新教材苏教版必修第二册9.3.2向量坐标表示与运算作业

第9章平面向量9.3向量基本定理及坐标表示9.3.2向量坐标表示与运算基础过关练题组一向量的坐标表示1.下列说法中正确的个数是 ()①相等向量的坐标相同;②平面上一个向量对应平面上唯一的坐标;③一个坐标对应唯一的一个向量;④平面上一个点与以原点为起点,该点为终点的向量一一对应. 2.已知AB=(-2,4),则下面说法正确的是 ()A.点A的坐标是(-2,4)B.点B的坐标是(-2,4)C.当点B是原点时,点A的坐标是(-2,4)D.当点A是原点时,点B的坐标是(-2,4)3.在平面直角坐标系xOy中,向量a,b的方向如图所示,且|a|=2,|b|=3,则a=,b=.

题组二向量加减运算的坐标表示4.(2021江苏泰州中学高一月考)若向量BA=(2,3),AC=(-4,-7),则BC= ()A.(-2,-4) B.(2,4) C.(6,10) D.(-6,-10)5.(2020江苏南京高一上学期期末)已知向量OA=(-1,2),OB=(1,-1),则向量AB的坐标为 ()A.(-2,3) B.(0,1) C.(-1,2) D.(2,-3)6.(2021江苏横林高级中学高一月考)已知点A(2,1),B(-2,3),O为坐标原点,且OA=BC,则点C的坐标为.

7.如图,在平面直角坐标系xOy中,OA=4,AB=3,∠AOx=45°,∠OAB=105°,OA=a,AB=b,四边形OABC为平行四边形.(1)求向量a,b的坐标;(2)求向量BA的坐标;(3)求点B的坐标. 深度解析题组三向量数乘运算的坐标表示8.(2021江苏石榴高级中学高一月考)已知向量a=(-1,2),b=(1,0),那么向量3b-a的坐标是 ()A.(-4,2) B.(-4,-2)C.(4,2) D.(4,-2)9.已知向量a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),则用a,b表示c为 ()A.c=a+b B.c=a+2bC.c=-a+2b D.c=a-2b10.(2021江苏丁沟中学高一月考)在平面直角坐标系中,已知P1(-1,1),P2(1,3),点P满足P1P=-3PP2,则点题组四向量数量积的坐标表示11.已知点A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则AB·AC等于 () 12.(2021河南信阳高二月考)已知|a|=1,b=(0,2)且a·b=1,则向量a与b夹角的大小为 ()A.π2 B.C.π4 D.13.已知向量BA=12,32,BC=32,12,则点A.12 B.1C.32 14.已知平面向量a=(2,m),b=(1,-2),且|2a-b|=|2a+b|,则|a+b|=.

题组五向量垂直的坐标表示15.(2021山东莱西一中高一期中)已知向量a=(1,2),b=(1,1),若c=a+kb,且b⊥c,则实数k= ()A.32 B.-53 C.53 D16.(2021江苏连云港海头高级中学高一月考)已知向量a=(-1,2),b=(x,4),且a⊥b,则|b|= ()A.25 B.43 C.45 D.817.已知A,B,C是坐标平面上的三点,其坐标分别为A(1,2),B(4,1),C(0,-1),则△ABC的形状为.

能力提升练题组一向量线性运算的坐标表示1.(2021江西师大附中高一期末,)已知A(-2,2),B(3,-3),C(-3,-1),且CM=2CA,CN=12CB,则MN= (A.(-4,2) B.(4,-2)C.(-1,7) D.(1,-7)2.(2020江苏苏北四市高一期末,)已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若AP=AB+λAC(λ∈R),当点P在第一、三象限的角平分线上时,λ的值为 () C.13 D.3.(2020江苏苏州高一上学期期末,)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,AD=AB=4,CD=1,动点P在边BC上,且满足AP=mAB+nAD(m,n均为正数),则1m+1n的最小值为 ( B.34 34 题组二向量数量积的坐标表示及其应用4.(2021江苏新华中学高一阶段测试,)若向量a=(x-1,2),b=(4,y),且a⊥b,则9x+3y的最小值为 ()A.6 B.23 2 D.125.(2021山东烟台高三一模,)在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=3,∠BAD=60°,Q为CD的中点,点P在对角线BD上,且BP=λBD,若AP⊥BQ,则λ= ()A.14 B.12 C.23 6.(多选)(2021山东恒台一中高一期末,)已知四边形ABCD是边长为2的正方形,P为正方形ABCD内一点,则(PA+PB)·(PC+PD) ()A.有最小值-4 B.有最大值-4C.无最小值 D.无最大值7.(多选)(2021江苏宿迁高一月考,)在△ABC中,AB=(2,3),AC=(1,k),若△ABC是直角三角形,则k的值可能为 ()A.-23 B.113 C.3±138.(多选)(2021江苏海安高级中学高一月考,)已知向量a与向量b满足如下条件,其中a与b的夹角是π3的为 ()A.|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2B.|a|=|b|=1,a2+a·b=3C.a=(3,-1),b=(23,2)D.a=(2,23),b=(-3,0)9.()如图,△ABC为等腰三角形,∠BAC=120°,AB=AC=4,以A为圆心,1为半径的圆分别交AB,AC于点E,F,点P是劣弧EF上一点,则PB·PC的取值范围是.

10.(2021天津高三联考,)在平面四边形ABCD中,AB⊥AD,∠ABC=60°,∠BCD=150°,AB=4EB,BC=433,AE=23,若点M为边CD上的动点,则AM·EM的最小值为11.(2021江苏六合高级中学高一月考,)在平面直角坐标系xOy中,已知A(1,5),B(7,1),C(1,2).(1)若四边形ABCD为平行四边形,求AC与DB夹角的余弦值;(2)若M,N分别是线段AC,BC的中点,点P在线段MN上运动,求PA·PB的最大值.

答案全解全析第9章平面向量9.3向量基本定理及坐标表示9.3.2向量坐标表示与运算基础过关练1.C由向量坐标的定义得一个坐标可对应无数个相等的向量,故③错误,易知①②④正确,故选C.2.D由向量的坐标表示方法可知,当点A是原点时,点B的坐标是(-2,4).3.答案(2,2);-解析设点A(x,y),B(x0,y0),∵|a|=2,且∠AOx=45°,∴x=2cos45°=2,y=2sin45°=2.∵|b|=3,∠xOB=90°+30°=120°,∴x0=3cos120°=-32,y0=3sin120°=3故a=OA=(2,2),b=OB=-34.ABC=BA+AC=(2,3)+(-4,-7)=(-2,-4).故选A.5.D依题意得AB=OB-OA=(1,-1)-(-1,2)=(2,-3).6.答案(0,4)解析易得OA=(2,1),设C(x,y),则BC=(x+2,y-3),∵由OA=BC,∴x+2=2,y-3=1,解得x=0,7.解析(1)如图,过点A作AM⊥x轴于点M,则OM=OA·cos45°=4×22=22AM=OA·sin45°=4×22=22∴A(22,22),故a=(22,22).∵∠AOC=180°-105°=75°,∠AOy=45°,∴∠COy=30°,易知C-32,332∴AB=OC=-3即b=-3(2)由(1)知BA=-AB=32(3)OB=OA+AB=(22,22)+-32,∴点B的坐标为22解题模板向量坐标运算的方法:(1)若已知向量的坐标,则直接应用向量的坐标运算进行求解.(2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后进行向量的坐标运算.(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.8.D3b-a=3(1,0)-(-1,2)=(4,-2).故选D.C设c=λa+μb(λ,μ∈R),则(3,4)=λ(1,2)+μ(2,3)=(λ+2μ,2λ+3μ),∴λ+2μ∴c=-a+2b.10.答案(2,4)解析设点P的坐标为(x,y),因为P1(-1,1),P2(1,3),所以P1P=(x+1,y-1),PP2=(1-x因为P1P=-3所以x+1=-所以点P的坐标为(2,4).11.B∵AB=(2,3)-(1,2)=(1,1),AC=(-2,5)-(1,2)=(-3,3),∴AB·AC=1×(-3)+1×3=0.12.B设a与b的夹角为θ,因为b=(0,2),所以|b|=2,又因为|a|=1,a·b=1,所以cosθ=a·b|a||因为0≤θ≤π,所以θ=π3故向量a与b的夹角的大小为π3故选B.13.A由题意得cos∠ABC=BA·BC|BA||BC|=12×32+所以∠ABC=30°,又因为|BA|=1,所以点A到BC的距离为|BA|sin∠ABC=1214.答案3解析因为|2a-b|=|2a+b|,所以|2a-b|2=|2a+b|2,所以a·b=0,又因为a=(2,m),b=(1,-2),所以2-2m=0,解得m=2,所以a+b=(3,0),所以|a+b|=32+15.D因为向量a=(1,2),b=(1,1),所以c=a+kb=(1+k,2+k),又b⊥c,所以b·c=1+k+2+k=0,解得k=-32.故选D16.C因为a=(-1,2),b=(x,4),a⊥b,所以-x+2×4=0,解得x=8,所以|b|=82+4故选C.17.答案等腰直角三角形解析由已知,得AB=(4-1,1-2)=(3,-1),AC=(0-1,-1-2)=(-1,-3),∴AB·AC=3×(-1)+(-1)×(-3)=0,∴AB⊥AC,∠A=90°,又|AB|=|AC|=10,∴△ABC是等腰直角三角形.能力提升练1.D由题意得CA=(-2,2)-(-3,-1)=(1,3),CB=(3,-3)-(-3,-1)=(6,-2),设M(x,y),N(m,n),所以CM=(x+3,y+1),CN=(m+3,n+1),由CM=2CA可得x+3=2,所以M(-1,5),由CN=12CB可得m所以N(0,-2),所以MN=(0,-2)-(-1,5)=(1,-7),故选D.2.D设点P的坐标为(x,y),则AP=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3),∵AP=AB+λAC=[(5,4)-(2,3)]+λ[(7,10)-(2,3)]=(3+5λ,1+7λ),∴x-2=3+5又∵点P在第一、三象限的角平分线上,∴x=y,即5+5λ=4+7λ,解得λ=123.D如图,以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(4,0),D(0,4),C(1,4),则AB=(4,0),AD=(0,4),BC=(-3,4),设BP=λBC=(-3λ,4λ)(λ∈R),则AP=AB+BP=(4-3λ,4λ).因为AP=mAB+nAD=(4m,4n),所以4-3λ=4m,4λ=4n因为m>0,n>0,所以1m+1n=m+34n1m+1n=1+3当且仅当m=32n时等号成立故1m+1n的最小值为A因为a⊥b,所以a·b=0,即4(x-1)+2y=0,所以2x+y=2,则9x+3y=32x+3y≥232x×3y=2当且仅当32x=3y,即2x=y=1时取等号.故选A.5.A以点A为坐标原点,AD所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,23),C(5,23),D(3,0),Q(4,3),∴AB=(2,23),BD=(1,-23),BP=λBD=(λ,-23λ),∴AP=AB+BP=(2+λ,23-23λ),∵AP⊥BQ,BQ=(2,-3),∴AP·BQ=2(2+λ)-3(23-23λ)=8λ-2=0,∴λ=14故选A.6.AD建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2).设P(x,y),则PA=(-x,-y),PB=(2-x,-y),PC=(2-x,2-y),PD=(-x,2-y),所以(PA+PB)·(PC+PD)=(2-2x,-2y)·(2-2x,4-2y)=(2-2x)2+(2y-2)2-4,所以当x=1,y=1时,(PA+PB)·(PC+PD)取得最小值-4,无最大值.故选AD.7.ABC若∠A为直角,则AB⊥AC,即AC·AB=0,∴2+3k=0,解得k=-23若∠B为直角,则BC⊥AB,即BC·AB=0,∵AB=(2,3),AC=(1,k),∴BC=AC-AB=(-1,k-3),∴-2+3k-9=0,解得k=113若∠C为直角,则BC⊥AC,即AC·BC=0,∵AB=(2,3),AC=(1,k),∴BC=AC-AB=(-1,k-3),∴-1+k(k-3)=0,解得k=3±综上可得,k的值可能为-23,113,3+13故选ABC.8.ABC设向量a与b的夹角为α,A中,由a·(b-a)=2,|a|=1,得a·b-a2=2,∴a·b=3,∴a·b=|a|·|b|cosα=3,∴cosα=12,∵α∈[0,π],∴α=π3,故AB中,由a2+a·b=32,|a|=1,得a·b=12,∴a·b=|a|·|b|cosα=∴cosα=12,∵α∈[0,π],∴α=π3,故BC中,由a=(3,-1),b=(23,2),得|a|=2,|b|=4,a·b=4,∴a·b=|a|·|b|cosα=4,∴cosα=12,∵α∈[0,π],∴α=π3,故CD中,由a=(2,23),b=(-3,0),得|a|=4,|b|=3,a·b=-6,∴a·b=|a|·|b|cosα=-6,∴cosα=-12,∵α∈[0,π],∴α=2π3,故D错误.故选ABC9.答案[-11,-9]解析以A为原点,过点A且平行于BC边的直线为x轴,BC的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示:由∠BAC=120°,AB=AC=4,可得B(-23,-2),C(23,-2),∵|AP|=1,∴可设P(cosα,sinα),7π6≤α≤11π6,-1≤sinα≤-12,∴PB=(-23-cosα,-2-sinα),PC=(23-cosα,-2-sinα),∴PB·PC=cos2α-12+(2+sinα)2=-7+4sinα∈[10.答案15解析如图所示,建立平面直角坐标系.由AE=23,得E(23,0),由A