2022年福建省福州某校自主招生数学试卷及答案解析

2022年福建省福州一中自主招生数学试卷

一.选择题（共10小题，满分40分）

1.下列说法正确的是（）

A.“明天会下雨”是必然事件

B.想了解“五•一”期间福州市各家庭的消费情况，适合的调查方式是抽样调查

C.正方形是轴对称图形，不是中心对称图形

D.120000用科学记数法表示是1.2义1（）6

2.下列运算正确的是（）

A.x-2x=xB.（孙）2=x/C./Xb=nD.（-V2）2=4

3.抢微信红包成为节日期间人们最喜欢的活动之一.对某单位50名员工在春节期间所抢的

红包金额进行统计，并绘制成了统计图.根据如图提供的信息，红包金额的众数和中位

数分别是（）

A.20,20B.30,20C.30,30D.20,30

4.某几何体的三视图如图所示，则此几何体是（）

A.圆锥B.圆柱C.长方体D.四棱柱

的解集为x<3,则&的取值范围为（）

x-k<2

A.k>\B.k<\C.D.kWl

6.下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（）

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7.从-1,1,2这三个数中，任取两个不同的数作为一次函数的系数幺b,则一

次函数y=fcv+b的图象不经过第四象限的概率是（）

1111

A.一B•一C.一D.一

6234

8.有三位同学对校队与市队足球赛进行估计，A说：校队至少进3个球，B说：校队进球

数不到5个，C说：校队至少进1个球.比赛后，知道3个人中，只有1个人的估计是

对的，你能知道，校队踢进球的个数是（）

A.4个B.3个C.1个D.0个

9.如图，在RtZ\ABC中，ZACB=90°,AC=BC=6cm,动点P从点4出发，沿48方向

以每秒2cm的速度向终点B运动；同时，动点。从点B出发沿BC方向以每秒1。”的

速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P'.设Q点运动的时间

为f秒，若四边形QP'CP为菱形，则f的值为（）

10.如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律.根据此规律，图形中M与机、〃

的关系是（）

A.M=mnB.M=m(n+1)C.M=mn+\D.M=n(zn+1)

二.填空题（共5小题,满分20分，每小题4分）

11.如图，在△ABC中，CA^CB,ZACB=90°,A8=2,点。为AB的中点，以点。为

圆心作圆心角为90°的扇形DEF,点C恰在弧EF上,则图中阴影部分的面积为

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12.如图，AC是。。的直径，弦BDLAO,垂足为点E,连接BC,过点。作。RLBC,垂

足为凡若BO=8a〃，AE=2cm,则OF的长度是cm.

13.如图，点A是双曲线），=-*在第二象限分支上的一个动点，连接A0并延长交另一分

支于点8,以A8为底作等腰△ABC,且NACB=120°,点C在第一象限，随着点A的

运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线），=［上运动，则％的值为.

15.一个盒子里装有不多于200颗糖，如果每次2颗，3颗，4颗或6颗的取出，最终盒内

都只剩下一颗糖，如果每次以11颗的取出，那么正好取完，则盒子里共有颗糖.

三.解答题（共7小题，满分90分）

16.（14分）（1）计算：（-2022）°+（-）班-（-2）3.

2

y211

（2）先将（——-——）+尸化简，然后请你选一个自己喜欢的x值，求原式的值.

X+1X4-1X

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17.(12分)如图，矩形ABC。中，AB=4cm,8C=6c，w,点P从8出发向点C运动，速

度为1CZM/S,点。从C出发，沿C-。-A方向运动，速度为2cm/s,P、Q两点同时出发，

当点。到达终点A时，P、。两点同时停止运动，设点尸的运动的时间为f(s).

(1)当点尸是线段BC的中点时，求AP的长;

(2)r为何值时，四边形AQCP是平行四边形;

(3)f为何值时，是等腰三角形.

18.(12分)如图，一次函数yi=-X-1的图象与x轴交于点A,与y轴交于点8,与反比

例函数”=［图象的一个交点为M(-2,m).

(1)求反比例函数的解析式；

(2)当时、求x的取值范围；

(3)求点8到直线的距离.

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19.(12分)如图，△4BC内接于。€0,ZC=120°.请仅用无刻度的直尺，分别在下列

两个图形中，根据条件在AB的下方作一个30°的圆周角.(保留作图痕迹，不写作法).

(1)在图1中，AC=BC；

(2)在图2中，AC^BC.

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20.（12分）已知，如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC,数学兴趣小组的同

学在斜坡底P处测得该塔的塔顶3的仰角为45。，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡

AP攀行了26米，在坡顶A处又测得该塔的塔顶8的仰角为76°.求:

（1）坡顶4到地面PO的距离；

（2）古塔8C的高度（结果精确到1米）.

（参考数据：sin76°*0.97,cos76°心0.24,tan76°弋4.01）

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21.(12分)在多项式中有一类比较有趣的因式分解，如我们已经学过的

1-%2—(1-x)*(1+x)

1-/=(1-%)•(1+x+x2)

(1)证明：1-d=(1-xA(l+x+/+/)；

(2)据此猜想，对任意正整数”22,1-/=.(不必证明)；

1111

(3)利用(2),求一+(-)2+(-)3+-+(-)239的值.

2222

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22.（16分）如图所示，抛物线y=/+fec+c经过A、B两点，A、B两点的坐标分别为（-1,

0）、（0,-3）.

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点。为y轴上一点，且

DC=DE,求出点。的坐标；

（3）在第二问的条件下，在直线OE上存在点P,使得以C、。、P为顶点的三角形与△

DOC相似，请你直接写出所有满足条件的点P的坐标.

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2022年福建省福州一中自主招生数学试卷

参考答案与试题解析

选择题（共10小题，满分40分）

1.下列说法正确的是（）

A.“明天会下雨”是必然事件

B.想了解“五•一”期间福州市各家庭的消费情况，适合的调查方式是抽样调查

C.正方形是轴对称图形，不是中心对称图形

D.120000用科学记数法表示是1.2X1（）6

解：A、“明天会下雨”是随机事件，故4错误；

8、想了解“五•一”期间福州市各家庭的消费情况，适合的调查方式是抽样调查，故B

正确；

C、正方形是轴对称图形，是中心对称图形，故C错误；

。、120000用科学记数法表示是1.2X105,故。错误；

故选：B.

2.下列运算正确的是（）

A.x-2x=xB.（孙）2=4c.V2xV3=V6D.（-V2）2=4

解：A、x-2x--x,此选项错误；

B、Cxy）2=7/，此选项错误；

C、V2xV3=V6,此选项正确；

D、＞/2）2=2,此选项错误；

故选：C.

3.抢微信红包成为节日期间人们最喜欢的活动之一.对某单位50名员工在春节期间所抢的

红包金额进行统计，并绘制成了统计图.根据如图提供的信息，红包金额的众数和中位

数分别是（）

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20

A.20,20B.30,20C.30,30D.20,30

解：捐款30元的人数为20人，最多，则众数为30,

中间两个数分别为30和30,则中位数是30,

故选：C.

4.某几何体的三视图如图所示，则此几何体是（）

A.圆锥B.圆柱C.长方体D.四棱柱

解：...主视图和左视图都是长方形，

此几何体为柱体，

；俯视图是一个圆，

二此几何体为圆柱，

故选:B.

5.若关于x的不等式组十的解集为xV3,则/的取值范围为（）

[x—k<2

A.k>\B.k<\C.D.女

解：不等式整理得：/V,

由不等式组的解集为x<3,

得到々的范围是%》1,

故选：C.

6.下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（）

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・・・b=9,

:・a=b-1=8,

.\x=2b1+a=162+8=170,

故选：C.

7.从-1,1,2这三个数中，任取两个不同的数作为一次函数y=fcr+b的系数A,b,则一

次函数y=kx^b的图象不经过第四象限的概率是()

1111

A.-B•一C.一D.—

6234

解：列表，如图，

k、〃的取值共有6种等可能的结果；

而一次函数＞=丘+。的图象不经过第四象限，则心＞0,

・•・满足条件的鼠〃的取值有(b2),(2,1),

二一次函数y=kx+h的图象不经过第四象限的概率=|=|.

故选：C.

X-112

\

-1(1,-1)(2.4)

\

(2,1)

1(-1,1)

\

2(-12)(1:2)

8.有三位同学对校队与市队足球赛进行估计，A说：校队至少进3个球，B说：校队进球

数不到5个，C说：校队至少进1个球.比赛后，知道3个人中，只有1个人的估计是

对的，你能知道，校队踢进球的个数是()

A.4个B.3个C.1个D.0个

解：若A真，则C真，显然不符合题意的要求；

若C真,则A、8必有一个是真命题，显然也不符合题意；

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因此只有一种情况，即：8真，A、C为假命题，那么此时球队踢进求的个数是0个.

故选：D.

9.如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=BC=6cm,动点P从点A出发，沿48方向

以每秒的速度向终点8运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的

速度向终点C运动，将△PQC沿8C翻折，点P的对应点为点P'.设。点运动的时间

为，秒，若四边形QP'CP为菱形，则f的值为（）

A.A/2B.2C.2V2D.3

解：连接PP'交BC于0,

:若四边形QPCP'为菱形，

：.PP'±QC,

：.ZPOQ=90°,

VZACB=90°,

J.P0//AC,

.4PCO

•.—,

ABCB

•••设点。运动的时间为r秒，

：.AP=V2z,QB=t,

：.QC=6-t,

/•C0=3—

：AC=CB=6,NACB=90°,

：.AB=6y/2,

.V2t_3-1

•，6^=~，

解得：t=2,

故选：B.

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10.如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律.根据此规律，图形中“与〃?、"

的关系是()

A.M=mnB.M=m("+1)C.M=mn+\D.M=n(w+1)

解：V1X(2+1)=3,3X(4+1)=15,5X(6+1)=35,

.•.右下圆圈内的数=上方圆圈内的数义(左下圆圈内的数+1),

'.M=m(H+1).

故选：B.

填空题(共5小题，满分20分，每小题4分)

11.如图，在△ABC中，CA=CB,ZACB=90a,AB=2,点。为AB的中点，以点。为

圆心作圆心角为90°的扇形OEE点。恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为---.

—42―

"：CA=CB,NACB=90°,

：.ZB=45°,

•.•点。为AB的中点，

：.DC=^AB=BD=\,CD上AB,ZDCA=45°,

:.NCDH=/BDG,NDCH=NB,

在△£>(?〃和△O8G中，

ZCDH=乙BDG

CD=BD

Z.DCH=乙B

第13页共24页

:.△DCH/ADBG(ASA),

1iiii

：.s四边形OGC〃=Sz\BOC=2saABCnqX即B，CD=X2X1=

2

.c_cc_90/rxl1_TT1

♦♦3阴影\扇形DEF~3&BDC-360]—4-2.

LLg生江1

故答案为厂-.

12.如图，AC是。0的直径，弦BOLA。，垂足为点E,连接BC,过点。作OFLBC,垂

足为F,若80=8。〃，AE=2cm,则OF的长度是_V5_CM.

解：连接AB,

'：BD±AO,

：.BE=ED=%£)=4,

由勾股定理得，AB=y/AE2+BE2=2>/5,

OF±BC,

：.CF=FB,又CO=OA,

OF=^AB=V5(cm))

故答案为：V5.

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13.如图，点A是双曲线），=-*在第二象限分支上的一个动点，连接A0并延长交另一分

支于点8,以A8为底作等腰△ABC,且NACB=120°,点C在第一象限，随着点A的

运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线），=（上运动，则&的值为3.

解：连接CO,过点人作4。工x轴于点。，过点C作轴于点E,

；连接A0并延长交另一分支于点8,以AB为底作等腰△ABC,且NAC2=120°,

ACOLAB,ZCAB=30°,

则NAOD+NCOE=90°，

VZDAO+ZAOD=90°，

・・・ZDAO=ZCOE,

又・・・NAOO=NC£O=90°,

・・・△AODS^OCE,

ADODOA「

—=—=—=tan600=V3,

EOCEOC

=（V3）2=3,

S〉EOC

•.•点A是双曲线y=在第二象限分支上的一个动点,

19

S^AOD=2x|xy|=2，

212

**•5AEOC=5,即5xOEXCE=亍

：.k=OEXCE=3f

故答案为：3.

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DO

14.计算T+»-1

Z3-o-

11

解：

23

故答案为：—土

15.一个盒子里装有不多于200颗糖，如果每次2颗，3颗，4颗或6颗的取出，最终盒内

都只剩下一颗糖，如果每次以11颗的取出，那么正好取完，则盒子里共有121颗糖.

解：已知如果每次11颗地取出正好取完，则盒子内糖数必为11的倍数.又知盒子里装

有不多于200颗糖，则盒子内糖数可能为11、22、33、44、55、66、77、88、99、110、

121、132、143、154、165、176、187、198.

又已知如果每次2颗，3颗，4颗或6颗地取出，最终盒内都只剩一颗糖，则盒子内糖数

为12的倍数+1.又知盒子里装有不多于200颗糖则盒子内糖数可能为13,25,37,49,

61,73,85,97,109,121,133,145,157,169,181,193.

取上面两组数的交集可得121,故盒子里共有121颗糖.

故答案为：121.

三.解答题(共7小题，满分90分)

16.(14分)(1)计算：(-2007)°+(-)一2一(-2)3.

2

(2)先将(一-一)+三化简，然后请你选一个自己喜欢的无值，求原式的值.

X+lX+1X

解：(1)原式=1+4-(-8)

=5+8

(x+l)(x—1)—

%+1x-1

第16页共24页

=x,

当x=2时，原式=2.

17.(12分)如图，矩形ABC。中，AB=4cm,3c=6cm,点P从8出发向点C运动，速

度为lcm/s，点Q从C出发，沿C-D-A方向运动，速度为2cmls,P、Q两点同时出发，

当点。到达终点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动的时间为/(s).

(1)当点P是线段8C的中点时，求AP的长;

(2)/为何值时，四边形4QCP是平行四边形;

(3)，为何值时，^PCQ是等腰三角形.

解：(1)是BC的中点，

BP=3an,

,.,A8=4c机，ZB=90°,

.\AP=5cm；

(2);四边形4QC尸是平行四边形，

：.AQ=CP,

/.10-2z—6-f,

解得：f=4；

(3)(I)若。在C£＞边上时，只有PC=C。,

即：6-t=2t,

解得:t—1x

(II)若。在AQ边上时，

①当PQ=C。时，|(6-t)=2f-4,

解得：r=受,；

②PC=CQ时，(6-f)2=42+(2r-4)2,

第17页共24页

解得：t=2或r=|(舍去)；

PQ=PC时,(6-r)2=42+(10-3，)2,

整理得：P-6什10=0,

△=36-40=-4<0,无解，

所以当1=2、3时，△PCQ是等腰三角形.

18.(12分)如图，一次函数yi=-X-1的图象与x轴交于点A,与y轴交于点8,与反比

例函数”=洲象的一个交点为M(-2,m).

(1)求反比例函数的解析式；

(2)当”>yi时，求x的取值范围；

(3)求点B到直线OM的距离.

解：(1)把M(-2,机)代入y=-X-1得〃?=2-1=1,则M(-2,1),

把M(-2,1)代入尸［得A:=-2Xl=-2,

所以反比例函数解析式为产--

-X

⑵解方程叱二二得仁「端工

则反比例函数与一次函数的另一个交点坐标为(1,-2),

当-2<x<0或x>l时，”>yi；

(3)y=-x-I与y轴交于点B

所以B的坐标为(0,-1),

所以OB=1,

OM=Vl2+22=V5,SA(MB=々x1X2=1,

设点B到直线OM的距离为h,

第18页共24页

-•V5«/z=l,解得人=挛，

25

即点H到直线0M的距离为《一.

19.（12分）如图，AABC内接于。€。，ZC=120°.请仅用无刻度的直尺，分别在下列

两个图形中，根据条件在4B的下方作一个30°的圆周角.（保留作图痕迹，不写作法）.

（1）在图1中，AC=8C；

(2)在图2中，AC^BC.

图1图2

解：（1）如图1所示：ZBDC=30°；

(2)如图2所示：/AOE=30°.

20.（12分）已知，如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔8C,数学兴趣小组的同

学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45。，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡

AP攀行了26米，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°.求：

（1）坡顶A到地面PO的距离；

（2）古塔2C的高度（结果精确到1米）.

（参考数据：sin76°40.97,cos76°«=0.24,tan76°64.01）

第19页共24页

解：（1）过点4作A4，PO,垂足为点H,

♦.•斜坡AP的坡度为1：2.4,

.AH5

••—,

PH12

设A”=5&,则PH=12Z,由勾股定理，得"=13%,

・・・13&=26,

解得女=2,

・"”=10,

答：坡顶A到地面P。的距离为10米.

(2)延长3C交PO于点。，

VBC1AC,AC//PO,

:.BDtPO,

・•・四边形AHDC是矩形，CD=A”=10,AC=DH,

•；NBPD=45°,

:.PD=BD,

设8C=x,则_r+10=24+Q”,

：.AC=DH=x-14,

X

在RtAABC中，tan76°=笠，即-----M.01.

月匕X-14

解得x-19.

答：古塔BC的高度约为19米.

第20页共24页

21.(12分)在多项式中有一类比较有趣的因式分解，如我们已经学过的

1-7=(1-x)-(l+x)

1-9=(1-x)>(l+x+x2)

(1)证明：1-x4=(1-%)•(l+x+W+x3)；

(2)据此猜想，对任意正整数〃22,1-/=(1-工)«1+4+/+/+・・・+/7)・(不

必证明)；

Il11

(3)利用(2),求一+(-)2+(-)3+-+(一)239的值.

2222

解：⑴证明：(1-x)<l+W+?)

=l+x+7+x3-x-x2-^3-%4

=1-X4；

・\1-7=(1-x)・(1+X+/+X3);

(2)根据题干所列的两个等式及(1)中的等式猜想，对任意正整数"22,1-/=(1

-工)・(l+x+7+4+…+/厂1)；

故答案为：(1-%)•(1+X+/+/+…+/I)；

(3)Vl-(1)2020=(1-j)[1+1+(1)2+(1)3+-+(1)2()|9],

.,.[1+1+b产+^尸+…+仁)2019]=口_(护20]*,

.,.[1+1+(-)2+(-)3+-+(-)2019]=2-(1)2019,

L22222y

A-+(-)2+(-)3+-+(i)2019=1一(与。19.

2222

22.(16分)如图所示，抛物线y=7+bx+c经过4、8两点，48两点的坐标分别为(-1,

0)、(0,-3).

(1)求抛物线的函数解析式；

(2)点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点。为y轴上一点，且

DC=DE,求出点。的坐标；

第21页共24页

(3)在第二问的条件下，在直线DE上存在点P,使得以C、D、P为顶点的三角形与△

DOC相似，请你直接写出所有满足条件的点P的坐标.

解：(1):•抛物线y=7+6x+c经