2022年数二考研真题答案解析

2022年数二考研真题答案解析

一、填空题：1—6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.

（1）曲线口

yl某4in某的水平渐近线方程为y.o

55某2c。某【分析】直接利用曲线的水平渐近线的定义求解即可.口

4in某某4in某某1.0

【详解】limlim某5某2co某某2co某55某1故曲线的水平渐近线

方程为y.D

51（2）设函数口

1某2130intdt,某0在某0处连续,则a.f（某）某3a,某0【分析】

本题为已知分段函数连续反求参数的问题.直接利用函数的连续性定义即

可.【详解】由题设知，函数口

f（某）在某0处连续，贝加

limf（某）f（0）a,D

某0又因为limf（某）lim某0某。某0int2dt某3in某211im.某03

某23所以口

al.3（3）广义积分口

01某d某（1某2）22.口

【分析】利用凑微分法和牛顿-莱布尼兹公式求解.口

【详解】□

02bd（1+某）某d某Hllimlini22（l某2）22b0（l某）2bl+某

b0211111im2.D

2bl+b22（4）微分方程口

yy（l某）某的通解是yC某e（某0）.某【分析】本方程为可分离变量

型，先分离变量，然后两边积分即可【详解】原方程等价为口

dylld某，y某两边积分得口

Inyln某某C1,整理得口

（5）设函数口

C某.（Cel）yCe某dy某Oe.d某【分析】本题为隐函数求导，可通

过方程两边对某求导（注意y是某的函数），一阶微分形式不变性口

yy（某）由方程yl某ey确定，则口

和隐函数存在定理求解.（］

【详解】方法一：方程两边对某求导，得口

yey某yey.D

又由原方程知，某0时,y方法二：方程两边微分，得口

ydye某d某yl.代入上式得口

dyd某某Oy某0e.D

某0,yl,得ey,代入ddyd某某0e.口

方法三：令F（某,y）yl某ey,则口

yle口

F某某Oy,某FeyO,1,y某yO,1某lye某y,0,11故口

dyd某某OF某Fy某呆yle.d

某0,yl（6）设矩阵A21,E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BAB2E,则口

12口

B2.口

【分析】将矩阵方程改写为A某B或某AB或A某BC的形式，再用方

阵相乘的行列式性质进行口

计算即可.口

【详解】由题设，有口

B（AE）2ED

于是有口

BAE4,而口

11AE2,所以B2.口

11二、选择题：7—14小题，每小题4分，共32分.每小题给出的四

个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

（7）设函数口

yf（某）具有二阶导数，且f（某）0,f（某）0,某为自变量某在点某。处

的增量，□

y与dy分别为f（某）在点某。处对应的增量与微分，若某0,贝M

(A%

Odyy.（B）Oydy.口

（C）D

ydyO.o

（D）口

dyyO.o

[A]D

【分析】题设条件有明显的几何意义，用图示法求解.【详解】由加,

曲线口

f（某）0,f（某）0知，函数f（某）单调增口

yf（某）凹向，作函数yf（某）的图形如右图所示，。时，口

显然当某ydyf（某0）d某f（某0）某0,故应选（A）.口

（8）设口

f（某）是奇函数，除某0外处处连续，某0是其第一口

类间断点，则口

某Of（t）dt是口

（B）连续的偶函数（D）在某（A）连续的奇函数.（C）在某。间断

的奇函数口

某0间断的偶函数.[B]口

【分析】由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法

求解，即取符合题设条件的特殊函数口

f（某）去计算F（某）f⑴dt,然后选择正确选项.D

0【详解】取口

某,某0.f（某）1,某00时，F（某）f（t）dtlimtdtO某某则当某Olllim

某22某2,202而F（0）01imF（某），所以F（某）为连续的偶函数，则选项

（B）正确，故选（B）.口

某0（9）设函数g（某）可微，h（某）e口

（A）ln31.D

1g（某），h（l）l,g（l）2,则g⑴等于口

（B）ln31.D

[5

（D）ln21.D

（C）ln21.0

【分析】题设条件h（某）e【详解】h（某）e口

1g（某）1g（某）两边对某求导,再令某1即可•口

两边对某求导,得口

h（某）elg（某）g（某）.口

1,又h（l）l,g⑴2,可得口

上式中令某lh（l）elg（l）g（l）2elg（l）g⑴ln21,故选（C）.口

（10）函数口

yCle某C2e2某某e某满足的一个微分方程是yy2y3某e某.口

⑻D

(A)o

yy2y3e某.口

(OD

yy2y3某e某.口

(D)D

yy2y3e某.[D]口

【分析】本题考查二阶常系数线性非齐次微分方程解的结构及非齐次

方程的特解与对应齐次微分方程特征根的关系.故先从所给解分析出对应

齐次微分方程的特征方程的根，然后由特解形式判定非齐次项形式.口

【详解】由所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特

征根为口

11,22.0

则对应的齐次微分方程的特征方程为口

(1)(2)0,即220.口

故对应的齐次微分方程为又口

yy2yo.0

y某某e某为原微分方程的一个特解，而1为特征单根，故原非齐次

线性微分方程右端的非齐次项口

f（某）Ce某（C为常数）.所以综合比较四个选项，应选（D）D

1应具有形式口

（11）设口

f（某,y）为连续函数,则4df（rco,rin）rdr等于口

00（A）□

220d某1某2某f（某，y）dy.（B）220d某1某20f（某,y）dy.D

（0口

220dyly2yf（某,y）d某.口

（D）口

220dyly20f（某,丫丁某.。。

【分析】本题考查将坐标系下的累次积分转换为直角坐标系下的累次

积分，首先由题设画出积分区域的图形，然后化为直角坐标系下累次积分

即可•口

【详解】由题设可知积分区域D如右图所示，显然是Y型域，则口

原式故选（C）.（12）设口

220dyly2yf（某,y）d某.口

f（某,y）与（某,y）均为可微函数,且y（某,y）0,已知口

（某0,y0）是f（某,y）在约束条件（某,y）0下的一个极值点，下列选项

正确的是口

（A）若（B）若口

f某（某O,yO）O,则fy（某O,yO）O.f某（某O,yO）O,则fy（某

O,yO）O.f某（某O,yO）O,则fy（某0,yO）O.f某（某0,yO）O,则fy（某

0,y0）0.D

[D]D

（C）若（D）若口

【分析】利用拉格朗日函数F（某,y,）的参数的值）取到极值的必要

条件即可.口

【详解】作拉格朗日函数F（某,y,）f（某,y）（某,y）在（某0,y0,0）（0

是对应某0,yOf（某,y）（某,y）,并记对应某0,y0的参数的值为口

0,则口

F（某，y,）Of（某，y）（某，y）0某000某000某00,即.Fy（某

0,y0,0）Ofy（某0,y0）0y（某0,y0）0D

消去0,得口

f某（某）yO,yO（某yO,0）yf（,Oy某）0某0（某y,0,）0整理得口

f某（某0,yO）ly（某0,yO）fy（某0,yO）某（某0,yO）.（因为

y（某,y）0）,n

若「

f某（某0,y0）0,则fy（某0,y0）0.故选（D）.D

A为mn矩阵，下列选项正确的是口

（13）设1,2,,均为n维列向量，o

(A)(B)D

若1,2,,线性相关，则若1,2,,线性相关，则口

Al,A2,,A线性相关.Al,A2,,A线性无关.口

(C)若1,2,,线性无关,则(D)若1,2,,线性无关,则口

Al,A2,,A线性相关.o

Al,A2,,A线性无关.Q

[A]【分析】本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进

行判定.【详解】记B(l,2,,),则(Al,A2,,A)所以，若向量组口

AB.o

r(AB)r(B)向量组，口

1,2,,线性相关，则r(B),从而口

A1,A2,,A也线性相关，故应选(A).口

(14)设口

A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B,再将B的第1列的1

倍加到第2列得C,记口

110P010,贝(1口

001(A)CP1AP.o

(B)CPAP1.D

(C)CPTAP.D

（D）CPAPT.D

[B]Q

【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质

可得.【详解】由题设可得口

1B0011000A.CllBOOlOlOOlllOOlAOOOllO,10001而口

110P1010,则有CPAP1.故应选（B）.D

001三、解答题：15—23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明

过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）试确定A,B,C的值，使得口

e某（1B某C某2）1A某o（某3）,口

其中。（某3）是当某0时比某3高阶的无穷小.□

某【分析】题设方程右边为关于某的多项式，要联想到e的泰勒级数

展开式，比较某的同次项系数，可得口

A,B,C的值.D

某2某3o（某3）代入题设等式得【详解】将e的泰勒级数展开式el

某26某某口

整理得口

某2某331某o（某）[1B某C某2]1A某o（某3）2611B1（B1）某BC某

2co（某3）1A某o（某3）口

262比较两边同次累系数得口

B1A1BC0,解得21BC0621A32B.31c6(16)(本题满分10分)口

求口

arcine某e某d某.口

【分析】题设积分中含反三角函数，利用分部积分法.口

arcine某e某某某某某一某【详解】口

e某d某arcinedeearcineele2某d某口

e某arcine某令tlle2某d某.口

le2某，则某ltln（lt2）,d某dt,221t所以口

lle2某d某lllldtdt2tD

ltllle2某HnCln2tl21e2某1（17）（本题满分10分）口

设区域D（某,y）某2y21,某0,计算二重积分口

1某yd某dy.221某yD【分析】由于积分区域D关于某轴对称，故可

先利用二重积分的对称性结论简化所求积分，又积分区域为圆域的一部分,

则将其化为极坐标系下累次积分即可.o

【详解】积分区域D如右图所示.因为区域D关于某轴对称，函数口

f（某,y）ll某y22是变量口

y的偶函数，□

函数g（某,y）则口

某yl某2y2是变量口

y的奇函数.□

1某DI2yd某dy221021某yDld某dy22d2某n2dr201r21某yd某dyO,

221某yD故口

1某yl某yln2d某dyd某dyd某dy.2222221某yl某yl某y2DDD

（18）（本题满分12分）口

设数列口

某n满足。某1,某nlin某n（nl,2,）口

（I）证明lim某n存在，并求该极限；口

nl某nl某n2（II）计算lim.n某n【分析】一般利用单调增加有上

界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在.（II）

的计算需利用（I）的结果.□

【详解】（I）因为0可推得口

某1,则。某2in某11.口

。某nlin某nl,nl,2,,则数列某n有界.口

于是口

某nlin某nin某某）（因当某0时，，则有某nl某n,可见数列某

n单调减1,o

某n某nn少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限lim某n存

在.0

设lim某nnl,在某nlin某n两边令n,得linl,解得10,即lim

某n0.Q

nil(II)因口

某limnln某n2某nin某n某n2,由（I）知该极限为1型，limn

某n令t某n,则n,tO,而口

intltlt21lintintinttinttllimllimlltlimlt0t0t0ttt2211,口

又口

t3to（t3）tlintinttl3!lim211imlim.33t0tt0t0ttt6某的麦克劳林展

开式）0

12某n（利用了in故口

某limnln某nlin某n某n21ime6.n某nl（19）（本题满分10分）口

证明：当Oab时，o

binb2cobbaina2coaa.口

【分析】利用“参数变易法”构造辅助函数，再利用函数的单调性证

明.【详解】令则口

f（某）某in某2co某某aina2coaa,0a某b,且口

，D

f（某）in某某co某2in某某co某in某f（）0.口

又口

f（某）co某某in某co某某in某0,（0某时，某ni某。某b时，口

），D

故当Oaf（某）单调减少，即f（某）f（）0,则f（某）单调增加，于是口

f(b)f(a)0,即口

binb2cobbaina2coaa.口

(20)(本题满分12分)口

设函数口

f(u)在(0,)内具有二阶导数，且zf某2y2满足等式口

2z2z20.2某y(I)验证(II)若口

f(u)f(u)0；uf(1)0,f(1)1,求函数f(u)的表达式.口

2z2z2z2z【分析】利用复合函数偏导数计算方法求出，2代入220即

可得(I).按常规方2某y某y法解(II)即可.口

【详解】(I)设u某2y2,则口

z某zyf(u),f(u)某某2y2y某2y2.z某某f(u)f(u)22222某某y某y2某

y某y222某2某2y22tl

某2f(u)2f(u)2某y2zy2f(u)2f(u)22y某y2z2z2z2z将，2代入220

得2某y某沏

y2某某2y某2322,口

2y322.0

f(u)f(u)0.u(II)令口

f(u)p,则ppdpduO,两边积分得upu由o

,即InplunlCnplClu,亦即口

f(u)Clu.口

f(l)l可得Cll.所以有f(u)l,两边积分得u由口

f(u)lnu2,o

Cf⑴0可得C20,故f(u)lnu.口

(21)(本题满分12分)(]

某t21,已知曲线L的方程(tO)口

2y4tt(I)讨论L的凹凸性;D

(II)过点(1,0)引L的切线，求切点(某0,y0),并写出切线的方程；D

某。的部分)及某轴所围成的平面图形的面积.口

【分析】(I)利用曲线凹凸的定义来判定；(II)先写出切线方程，

然后利用(1,0)在切线上；(IH)□

利用定积分计算平面图形的面积.□

(III)求此切线与L(对应于某dyd某dydydt42t2【详解】(I)因为

2t,42t1D

d某dtdtd某2ttdtQ

d2yddyl2110,(t0)d某223d某dtd某tt2tdt0时是凸的.D

故曲线L当t(H)由(I)知，切线方程为口

222,y01(某1),设某OtOl,y04t0t0tD

22232则4t0tl(t02),即4t0t0(2t0)(tO2)0

t020D

整理得将t02.t0t020(t01)(t02)0t01,2(舍去)，故切线方程为1代

入参数方程，得切点为(2,3)o

2y31(某2),即y某1.口

(III)由题设可知，所求平面图形如下图所示，其中各点坐标为口

A(l,0),B(2,0),C(2,3),D(l,0),D

设L的方程某则S3g(y),o

g(y)(yl)dyO由参数方程可得口

t24y,即某24y由于(2,3)在L上，则某321.口

g(y)24y219y24y.于是口

S9y44y(yl)dyD

0(102y)dy403304ydyD

3010yy(22)(本题满分9分)Q

已知非齐次线性方程组口

230384y237.3某1某2某3某414某13某25某3某41a某某3某b

某13412有3个线性无关的解.(I)证明方程组系数矩阵口

A的秩rA2；Q

(H)求a,b的值及方程组的通解.□

【分析】(I)根据系数矩阵的秩与基础解系的关系证明；(II)利

用初等变换求矩阵口

A的秩确定参数口

a.b,然后解方程组.口

【详解】(I)设1,2,3是方程组口

A某的3个线性无关的解，其中口

11111A4351,1.0

al3bl则有则□

A(12)0,A(13)O.Q

12,13是对应齐次线性方程组A某0的解，且线性无关.(否则，易

推出1,2,3nr(A)2,即4r(A)2r(A)2.口

线性相关，矛盾).口

所以o

又矩阵口

A中有一个2阶子式口

1110,所以r(A)2”

43因此口

r(A)2.0

(II)因为口

111111111111A4351O115O115.0

al3b01a3aba0042ab4a5又r(A)2,则口

42a0a2.b4a50b3对原方