2022年山西省运城市中考一模 数学 试题（学生版+解析版）

2022年九年级教学质量监测

数学

第1卷选择题（共30分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有

一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1计算(-3)x(-¾)的结果是（)

9-22

cD

A.2B.-2-9

2.下列运算正确的是（)

A.5x2-3x=2xB(－可(-a丁＝a'2

c.4x2+(丘－2x)=l-2xD.(a+b)(-a+b)=b2-a2

3.如图，直线aIIb,Rt6ABC的顶点C在直线a上，AB与直线a交于点D,CB延长线交直线b于点

E，已知乙ACB=90°,乙A=30°,乙1=55°,则乙2的度数是（)

A

ca

b

E

A.45°B.55°C.65°D.75°

4.2021年5月22日，我国始发的火星车“祝融号“安全到达火星表面．到目前已经获取约10GB原始科学

数据，当地球与火星处千最远位置时，从火星表面发出的光到达地球的时间为21分20秒，已知光速约为

3xl08米／秒，则地球与火星处千最远位置时的距离是（)

A.3.84xl011米B.3.84xl08米C.3.784xl011米D.3.784x108米

2x+5:S3(X+2)

的解集是（)

5.不等式组｛3x-3<2x

A.x~-lB.x>3C.-3<x,;;;;ID.-1~x<3

6.如图，在矩形ABCD中，AB=m,乙BAC=a.,则OC的长为（)

AD

m

B

C

mmm

AB.C.D..m

cosa2cosa2sinaSlna

7.某学校科学兴趣小组为了了解自己育种的树苗的生长情况，随机抽取10株树苗测量其高度，统计结果

如下表：

高度(cm)4050607080

株数15211

则这批树苗的众数和中位数分别是（)

A.50cm60cmB.l1C.160cmD.50cm50cm

8小明15元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本（两人的钱恰好用完），已知

每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本，设软面笔记本每本售价为X

元，根据题意可列出的方程为（)

1524152415241524

A.B.—=—C.D.—=—

XX+3XX-3X+3XX-3X

9.如图，直线y=-x+3与两坐标轴交于A,B两点，点P是线段AB上一动点（不与A,B两端点重

合），过点P作PC..Lx轴千点C,作PD..Ly轴千点D,小明认为矩形PCOD的周长不变且始终为6;小红

认为矩形PCOD的面积有最大值，最大值为3.关千小明与小红的判断，下面说法正确的是（)

A.小明与小红都是正确B．小明与小红都是错误的

C小明是正确的，小红是错误的D.小明是错误的，小红是正确的

10.如图，在矩形ABCD中，AB=2✓3,BC=4,以点D为圆心，DA的长为半径画弧，交BC于点E,

交DC的延长线千点F，则图中阴影部分的面积为（)

AIID

B

4兀

A竺－4$B.—-2$C.竺-✓3D.竺－2＄

3333

第11卷非选择题（共90分）

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11计算（丽玉）x✓2=_.

l矿－l

12.化简(1-－）一—的结果是.

aIa

13.如图l，在R必ABC中，乙C=90°,BC=a,AC=a+3,现有图1的直角三角形4个，小明用这4个

全等的直角三角形拼成如图2的赵爽弦图，若图2中正方形DEFG的面积为29,则a的值为

AG

E

C

图l图2

k

14.如图，在~ABC中，AB=AC=5,BC=6,点A坐标为o,m),BCIIY轴，反比例函数y=－的

X

图象经过点A和点8,则k的值为.

y

。x

15.如图，AB是00弦，连接BO,作AC..LBO交BO的延长线千点C,已知0C=✓2,B0=2✓2,

点D是AB的中点，连接CD，则CD的长为.

D

三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16.计算

(1)—12+(—3)-2—|2—刮

(2)下面是小明作业中一个题目的解答过程，请你仔细阅读，并完成相应的任务．

如图，在口ABCD中，点E是BC上一点，BE=—BC,连接BD,AE,AE与BD交千点F,已知

口ABCD的面积为24,求6.BEF的面积．

B/D

解：作AG上BC千点G.

·:soABCD=BC-AG=24':.st,.ABE＝沪BE-AG=½叶BC-AG=ix24=4

？四边形ABCD是平行匹边形，．．．AD=BC,ADIiBC.

:.乙FBE＝乙ADF,乙FEB=乙FAD,．·.ABEF勺1::,.DAF.………………依据

BEEF.EF1

=

ADAFAF-3

s

•ABEF=-:c:-....l.....................x

..9·

s6.ABF

1l2

•••sABEr=—S=—x4=-.

l0AABEl05

任务一：填空：CD上面解答过程中，证明三角形相似依据是.

s

＠小明的作业经过老师批改在么BEF=－后画了错号，这一步错误的原因是

s公ABF9

任务二：请你经过正确计算直接写出丛BEF的面积为.

18.某班主任对班里学生错题整理情况进行调查，反馈结果分为A、B、C、D四类．其中，A类表示“经

常整理”,B类表示“有时整理”,C类表示“很少整理”,D类表示“从不整理”，并把调查结果制成

如图所示的不完整的扇形统计图和条形统计图，请你根据图表提供的信息解答下列问题：

令皿勹理情－一况一二二条一二形乙'充计图

错题整理情况扇形统计图2221l4208642086420

--------}}22-－}-－----------_-------

---------­--－--－一一-­}二二---------------------------_-----------------

＇二一一：___­

}-------

}--

lll}}

一4-B_C

类别

(1)参加这次调查的学生总人数为人；

(2)语补全条形统计图；

(3)扇形统计图中类别C所对应扇形的圆心角度数为气

(4)类别D的4名学生中有3名男生和1名女生，班主任想从这4名学生中随机选取2名学生进行访谈，

诸用列举法（画树状图或列表）求所选取的2名学生恰好都是男生的概率．

19.如图，在口ABCD中，乙BAD,乙BCD的平分线分别交对角线BD千点E,F,求证：AE=CF.

A_D

F

E

Bc

20.在落实国家“精准扶贫“政策的过程中，政府为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队

负责施工．甲工程队独立施工2天后乙工程队加入，两工程队联合施工4天后，还剩70米的工程．已知甲

工程队每天比乙工程队多施工5米，求甲、乙工程队每天各施工多少米？

21.如图，AB是00的直径，点C是AB上一点，AC>BC,AC的垂直平分线交00千点E,交AC千点

D,过点A作00的切线交CE的延长线千点F.

A

F

B

(1)求证：EA=EF:

(2)若OD=l,OC=2,求AF的长．

23.阅读理解题

定义：如果一条直线把三角形的面积分为相等的两部分，那么我们称这条直线是三角形的一条等分线，我

们知道三角形的一条中线把三角形的面积分成相等的两部分，那么三角形的一条中线所在的直线就是该三

角形的一条等分线．如图1，点D是BC的中点，那么直线AD就是丛ABC的一条等分线．

(1)任务一：如图1,若乙B=30°，乙C=45°,AC=2✓2,则6ABD的面积为.

(2)任务二：如图2,点A(1,4)，点B(4,2)，连接OA,AB,OB,直线l经过点A,且直线l是

60AB的等分线，请在图2中画出直线l（无需尺规作图），并求出直线l的表达式．

(3)任务三：如图3,点A(3,6),ABJ_x轴千点B,连接OA,点p(1,m)是OA上一点，点Q是

AB上一点，若直线PQ是6AOB的等分线，则点Q的坐标为.

25.综合与实践

如阳I,在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点0,将60BC绕点C顺时针旋转，点B对应点为点

E,点0对应点为点F.

EE

E

/4

A/I\AA

F|\/心F

|乙二v二v|乙二u~v~F

BCBCBC

图1图2图3

(1)当点E落在CD的延长线上时，请解答以下两个问题

＠如图l，若AB=2a,BC=2,连接OE,则OE2=（用含a的代数式表示）；

＠如图2,延长BD交EF千点G,试猜想BG与EF的位置关系并加以证明；

(2)如图3,在图l的基础上继续绕点C旋转1::,.0BC,点B对应点为点E,点0对应点为点F,当点E落

在BD的延长线上时，已知乙ACE=90°,求证：四边形CDEF是菱形．

27.综合与探究

如图，二次函数y=ax2+bx-3的图象与x轴交千点A(-4,0)，点B,与y轴交千点C,抛物线的顶点

1

为点D.抛物线的对称轴为直线x=－一，对称轴交x轴于点E.

2

r

霄

(1)求抛物线的表达式并直接写出直线BC和直线AC的函数表达式；

(2)连接AC,BC,点P是线段AC上一动点，PQI/AB交BC千点Q,交y轴千点F,连接OQ,当四

边形APQO是平行匹边形时，求点Q的坐标；

(3)在(2)的条件下，设点P的纵坐标为m,在点P的运动过程中，是否存在60PQ是直角三角形，若

存在，诮直接写出m的值；若不存在，谓说明理由．

2022年九年级教学质量监测

数学

第1卷选择题（共30分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有

一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1计算(-3)x(-¾)的结果是（)

92

cD

A.2B.-2-2-9

【1题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】根据有理数乘法的性质计算，即可得到答案

【详解】(-3)x(－勹＝3J3x¾=23

故选：A.

【点睛】本题考查了有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握有理数乘法的性质，从而完成求解．

2.下列运算正确的是()

A.5x2-3x=2xB.(-a丁(-a丁＝a12

C.4x江(4x2-2x)=l-2xD.(a+b)(-a+b)=b2-a2

【2题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．

【详解】解：A.5x2与3x不是同类项，不能合并，故原题计算错误，此选项不符合题意：

B.（—a丁(-a丁＝—a6芷＝－加，故原题计算错误，此选项不符合题意；

c.4x2+(4x2—2x)=~，故原题计算错误，此选项不符合题意；

2x-l

D.(a+b)(-a+b)=b二矿，故原题计算正确，此选项符合题意；

故选：D.

【点睛】此题主要考查了同底数幕的乘法、合并同类项、分式的除法以及完全平方公式，关键是掌握各计

算法则

3.如图，直线aIIb,RtLABC的顶点C在直线a上，AB与直线a交于点D,CB延长线交直线b千点

E,已知乙ACB=90°，乙A=30°,乙1=55°'则乙2的度数是()

A

ca

b

E

A.45°B.55°C.65°D.75°

(3题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】根据三角形外角的性质求出乙ACD.,再根据余角的性质和平行线的性质求解即可．

【详解】解：？乙A=30°,乙I=55°,

:.乙ACD＝乙l－乙A=25°,

：，乙DCE＝乙ACB—乙ACD=90°—25°=65°'

·:allb,

:.乙2=乙DCE=65°,

故选：C.

【点睛】本题考查了三角形外角的性质以及平行线的性质，熟练常握基础知识是解题的关键．

4.2021年5月22日，我国始发的火星车＂祝融号“安全到达火星表面．到目前已经获取约lOGB原始科学

数据，当地球与火星处千最远位置时，从火星表面发出的光到达地球的时间为21分20秒，已知光速约为

3xl08米／秒，则地球与火星处千最远位置时的距离是（)

A.3.84xl011米B.3.84xl08米C.3.784xl011米D.3.784x108米

【4题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】用光速乘时间，计算后再根据科学记数法的形式为axl(Y1的形式，其中l三Jal<lO,n为整数解答．

【详解】解：21分20秒＝1280秒，

3x108xl280

=3.84xl011（米），

故选：A.

【点睛】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．

2x+5至3(x+2)、丿

的解集是（

5.不等式组｛3x-3<2x

A.x~-1B.x>3C.-3<x~ID.-J~x<3

【5题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】分别求解两个不等式的解集然后求出不等式组的解焦即可．

2x+5::,;3(X+2)

{

【详解】解：3x-3<2x

解不等式2x+5:<,;3(x+2)

2x-3x:::;;6-5

-x~l

xz—l

不等的解集为x~—1

解不等式3x-3<2x

x<3

不等式的解集为x<3

:．不等式组的解集为—1::;x<3

故选D.

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组．解题的关键在于正确的计算．

6如图，在矩形ABCD中，AB=m,乙BAC=a,则OC的长为（)

AD

m

BC

mm,nm

A.B.C.D.

cosa2cosa2sinasma

【6题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】根据矩形的性质得出乙ABC=90°,AO=CO,再解直角三角形求出即可．

【详解】解：？四边形ABCD是矩形，

:.乙ABC=90°,AO=CO,

'.'AB=m,乙BAC=a.,

m

:．在Rtt:,.ABC中，AC=

cosa

1_1mm

:.OC==-=-AC=一．＝．

22cosa2cosa

故选：B.

【点睛】本题考查了矩形的性质和解直角三角形，能熟记矩形的性质是解此题的关键．

7某学校科学兴趣小组为了了解自己育种的树苗的生长情况，随机抽取10株树苗测量其高度，统计结果

如下表：

高度(cm)4050607080

株数152I1

则这批树苗的众数和中位数分别是（)

A.50cm60cmB.1lC.I60cmD.50cm50cm

【7题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】根据中位数和众数的性质分析，即可得到答案．

【详解】？高度50cm的数岱最多

占批树苗的众数是：50cm

？抽取10株树苗的高度测量值中，中间两位分别为：50cm,50cm

:．批树苗的中位数是：50cm

故选：D.

【点睛】本题考查了中位数和众数的知识；解题的关键是熟练掌握中位数、众数的性质，从而完成求解．

8.小明15元买售价相同的软而笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本（两人的钱恰好用完），已知

每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买到相同数显的笔记本，设软面笔记本每本售价为X

元，根据题意可列出的方程为（)

1524152415241524

A.一＝—B，一＝C.-=—D.-=—

Xx+3XX-3X+3XX-3X

【8题答案】

（答案】A

【解析】

【分析】先找出本题等械关系为两人买的笔记本数址，再根据等虽关系列出方程

【详解】找到等倡关系为两人买的笔记本数矗

1524

Xx+3

故选A

【点睛】本题考查分式方程的简单应用，本题关键在千找出等量关系

9.如图，直线y=-x+3与两坐标轴交于A,B两点，点P是线段AB上一动点（不与A,B两端点重

合），过点P作PC..lx轴千点C,作PD..ly轴千点D,小明认为矩形PCOD的周长不变且始终为6;小红

认为矩形PCOD的面积有最大值，最大值为3.关千小明与小红的判断，下面说法正确的是()

A.小明与小红都是正确的B．小明与小红都是错误的

C.小明是正确的，小红是钻误的D．小明是错误的，小红是正确的

【9题答案】

（答案】C

【解析】

【分析】设P(x,—x+3)(0<x<3)．根据周长公式求出周长，即可判定小明的正误；根据面积公式求出面

积，结合二次函数的性质，即可判断小红的正误．

【详解】设P(x,-x+3)(0<x<3),

·:C厄即COD=2(X尸归＝2[x+（—x+3)]=6,

:．周长不变，且始终为6,即小明正确；

39

·:s硕PCOD=xP.YP=x(-x+3)=-(x-~)2+-=;,

24

39

:．当x=－时，S矩形PCOD最大，最大为－，即小红是错误的．

24

故选C

【点睛】本题考查一次函数与二次函数的综合．掌握二次函数的性质是解题关键．

10.如图，在矩形ABCD中，AB=2✓3,BC=4,以点D为圆心，DA的长为半径画弧，交BC于点E,

交DC的延长线于点F,则图中阴影部分的面积为（)

AIID

BCF

4冗4兀2冗

4$B.—-2$c.✓3D竺－2$

3333

【10题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】根据矩形、圆的对称性和三角涵数的性质，推导得LCED=60°;再根据扇形面积的性质计算，即

可得到答案．

[二，＇ED

A

，＇，＇I

I,I,

BI,＇c

？矩形ABCD,BC=4,AB=2✓3

:.AD=BC=4,CD=AB=2✓3，乙心F＝乙BCD=90°,ADI/BC

？以点D为圆心，DA的长为半径画弧，交BC千点E,交DC的延长线千点F,

:.DF=DE=AD=4

CD2$§

:.sin乙CED=-==-＝——-＝--

DE42

:.L.CED=60°

1

:.CE=cos乙CDExDE=-=-x4=2

2

ll

:.s心CDE=-CExCD=-x2x2$=2$

22

·:ADI/BC

：．吵E=乙'.CED=60°

冗x42x60°8冗

上扇形ADE面积＝=-

360°3

:．阴影部分的面积

＝扇形ADF面积－扇形ADE面积－St:.CDE

冗x42x90°8冗

=--213

360°3

冗x42x90°8兀

=360°一了－2f3

8冗

=4冗－—－2$

8冗

=4兀·-—-2$

4冗

=-2$

故选：B.

【点睛】本题考查了矩形、圆、扇形面积、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、扇形面

积、三角函数的性质，从而完成求解

第II卷非选择题（共90分）

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

ll计算（而－森）x✓2=_.

【11题答案】

【答案】2

【解析】

【分析】利用乘法分配律展开，再利用二次根式的乘法计算，最后进行减法运算即可．

【详解】解：（瓜－森）x拉

＝瓜x&－森x✓2

＝尽—而

=6—4

=2

故答案为：2.

【点睛】本题考查二次根式的混合运算．掌握二次根式的混合运算法则是解题关键．

12.化简(l-1]』三的结果是.

aa

【12题答案】

【答案】一

a+l

【解析】

【分析】根据运尊顺序，先对括号里进行通分，给l的分子分母都乘以a,然后利用分式的减法法则，分母

不变，只把分子相减，进而根据除法法则，除以一个数等千乘以这个数的倒数，并把a2-1分解因式，约分即

可得到化简结果．

a-la?£-1

【详解】解：原式＝－－－十一一一

aa

=-•a-la

a(a+l)(a-1)

1

=

a+l

故答案为

a+l

【点睛】此题考查学生灵活运用通分、约分的方法进行分式的加减及乘除运算，是一道基础题．注意运算

的结果必须是最简分式．

13.如图I,在Rt6ABC中，乙C=90°,BC=a,AC=a+3,现有图l的直角三角形4个，小明用这4个

全等的直角三角形拼成如图2的赵爽弦图，若图2中正方形DEFG的面积为29,则a的值为.

G

A

E

C

图1图2

【13题答案】

【答案】2

【解析】

【分析】结合图形，按照三角形和正方形的性质并找到其面积之间的关系，运用完全平方公式计算即可．

【详解】解：在R心ABC中，BC=a,AC=a+3

l23

.·.S^ABC=-BC·AC=-a(a+3)=-a+-a

2222

s忖E=(AC—BC)2=(a+3-a)2=9

s大iEDEFG=4S,.ABC+S小正＝29,即

1.2.3

4x(....:...a""+-=-a)+9=29

22

解方程得：a2+3a=10

39

(a+-)2--=lO

24

解得：a=2（负值舍去）

故答案为：2.

【点睛】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用，正方形的性质，三角形的性质．灵活运用数形结合

思想是解题的关键．

k

14.如图，在丛ABC中，AB=AC=S,BC=6,点A的坐标为(l,,n),BCIIY轴，反比例函数y＝一的

图象经过点A和点B,则k的值为.

y

。x

(14匙答案】

15

【答案】—-

4

【解析】

【分析】如图，作AD..LBC于D,由题意知，心ABC是等腰三角形，BD=CD=—BC=3,在RtLABD

2

中，由勾股定理得AD=~求出AD的值，可知B(l+4,m—3)即B(5,m—3)，由A,B均在

反比例函数上可得m=S(m-3)，求解m的值，得到A点坐标，将A点坐标代入反比例函数解析式求得k

值即可

【详解】解：如图，作AD..LBC千D

y

。x

'.'AB=AC=S

：，心ABC是等腰三角形

·:BCl/y轴

:.BD=CD=—BC=3

2

在RtL::ABD中，由勾股定理得AD=~=4

:.B(l+4,m-3)即B(5,m-3)

·:A,B均在反比例函数上

:.m=5(m—3)

15

解得m=—

4

将A门）代入y=：叶气

15

解得k=－

4

15

故答案为：一－．

4

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，反比例函数解析式等知识．解题的关键在千求

解A点坐标．

l5．如图，AB是00的弦，连接BO,作ACJ_BO交BO的延长线于点C,已知OC=✓2•B0=2✓2,

点D是AB的中点，连接CD，则CD的长为.

D

【15题答案】

【答案】✓14

（斛析】

【分析】连接OA、OD、AD,先求得乙CA0=30°,再证丛AOD是等边三角形，最后在Rt心ADC中，用勾

股定理求得CD的长．

【详解】解：如图，连接OA、OD、AD,

D

·:OA=OB,BO=2五，

:.A0=2拉，

凇t6AOC中，OC=✓2,AO=2五，

:.乙CA0=30°,乙COA=60°,

·..OA=0B,

:.乙OAB＝乙OBA=30°,

$$

:.R心ABC中，AC=—BC=—x3t＝嘉，

33

·:点D是AB的中点，

:.OD.l_AB,

:.乙AOD＝乙BOD=60°,

·:OA=OD=2✓2,

:.6AOD是等边三角形，

:.LOAD=60°,AD=2五，

:.乙CAD=90°,

:.Rt凶ADC中，CD＝五万二石三｛岱）2+卢）2＝而

故答案：五了．

【点睛】本题考查垂径定理、圆周角定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会添加

常用辅助线，构造直角三角形解决问题．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16.计算

(1)-1豆(-3广－12－刮

(2)下面是小明作业中一个题目的解答过程，请你仔细阅读，并完成相应的任务．

1

如图，在口ABCD中，点E是BC上一点，BE=－BC，连接8D,AE,AE与BD交于点F,已知

3

口ABCD的面积为24,求6:,.BEF的面积．

B三／D

解：作AG_l_BC于点G.

·:s口ABCD=BC.AG=24':.st::.ABE=扫BE-AG=½叶BC-AG=ix24=4.

？四边形ABCD是平行四边形，．．．AD=BC,ADIIBC.

:.乙FBE=乙ADF,乙FEB=乙FAD,:.1:;.BEFU-,1:;.DAF.………………依据

BEEF.EFI

=--=—

ADAF···AF3

.sABEF=-=--.........................lx

9·

s6A8F

ll2

．．心BEF=—S=—x4=-.

·.slOt::.ABE105

任务一：填空：CD上而解答过程中，证明三角形相似的依据是.

SARFF1

＠小明的作业经过老师批改在心BEF=－后画了错号，这一步错误的原因是

s公ABF9

任务二：请你经过正确计算直接写出6.BEF的面积为