有且只有一个平行直线在同一平面内①

没有

异面直线不同在②

任何一个平面内

没有

基本事实4文字语言平行于同一条直线的两条直线平行符号语言

⇒a∥c作用揭示了空间平行线的传递性文字语言如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向③

相同

,那么这两个角相等特别地,如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行,且方向一边相同,另一边相反,那么这两个角互补

等角定理符号语言OA∥O'A',OB∥O'B',且OA与O'A',OB

与O'B'方向相同⇒∠AOB=∠A'O'B';OA∥O'A',OB∥O'B',且OA与O'A'方

向相同,OB与O'B'方向相反⇒∠AOB

+∠A'O'B'=180°图形语言

作用判定两个角相等或互补

异面直线

文字语言过平面内一点与平面外一点的直线,

和这个平面内不经过该点的直线是

异面直线符号语言若l⊂α,A∉α,B∈α,B∉l,则直线AB与

l是异面直线图形语言

如图,a与b是异面直线,经过空间任意一点O,作直线a'∥a,b'∥b,我们把直线a'和b'

所成的锐角(或直角)叫作异面直线a,b所成的角或夹角.

记异面直线a与b所成的角为θ,则④

0°<θ≤90°

,若θ是直角,则称异面直线a,b互

相垂直,记作a⊥b.a∥b,b∥c,c∥d,d∥e,则a∥e.

(√)AB∥A'B',AC∥A'C',则∠BAC=∠B'A'C'.

(

✕)没有说明两个角的两边方向是否相同.3.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线.

(

✕)分别在两个平面内的两条直线也可以为平行直线或相交直线.4.若两条直线无公共点,则这两条直线一定平行.

(

✕)若两条直线无公共点,则这两条直线平行或异面.a,b为异面直线,则a与b所成的角的大小可以为135°.

(

✕)异面直线所成的角的大小范围为

.6.过直线外一点可以作无数条直线与该直线成异面直线.

(√)

判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”.

基本事实4与等角定理在空间图形中的运用

(1)利用定义:证明两条直线共面且无公共点.(2)利用平面几何知识(三角形、梯形的中位线定理、平行四边形的性质、平行

线分线段成比例定理等)证明.(3)利用基本事实4,即找到第三条直线c,使a∥c,b∥c,从而得到a∥b.(1)等角定理是较常用的方法;(2)转化为平面图形中的三角形全等或相似来证明.利用等角定理证明两角相等的步骤:①证明两个角的两边分别对应平行;②证明对应边的方向相同.

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,E1,F1分别为棱AD,AB,B1C1,C1D1的中点.求证:

∠EA1F=∠E1CF1.

思路点拨利用基本事实4、等角定理及平面几何知识进行证明.证明

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,取A1B1的中点M,连接BM,MF1,则BF=A1M=

AB.又∵BF∥A1M,∴四边形A1FBM为平行四边形.∴A1F∥BM.∵F1,M分别为C1D1,A1B1的中点,∴F1MC1B1.又∵C1B1BC,∴F1MBC,∴四边形F1MBC为平行四边形,∴BM∥F1C.又∵BM∥A1F,∴A1F∥CF1.同理,取A1D1的中点N,连接DN,E1N,则有A1E∥CE1.∴∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行,且方向都相反,∴∠EA1F=∠E1CF1.

空间中异面直线的判断及求解

(1)证明两条直线既不平行又不相交;(2)过平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过该点的直线是异面

直线;(3)反证法.(1)构造:根据异面直线的定义,用平移法(常用三角形的中位线定理、平行四边形

的性质)作出异面直线所成的角或其补角.(2)证明:证明作出的角或其补角就是要求的角.(3)计算:求角度,常利用三角形的边角关系,通过三角函数求解.(4)结论:若求出的角是锐角或直角,则它就是所求异面直线所成的角;若求出的角

是钝角,则它的补角就是所求异面直线所成的角.

如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,求异面直线AB1与BC1所成的角.思路点拨先作出异面直线所成的角(或其补角),再利用三角形知识求角的大小.解析

解法一:如图(1)所示,连接AD1,B1D1,∵D1C1A1B1AB,∴四边形ABC1D1为平行四边形,∴AD1∥BC1,∴∠D1AB1(或其补角)为异面直线AB1与BC1所成的角.易知△AB1D1为正三角形,∴∠D1AB1=60°,即异面直线AB1与BC1所成的角为60°.解法二:如图(2)所示,连接C1D,BD,易知C1D∥AB1,则∠BC1D(或其补角)为异面直线AB1与BC1所成的角,求法同解法一.解法三:如图(3)所示,在原正方体ABCD-A1B1C1D1右侧补上一个等同的正方体

BFEC-B1F1E1C1,连接BF1,C1F1,易证AB1∥BF1,∴∠C1BF1(或其补角)为异面直线AB1

与BC1所成的角,求法同解法一.解法四:如图(4)所示,分别取AB,BB1,B1C1的中点M,E,F,连接ME,MF,EF,则EF∥BC1,

EF=

BC1,ME∥AB1,ME=

AB1,∴∠MEF(或其补角)为异面直线AB1与BC1所成的角,可用余弦定理求得∠