2022年河南省新乡市重点学校九年级数学初三中考二模试题（含详解）

2021-2022学年第二学期

九年级《数学》学业水平二模试卷

注意事项：

1.本试题卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟.

2.本试卷上不要答题，请按答题卡上的注意事项的要求直接把答案写在答题卡上.答在试卷

上的答案无效.

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.一2022的绝对值是（）

2.下列计算正确的是（）

A.（-2a）'=-6a'B.（a—0）=a~-b~C.3°+3=3D.>/8—V2=5/2

3.2021年12月9日，“天宫误堂”第一课正式开讲，时隔8年之后，中国航天员再次进行太空授课，此

时空间站距离地球约370000米，数据370000用科学记数法表示（）

A.37xl04B.0.37xlO6C.3.7xlO6D.3.7xlO5

4.从左边观察如图所示的几何体，得到的形状图为（）

5.下列调查中，适宜采用普查方式的是（）

A.检查天问一号火星探测器各零部件B.了解全国七年级学生视力状况

C.调查人们保护环境的意识D.了解一批医用口罩的质量

6.如图，直线H/6,如图放置，若Nl=28。，Z2=80°,则的度数为（）

B

A.62°B,52°C,38°D.28°

7.定义运算：x※产(x-y)(x-y+1)+1,如3X2=(3-2)x(3-2+1)+1=3,则方程xX2=0根的情况是

()

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.无实数根

8.将分别标有“建”、“设”、“大”、“美”、“河”、“南”汉字的小球装在一个不透明的口袋中,

这些球除汉字外完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球

上的汉字可以组成“河南”的概率是()

£1]_1

A.B.C.D.

615812

9.在RA4BC中，ZC=90°,AB=15,AC=12,以A为圆心，适当长为半径画弧，交4C,48于。，E两

点，再分别以。，E为圆心，大于goE的长为半径画弧，两弧交于点M,作射线AM交BC于点F,则线

段BF的长为()

A.5B.4C.3D.2.8

10.如图1,在平行四边形ABC力中，ZB=60°,BC=2AB,动点P从点A出发，以每秒1个单位的

速度沿线段AB运动到点B停止，同时动点Q从点B出发，以每秒4个单位的速度沿折线运动

到点。停止.图2是点P、。运动时，VBPQ的面积S与运动时间r函数关系的图象，则a的值是

)

B.9GC.6D.12

二、填空题(每小题3分，共15分)

11.写出一个3到4之间的无理数—.

E+1

12.已知点(-1,“)(2,b)在反比例函数y=的图象上，则ab.(填)

2x<3x-5

13.不等式组J—x+3的最小整数解是.

------<-2

I2

14.在矩形A8CQ中，CD=3,80为对角线，点E为线段BC上一点，连接。E,若NBDE=45°,BE=5,则

线段CE长度为.

15.如图，在AABC中，AB=AC=6NB=30。，点。为8c上一点,

EC

以点。为圆心，圆与AABC交于A、B、。三点，点E为直径8。下方半圆上一动点，连接AE、OE图中

阴影部分面积的最大值为.

【三、解答题(本大题共8个小题，满分75分)

16.计算：

/]、-12

(1)2x(—3)+—J—卜2>/^)

(2)fl--j_]j2：2x+l*在全国中小学生安全教育日来临之际，某校为了加强学生对于各类安全

常识了解程度，在八、九年级学生(各有500人)中，开展了安全常识知识竞答活动，满分100分.然后

随机各抽取20名同学的成绩进行了收集、整理与分析，过程如下：

【收集数据】

八年级：

618086839510090957592

758010087977868849995

九年级:

828391100967990639091

80869790858169907998

【整理数据】

成绩X（单位：分）61<J<7071人8081g把9091人100

八年级2558

九年级2a96

【分析数据】

统计量

年级

平均数众数中位数方差

八年级8695b115.9

九年级86908883.9

请根据以上信息，回答以下问题：

（1）填空：a=；b=.

（2）若九年级准备对知识竞答达到95分的同学给予奖励，那么大约有名学生将会获得奖励.

（3）结合以上数据，你认为哪个年级的总体成绩更好，请说出你的理由.

18.如图，在平面直角坐标系中，正比例函数为乂=%/和反比例函数%=$图像交于A,B两点，矩形

X

OAEC的边EC交x轴于点。，轴，点。的坐标为（2,0）,且

AE^ED.

（1）求这两个函数解析式;

（2）点尸为y轴上的一个动点，当PE-B4的值最大时，求点P的坐标.

19.某公园一斜坡上有一颗挺直的树AB,某同学为了测量其高度，从地面上C点处测得其顶端A的仰角为

20°,他沿着水平方向向前行走17〃?后到达斜坡底端。点，再沿着斜坡行走5〃?到达顶端E点.已知斜坡

的坡度为1：0.75,斜坡顶端E与树的底端3的距离为4〃?，且8E〃C。.请你帮该同学计算出树的高度

AB.（参考数据：sin20°-0.34,cos20°-0.94,tan20°=0.36,结果精确到0.据m）

的青少年赠送一幅题词：数学好玩.意在鼓励孩子们成为数学学习的探索者、钻研者，享受数学的乐趣.小

瑞在做练习时遇见这样一个问题：

如图1,点尸为。。外一点，过点尸作直线抬与。。相切于点4,连接OP,作点A关于O尸的对称点

A'，AA'与OP相交于点M,设。。的半径为R,试证明:小瑞轻松地给出了证明，喜欢

钻研的他不禁在想:如果直线网与。。相交（如图2）,上述结论是否仍然成立呢？

图1图2

2,帮助小瑞完成证明；

（2）若PC=6,OM=\,求。0的半径R.21.小李计划从网上批发一些饰品摆摊售卖.经过多方调查，

仔细甄别，他选定了A、B两款网红饰品，其进价分别为每个x元、y元.已知购进A款饰品8个和B款饰

品6个所需花费相同；购进A款饰品10个和B款饰品4个共需230元.

（1）请求出A,B两款饰品的进价分别是多少？

（2）小李计划购进两款饰品共计100个（其中A款饰品最多62个），要使所需费用不多于1700元，则他

有哪几种购进方案？

（3）小李最后准备将A、B两款饰品单价分别定为21元、28元.他计划按照（2）中能够获得最大利润的

方案购进，而且为吸引顾客，他准备在售卖过程中，给予顾客不同金额的现金红包，若要保证最后的利润

率不低于35%,那么他给出的红包总额不能超过多少元？

22.如图，在平面直角坐标系中，二次函数了=以2+2办—4的图像与x轴交于A、B两点,且有

0B=20A,顶点为力点.

(1)求抛物线解析式，并根据图象直接写出当产。时x的取值范围;

(2)将抛物线进行平移，使点A恰好落在顶点。位置，请求出平移后抛物线的解折式.

23.如图1,四边形ABCZ)为正方形，点E为其边8c上一点，以CE为边在正方形ABCC右侧作正方形

CEFG.将正方形CEFG绕点C逆时针旋转，记旋转角为a(0°<a<360°),连接AEBG,交于点M.

NAMB=°；

当a=270。时，ZAMB=°；

(2)在旋转过程中，的度数是否为定值？如果是，请就图2的情况予以证明；如果不是，请说明

理由.

(3)若BC=3,CE=1,当A、E、F三点在同一条直线上时，请直接写出线段的长度.

2021-2022学年第二学期

九年级《数学》学业水平二模试卷

注意事项：

1.本试题卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟.

2.本试卷上不要答题，请按答题卡上的注意事项的要求直接把答案写在答题卡上.答在试卷

上的答案无效.

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.一2022的绝对值是（）

A.-2022B.2022C.-^―1

D.---------

20222022

【答案】B

【解析】

【分析】直接根据绝对值的性质计算即可得出答案.

详解】由题意得：|—2022|=—（—2022）=2022.

故选:B.

【点睛】本题考查了绝对值，解题的关键是熟练掌握绝对值的性质.

2.下列计算正确的是（）

A.（-20）'=-6/B.（a-/?）?=/一/c30+3=3D.

【答案】D

【解析】

【分析】由积的乘方运算可判断A,由完全平方公式可判断B,由零次幕的含义可判断C,由二次根式的

加减运算可判断D,从而可得答案.

【详解】解：（―2。）3=—8/,故A不符合题意；

（a—2"+〃,故B不符合题意；

3°+3=1+3=4,故C不符合题意；

次-及=2&-血=血，故D符合题意；

故选D

【点睛】本题考查的是积的乘方运算，完全平方公式的应用，零次基的含义，二次根式的加减运算，掌握

以上基础运算是解本题的关键.

3.2021年12月9日，“天宫误堂”第一课正式开讲，时隔8年之后，中国航天员再次进行太空授课，此

时空间站距离地球约370000米，数据370000用科学记数法表示为（）

A.37xl04B.0.37xlO6C.3.7xlO6D.3.7xl05

【答案】D

【解析】

【分析】科学记数法的表示形式为“xlO"的形式，其中1<|«|<10,〃为整数.确定〃的值时，要看把原数

变成。时，小数点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值村0时，〃是正数;

当原数的绝对值<1时，"是负数.

【详解】解：370000=3.7xlO5

故选：D

【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为“xlO"的形式，其中上同<10,〃为

整数，解题的关键是正确确定。的值以及〃的值.

4.从左边观察如图所示的几何体，得到的形状图为（）

□□

【答案】c

【解析】

【分析】直接利用左视图观察角度分析得出答案.

【详解】解：从左面看，底层是两个小正方形,上层的左边是一个小正方形.

故选：C.

【点睛】此题主要考查了简单几何体的三视图,正确把握观察角度是解题关键.

5.下列调查中，适宜采用普查方式的是（）

A.检查天间一号火星探测器的各零部件B.了解全国七年级学生视力状况

C.调查人们保护环境的意识D.了解一批医用口罩的质量

【答案】A【解析】【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调

查得到的调查结果比较近似判断即可.

【详解】解：A、检查天间一号火星探测器的各零部件，适合普查，故A正确；

B、了解全国七年级学生视力状况，适合抽查，故B错误；

C、调查人们保护环境的意识，适合抽查，故C错误；

D、了解一批医用口罩的质量，适合抽查，故D错误；

故选：A.

【点睛】本题考查的是抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选

用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于

精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查.

6.如图，直线H/6,如图放置，若Nl=28。，/2=80。，则的度数为()

aA.62°B.52°C.38°D.28°

b

【答案】C

【解析】

【分析】根据平行线的性质，得出/1+/3=/2,即可求出/3度数，再根据直角三角形两锐角互余求解即

可.

【详解】解：如图,

'：a//b,

.,.Z1+Z3=Z2,

Z3=Z2-Zl=80o-28°=52°,

,/ZACB=90°,：.ZB+Z3=90°,

/./B=90°-52°=38°,

故选：C.

【点睛】本题考查平行线的性质，直角三角形性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键.

7.定义运算：x※产(x-y)(x-y+l)+1,如3X2=(3-2)x(3-2+1)+1=3,则方程彳※2=0根的情况是

()

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.无实数根

【答案】D

【解析】

【分析】根据新运算化简得到+3=0,再计算判别式的值，然后根据判别式的意义确定方程的根

的情况.

【详解】解：根据题意得。-2)*-2+1)+1=0,

化简得f-3X+3=O，

•.•△=(—3>-4x1x3=9—12=-3<0,

，方程无实数根.

故选D.

【点睛】本题主要考查了新运算、一元二次方程的根与系数的关系.

8.将分别标有“建”、“设”、“大”、“美”、“河”、“南”汉字的小球装在一个不透明的口袋中，

这些球除汉字外完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球

上的汉字可以组成“河南”的概率是()

11C1C1

A.-B.—C.-D.—

615812

【答案】B

【解析】

【分析】画树状图，共有30种等可能的结果，其中两次摸出的球上的汉字组成“河南”的结果有2种，再

由概率公式求解即可.

【详解】解：将标有“建”、“设”、“大”、"美"、“河”、“南”汉字的小球分别记为：1、2、

开始

3、4、5、6,画树状图如下：123456

^i\

234561345612456123561234612345

共有30种等可能的结果，其中两次摸出的球上的汉字组成“河南”的结果有2种，

21

两次摸出的球上的汉字组成“河南”的概率为一=一,

3015

故选：B.

【点睛】此题考查了树状图法，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总

情况数之比.

9.在即44BC中，ZC=90°,AB=15,AC=12,以A为圆心，适当长为半径画弧，交力C,A8于D,E两

点，再分别以。，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点作射线AM交8C于点凡则线

段的长为（）

A.5B.4C.3D.2.8

【答案】A

【解析】

【分析】过点尸作网，48于N,由作图可知，AM是N8AC的平分线，由角增分线的性质可得FN=FC,

即可利用HL定理证明RmACF"R出ANF,得出AN=AC=\2,再在RoACB中，由勾股定理求出BC=9,设

BF=x,贝ijFN=CF=8C-8F=9-x,由勾股定理列方程求解即可.

【详解】解：过点尸作尸NLAB于N,

由作图可知：4W平分NBAC,

,/ZC=90°,

J.FCVAC,

'：FN±AB,：.FN=FC,

在Rt^ACF和Rt^ANF中,

FC=FN

'AF=AF'

Rt^ACF出RsANF(HL),

，AN=AC=12,

.•.8N=AB-AN=15-12=3,

在放AACB中，由勾股定理，得

BC=y/AB2-AC2=V152-122=9，

设BF=x,则FN=CF=BC-BF=9-x,

在放A8N尸中，由勾股定理，得

x2=32+(9-x)2,解得:x=5,

故选：A.

【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的判定与性质，用尺规作角的平分线，角平分线的性质，由作图

得出，AM是NBAC的平分线是解题的关键.

10.如图1,在平行四边形ABC。中，ZB=60°,BC=2AB,动点P从点A出发，以每秒1个单位

速度沿线段AB运动到点B停止，同时动点Q从点8出发，以每秒4个单位的速度沿折线运动

到点。停止.图2是点P、。运动时，V8PQ的面积S与运动时间f函数关系的图象，则。的值是

()

B.9GC.6D.

12

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意计算得AB=6；再结合题意，得当动点Q在6C上时，VBP。的面积s随运动时间r

变化呈现二次函数关系；当动点。在CO上时，V8PQ的面积s随运动时间f变化呈现一次函数关系，从

而得a对应动点Q和点C重合；通过计算SMC，即可得到答案.

【详解】解：•.•动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段48运动到点B停止，一共用6秒钟,

；.AB=1x6=6,

•Z3C=2AB=2x6=12,

•.•四边形ABC。为平行四边形，

：.AB^CD=6,

当动点。在BC上时，7BPQ面积S随运动时间，变化呈现二次函数关系，

当动点Q在CO上时，VBPQ的面积S随运动时间，变化呈现一次函数关系，

对应动点。和点C重合，如图：

•••动点Q以每秒4个单位的速度从点8出发，

4r=12,

；•r=3,

AP=r=3,

BPAB-AP^6-3=3,

如图，过点C作CE_LAB,交AB于点E,

・・・CE=BCxsinZB=12x—=6V3，

2

S'BPC=：xBPxCE=gx3x6-\/3=96，即a=98.

故选：B.

【点睛】本题考查了平行四边形、函数图像，二次函数、一次函数、三角函数，与三角形高有关的计算等

知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数、三角函数的性质，从而完成求解.

二、填空题(每小题3分，共15分)

11.写出一个3到4之间的无理数.

【答案】兀(答案不唯一).

【解析】

【详解】考点：估算无理数的大小.分析：按要求找到3到4之间的无理数须使被开方数大于9小于16

即可求解.

解：3到4之间的无理数兀.

答案不唯一.

42+]

12.已知点(-1,a)(2,b)在反比例函数y=的图象上，则”b.(填)

x

【答案】<

【解析】

【分析】根据氏0,则公+1>0,把点(-1,a)(2,b)代入反比例函数解析式，求出a、b,即可求解.

【详解】解：；无论k为何实数,^>0,

把(-1,a)代入，得a=-(R+[)<。

k2+1

把(2,b)代入，得b=0一->0

2

a<b,

故答案为：<.

【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，求得好+1>0是解题的关键.

lx<3x-5

13.不等式组,—x+3的最小整数解是

-----<-2

2

【答案】7

【解析】

【分析】分别解不等式组中的两个不等式，再确定两个不等式解集的公共部分，再取最小整数解即可.

2x43x-5①

【详解】解：一无+39

-----<-2(2)

I2

由①得：x>5,

由②得：%37,

所以不等式组的解集为：x…7,

所以不等式组的最小整数解为：7【点睛】本题考查的是不等式组的解法，不等式组的整数解问题，掌握

“一元一次不等式组的解法”是解本题的关键.

14.在矩形A8CC中，CD=3,8。为对角线，点E为线段BC上一点，连接。E,若/BDE=45°,BE=5,则

线段CE的长度为.

【答案】1

【解析】

【分析】如图，过E作DE,交BD于M,过M作交BC于H,结合矩形ABC。，证明

NDCE小EHM,NBHM^NBCD,再结合全等三角形的性质与相似三角形的性质可得答案.

【详解】解：如图，过E作MEADE,交BO于M,过M作交BC于H,

结合矩形ABCD,

\?C?MHE90靶DEC+?CDE90??DEC?MEH,MH//DC,\?CDE?MEH,

Q?BDE45?,\?MDE?EMD45?,EMED,\VDCE^VEHM,而BE=5,CD=3,

\DC=HE=3,CE=HM,\BH=5-3=2,QMH//DC,\NBHM^NBCD,\".=也设

BCCD

HM=CE=x,

2x

\——=一，整理得：X2+5X-6=0,

5+x3

解得：%)=-6,X2=1,

经检验：不符合题意，舍去，

\C£=x=l.故答案为：1

【点睛】本题考查的是矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，作出适当的辅

助线构建全等三角形与相似三角形是解本题的关键.

15.如图，在"BC中，AB=AC=6NB=30。，点。为BC上一点，以点。为圆心，圆与AA8C交于A、

B、。三点，点E为直径8。下方半圆上一动点，连接AE、OE图中阴影部分面积的最大值为—

【解析】

【分析】如图，过。作。M_LAD,垂足为M,延长例。交圆。于凡连接4尸，DF,过。作O"_LAB,

垂足为“，由弓形AD的面积是定值，所以阴影部分的面积最大，则AAOE的面积最大即可，当E,尸重

合时，三角形的面积最大，即阴影部分的面积最大，再证明八48是等边三角形，可得

?AOD60?,AMOM=2,再计算面积即可.【详解】解：如图，过。作。M_LA£>,垂足M,延

2

长MO交圆O于F,连接AF,DF,过。作。HLAB,垂足为H,

由弓形A力的面积是定值，所以阴影部分的面积最大，则△?!£）£的

面积最大即可，当E,尸重合时，三角形的面积最大，即阴影部分的面积最大,

­,•AB=AC=6ZB=30°,OA=OB,

SB?0AB3°?,8"4"=*,\加=段=1=4。,(^。为直径,

NBAD=90°,ZOAD=60°,而OA^OD,

.•.△A。。是等边三角形,

6

\2AOD60?,。例0A涉in60?^-,AM=DM=^,\Ss^AOD=°^-=^,

'SvA"=Sx=《创S阴影=%；+%—=；+々故答案为：/

【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，扇形面积的计算，锐角三角函数的应用，垂径定理的应

用，熟练的运用垂径定理及圆的对称性解决问题是解本题的关键.三、解答题（本大题共8个小题,

满分75分）

16.计算:

；)—(―2到

（1）2x（-3）+

(2)[1-——+2x+1

Ix+2x2-4

x—2

【答案】（1）-14(2)-----

x+1

【解析】

【分析】（1）先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减即可求解;

（2）根据分式混合运算法则，先计算括号，再计算除法即可求解.

【小问1详解】

解：原式=2x(-3)+4-12

=-6+4-12

=-14；

【小问2详解】

小…x+1(x+2)(x—2)

解：原式=--------------—

x+2(x+1)

_x-2

x+1

【点睛】本题考查实数的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握实数的混合运算法则和分式的混合运算法

则是解题的关键.

17.在全国中小学生安全教育日来临之际，某校为了加强学生对于各类安全常识了解程度，在八、九年级

学生（各有500人）中，开展了安全常识知识竞答活动，满分100分.然后随机各抽取20名同学的成绩

进行了收集、整理与分析，过程如下：

【收集数据】

八年级：

618086839510090957592

758010087977868849995

九年级:

828391100967990639091

80869790858169907998

【整理数据】

成绩X（单位：分）61<AS7071-8081人9091人100

八年级2558

九年级2a96

【分析数据】

统计量

年级

平均数众数中位数方差

八年级8695b115.9

九年级86908883.9

请根据以上信息，回答以下问题：

(1)填空：a=；h=.

(2)若九年级准备对知识竞答达到95分的同学给予奖励，那么大约有名学生将会获得奖励.

(3)结合以上数据，你认为哪个年级的总体成绩更好，请说出你的理由.

【答案】⑴3,86.5,

(2)100名

(3)九年级的总体成绩好一些，理由见解析.

【解析】

【分析】(1)利用表格信息可得a=20-2-9-6,再确定八年级的中位数落在81#x90这一组，把这组

数据按照从小到大的顺序排列如下：83,84,86,87,90,从而可得中位数；

(2)利用总人数乘以样本中达到95分的学生所占的百分比即可：

(3)从中位数与方差两个方面分析可得出结论.

【小问1详解】

解：由九年级的表格信息可得：71微80的人数有：

4=20-2-9-6=3(人)，八年级20个数据排在最中间的两个分别是第10个，第11个数据，

所以中位数落在81微90这一组，

把这组数据按照从小到大的顺序排列如下：

83,84,86,87,90,

所以第10个，第11个数据分别是86,87,

所以中位数为：6=空巴=86.5.

2

【小问2详解】

解：因为样本中九年级达到95分的有4人，

4

所占的百分比为：—=20%,

所以500x2()%=100(名),

所以九年级准备对知识竞答达到95分的同学给予奖励，那么大约有10()名学生将会获得奖励.

【小问3详解】

解：八年级与九年级学生得分的平均数相同，

但是九年级学生成绩的中位数比八年级学生成绩的中位数高，而且成绩的方差还比八年级成绩的方差小，

所以九年级学生的成绩优于八年级学生的成绩.

【点睛】本题考查的是频数分布表，平均数，众数，中位数，方差的含义，以及利用平均数，众数，中位

数或方差作决策，熟练的掌握以上知识是解本题的关键.

18.如图，在平面直角坐标系中，正比例函数为乂和反比例函数%=k图像交于A,B两点,矩形

X

OAEC的边EC交x轴于点力，ADLx轴，点。的坐标为(2,0),且

(1)求这两个函数的解析式;

(2)点尸为y轴上的一个动点，当PE-出的值最大时，求点尸的坐标.

4

【答案】(1)X=%,必=--

(2)点P(0,4).【解析】

【分析】(1)由矩形的性质可证4。=0。=2,从而得出点A的坐标，代入即可；

(2)由三角形三边关系可知：当点尸、A、E共线时，PE-刑最大，延长EA交y轴于点P,求出直线4E

的函数解析式即可.

【小问1详解】

解：...四边形OAEC是矩形，

/E=/OAE=90°,

•：AE=DE,

：.ZOAD=ZDAE=ZADE=450,

YAOLv轴，

：.ZOAD=ZAOD=45Q,而0(2,0),

：.AD=OD=2,...点A(2,2),

k

将点A(2,2)代入和必=”得,

X

4

%=1,后2=4".y=x,y2=—.

x

【小问2详解】

解：由三角形三边关系可知：当点尸、A、E共线时，PE-朋最大，延长E4交y轴于点P,

过点E作E”_LAD于H,

「△AM是等腰直角三角形，4)=2,

：.EH=HD=\,：.E(3,l),

\2k+b=2伏=-1

设AE为：y^kx+b,解得:

13k+b=l\b=4

直线4E的函数关系式为：y=—x+4,

当x=0时，),=4,二点尸(0,4).

【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，一次函数的性质，待定系数法求函数解析式，矩形的

性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的三边关系等知识，利用数形结合思想是解题的关键.

19.某公园一斜坡上有一颗挺直的树AB,某同学为了测量其高度，从地面上C点处测得其顶端A的仰角为

20°,他沿着水平方向向前行走17〃?后到达斜坡底端。点，再沿着斜坡行走5,”到达顶端E点.已知斜坡

的坡度为1：0.75,斜坡顶端E与树的底端B的距离为4〃?，且BE〃CD.请你帮该同学计算出树的高度

AB.(参考数据：sin20°-0.34,cos20°-0.94,tan20°-0.36,结果精确到0.据施)

【答案】4.64/M

【解析】

【分析】过点E作于CQ延长线于M延长AB交8延长线于M,易得四边形BMNF是矩形,

贝ijMN=8E=4〃?，BM=EN,再根据OE的坡度为1：0.75,DE=5m,可求出EN=4〃?，DN=3m,所以

〜…A"AB+BMAB+4十

AM=AB+BM=AB+EN=AB+4,在RAACM中，根据tan/C=----=----------,即antan20°=-------,于

CMCM24

是可求出AB长，从而得出答案.

【详解】解：如图，过点E作EMLC。于延长线于N,延长AB交CO延长线于M,

由题意,得A8_LBE,

'：BE//CD,

,:ENLCD,

四边形8WNF是矩形，MN=BE=4m,BM=EN,在RfAEND中,DE=5m,OE的坡度为1：0.75,

EN，…4

即i-----=1:0.75=—

DN3

设EN=U,DN=3k,

由勾股定理，得

52=(4无)2+(3%)2,解得依1,

：.EN=4m,DN=3m,

AM=AB+BM=AB+EN=AB+4,

CM=CD+DN+MN=CD+DN+BE=17+3+4=24(w),

在&AACM中,

AMAB+BM

tanZC=

~CMCM

AB+4

即tan20°=

24

AB+4

a0.36,

24

必.64(〃?)，

答：树的高度AB约为4.64,〃，

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，通过作辅助线，构造直角三角形，将实际问题转化成解直角求解

是解题的关键.

20.数学家陈省身曾在2002年国际数学家大会期间，向参与活动的青少年赠送一幅题词：数学好玩.意在

鼓励孩子们成为数学学习的探索者、钻研者，享受数学的乐趣.小瑞在做练习时遇见这样一个问题：

如图1,点P为。。外一点，过点P作直线以与。。相切于点A,连接0P,作点A关于0P的对称点

A'，AA'与0P相交于点”，设。。的半径为R,试证明:A?=OM-OP.小瑞轻松地给出了证明，喜欢

钻研的他不禁在想:如果直线勿与。。相交（如图2）,上述结论是否仍然成立呢?

图1图2

2,帮助小瑞完成证明；（2）若PC=6,OM=1,求。0的半径R.

【答案】（1）见详解;

（2）3.

【解析】

【分析】（1）连接OA,OB,。4冼证明/4'胡=/4'0。，进而证明=从而证明

△BOMSXPOB,得到丝=丝，即可证明a=OM.QP；

POBO

（2）根据（I）结论得到关于R的方程，解方程舍去不合题意的解，问题得解.

【小问1详解】

证明：如图，连接OA,OB,OA',

,/点A和点A'关于OP的对称,

AC=A'C

：.AA'OC=-^A'OA,

2

A，A=A，A，

ZA'BA=-ZA'OA,

2

ZA'BA=ZA'OC,

'：OA'=OB,

：.ZOBA'=ZOA'B,

...ZOBA'+ZABA'=ZOA'B+ZCOA',

即NOBP=NOMB,

'：NPOB=NBOM,

:.△BOMSRPOB,

.BOMO

''~PO~~BO'

/.BO,=OMOP，

【小问2详解】

解：YPC=6,0M=\,

由（1）得R?=0加.02，

&=lx（R+6）,

即R?-/?-6=0，

解得鸟=3,&=-2（不合题意，舍去），

：.R=3.

【点睛】本题考查了圆周角定理，轴对称的性质，相似三角形的性质与判定，一元二次方程的应用等知

识，理解相关知识，添加辅助线，证明△BOMSAPOB是解题关键.

21.小李计划从网上批发一些饰品摆摊售卖.经过多方调查，仔细甄别，他选定了A、B两款网红饰品，

其进价分别为每个x元、y元.已知购进A款饰品8个和B款饰品6个所需花费相同；购进4款饰品10

个和B款饰品4个共需230元.

（1）请求出A,8两款饰品的进价分别是多少？

（2）小李计划购进两款饰品共计100个（其中A款饰品最多62个），要使所需费用不多于1700元，则他

有哪几种购进方案？

（3）小李最后准备将A、B两款饰品单价分别定为21元、28元.他计划按照（2）中能够获得最大利润的

方案购进，而且为吸引顾客，他准备在售卖过程中，给予顾客不同金额的现金红包，若要保证最后的利润

率不低于35%,那么他给出的红包总额不能超过多少元？

【答案】（I）是15元，20元

（2）有哪3种购进方案，方案一：设购进A款饰品60个，购进B款饰品40个；方案二：设购进A款饰品

61个，购进B款饰品39个；方案三：设购进A款饰品62个，购进B款饰品38个

(3)45元

【解析】【分析】(1)设A款饰品的进价是x元，B款饰品的进价是y元，根据购进A款饰品8个和B款饰

品6个所需花费相同；购进A款饰品10个和8款饰品4个共需230元.列方程组求解即可；

(2)设购进A款饰品m个，则购进8款饰品(100-〃。个，所需费用不多于1700元，4款饰品最多62

个，列不等式组求解即可：

(3)先根据方案，算出最大利润的购货方案，再设他给出的红包总额为。元，根据利润率不低于35%,

列车等式求解即可.

【小问1详解】

解：设4款饰品的进价是x元，8款饰品的进价是y元，根据题意，得

8x=6yfx=15

《，解得：\，

[10x+4y=230[y=20

答：A,B两款饰品的进价分别是15元，20元；

【小问2详解】

解：设购进A款饰品〃?个，则购进B款饰品(100-巾)个，根据题意，得

15m+20(100-m)<1700

解得：60</n<62,

0</«<62

当〃?=60时，100-«=40,

当m=61时，100-〃?=39,

当m=62时，100-〃?=38,

,共有3种方案，

方案一：设购进A款饰品60个，购进B款饰品40个：

方案二：设购进A款饰品61个，购进8款饰品39个；

方案三：设购进A款饰品62个，购进2款饰品38个；

答：他有哪3种购进方案，方案一：设购进A款饰品60个，购进B款饰品40个；方案二：设购进A款饰

品61个，购进B款饰品39个：方案三：设购进A款饰品62个，购进B款饰品38个；

【小问3详解】

解：•..按方案一，获得利润为：60(21-15)+40(27-20)=640阮)，

按方案二,获得利润为:61(21-15)+39(27-20)=639(%),

按方案三，获得利润为：62⑵-15)+38(27-20)=638(元)，

...他是按按方案一进货，

设他给出的红包总额为/，元，根据题意，得一640—>35%,

15x60+20x40

解得：乏45

答：他给出的红包总额不能超过45元.

【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，不等式组与不等式的应用，读懂题意，找出等量与不等量关

系，列出方程组与不等式组或不等式是解题的关键.

22.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+2Qc-