2022年四川省南充市中考数学试卷真题及答案

2022年四川省南充市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A、B、C、

D四个答案选项，其中只有一个是正确的.请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置.填

涂正确记4分，不涂、错涂或多涂记0分.

1.（4分）下列计算结果为5的是（）

A.—（+5）B.+（—5）C.—（—5）D.—|—51

2.（4分）如图，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△A9C,点夕恰好落在C4的

延长线上，ZB=3O°,ZC=90°.则/以。为（）

B

3.(4分)下列计算结果正确的是()

A.5a—3a=2B.6a+2a=3a

C.a6^a3=a2D.(2a2b3)3

4.（4分）《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十

四足，问鸡兔各几何.”设鸡有x只，可列方程为（）

A.4x+2(94-x)=35B.4x+2(35-x)=94

C.2x+4(94—x)=35D.2x+4(35-x)=94

5.（4分）如图，在正五边形A8CDE中，以■为边向内作正A45F,则下列结论错误的是

)

A.AE=AFB.NEAF=NCBFC.ZF=ZE4FD.ZC=ZE

6.（4分）为了解“睡眠管理”落实情况，某初中学校随机调查50名学生每天平均睡眠时

间（时间均保留整数），将样本数据绘制成统计图（如图），其中有两个数据被遮盖.关于睡

眠时间的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（）

C.众数D.方差

7.（4分）如图，在RtAABC中，ZC=90°,/B4c的平分线交于点。，DE//AB,交

AC于点E,于点尸，DE=5,DF=3,则下列结论错误的是（）

8.（4分）如图，AB为的直径，弦C01./W于点E,QF_LBC于点尸，ZBOF=65°,

9.（4分）已知a>6>0,S.cr+b2-3ab,则d++（二一士）的值是（）

aba~b~

A.75B.-x/5C.-yD.--y

10.（4分）已知点,y）,N（X2,必）在抛物线>=初/一2m21+〃（〃?工。）上，当西+W>4

且办</时，都有乂<%，则m的取值范围为（）

A.0<〃4,2B.-2,,m<0C.m>2D.m<—2

二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线

上.

11.（4分）比较大小：2一23°.（选填＞，=,＜）

12.（4分）老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将6种生活现象制成看上去无

差别卡片（如图）.从中随机抽取一张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率是—.

冰化成水铁棒生锈酒精燃烧

物理变化化学变化化学变化

衣服晾干光合作用牛奶变质

物理变化化学变化化学变化

13.（4分）数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的A,8两点的距离，同学们在他

外选择一点C，测得AC,3c两边中点的距离/如为（如图），则A,B两点的距离是

m.

14.（4分）若工为整数，x为正整数，则x的值是—.

15.（4分）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上

下移动时、抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点。在同一水平面.安装师傅调

试发现，喷头高2.5机时，水柱落点距O点2.5”；喷头高4%时.，水柱落点距。点3〃?.那么

喷头高"，时，水柱落点距O点4帆.

16.（4分）如图，正方形AB8边长为1,点E在边用?上（不与力，B重合），将41£）£沿

直线。E折叠，点A落在点A处，连接A8,将绕点8顺时针旋转90。得到&8,连接

AA,AC,A2c.给出下列四个结论：①②NAQE+NAC3=45。；③点

产是直线DE上动点，则CP+AP的最小值为夜；④当/4£应=30。时，△A8E的面积为

三叵.其中正确的结论是—.（填写序号）

三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算

步骤.

17.（8分）先化简，再求值：（x+2）（3x-2）-2x（x+2）,其中x=

18.（8分）如图，在菱形ABC。中，点£,尸分别在边他，3c上，BE=BF,DE,DF

分别与AC交于点M,N.

求证：（1）MDEsACDF.

（2）ME=NF.

19.（8分）为传播数学文化，激发学生学习兴趣，学校开展数学学科月活动，七年级开展

了四个项目：A.阅读数学名著；B.讲述数学故事；C.制作数学模型；。.挑战数学

游戏.要求七年级学生每人只能参加一项.为了解学生参加各项目情况，随机调查了部分学

生，将调查结果制作成统计表和扇形统计图（如图），请根据图表信息解答下列问题：

项目ABCD

人数/人515ah

(1)a—,b=

（2）扇形统计图中“B”项目所对应的扇形圆心角为一度.

（3）在月末的展示活动中，“C”项目中七（1）班有3人获得一等奖，七（2）班有2人

获得一等奖，现从这5名学生中随机抽取2人代表七年级参加学校制作数学模型比赛，请用

列表或画树状图法求抽中的2名学生来自不同班级的概率.

20.（10分）已知关于x的一元二次方程x2+3x+%-2=0有实数根.

（1）求实数k的取值范围.

（2）设方程的两个实数根分别为芭，x2,若（与+1）（々+1）=-1,求k的值.

21.（10分）如图，直线旗与双曲线交于A（l,6）,3（加,-2）两点，直线80与双曲线在第一

象限交于点C,连接AC.

（1）求直线他与双曲线的解析式.

22.（10分）如图，AB为OO的直径，点C是OO上一点，点。是0。外一点,

ZBCD=ZBAC,连接8交3c于点E.

（1）求证：CD是0O的切线.

4

（2）若CE=CM,sinZBAC=-,求tanNCEO的值.

A

「D

23.（10分）南充市被誉为中国绸都，本地某电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品，它们

的进价和售价如下表.用15000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件.（利润=售价-进

价）

种类真丝衬衣真丝围巾

进价（元/件）a80

售价（元/件）300100

（1）求真丝衬衣进价。的值.

（2）若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件，据市场销售分析，真丝围

巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍.如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利

润是多少元？

（3）按（2）中最大利润方案进货与销售，在实际销售过程中，当真丝围巾销量达到一半时,

为促销并保证销售利润不低于原来最大利润的90%,衬衣售价不变，余下围巾降价销售，

每件最多降价多少元？

24.（10分）如图，在矩形ABC。中，点O是的中点，点〃是射线。C上动点，点尸在

线段AM上（不与点A重合），OP=-AB.

2

（1）判断A4B尸的形状，并说明理由.

（2）当点M为边“'中点时，连接CP并延长交45于点N.求证：PN=AN.

O

（3）点。在边4）上，AB=5,4）=4,DQ=-,当NCPQ=90。时，求。W的长.

25.(12分)抛物线产；/+法+c与x轴分别交于点8(4,0),与y轴交于点C(0,T).

(1)求抛物线的解析式.

(2)如图1,QBCPQ顶点P在抛物线上，如果Q8CP0面积为某值时，符合条件的点P有

且只有三个，求点P的坐标.

(3)如图2,点"在第二象限的抛物线上，点%在对。延长线上，OM=2ON,连镂BN

并延长到点。，使ND=NB.用£＞交x轴于点E,ZDEB与ZDBE均为锐角,

tanZDEB=2tanZDBE,求点M的坐标.

图1图2

2022年四川省南充市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A、B、C、

D四个答案选项，其中只有一个是正确的.请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置.填

涂正确记4分，不涂、错涂或多涂记（）分.

1.（4分）下列计算结果为5的是（）

A.—（+5）B.4-（—5）C.—（—5）D.—|—51

【分析】根据相反数判断A,B,C选项；根据绝对值判断。选项.

【解答】解：A选项，原式=-5,故该选项不符合题意；

3选项，原式=-5,故该选项不符合题意；

C选项，原式=5,故该选项符合题意；

。选项，原式=-5,故该选项不符合题意；

故选：C.

2.（4分）如图，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△A8C,点用恰好落在C4的

延长线上，ZB=3O°,ZC=90°,则/£4。为（）

B

【分析】利用旋转不变性，三角形内角和定理和平角的意义解答即可.

【解答】解：•.•N3=30。，NC=90。，

/.ZCAB=180。-N8—NC=60°,

•.•将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB'C,

ZCAB,=ZCAB=6O°.

•.•点恰好落在CA的延长线上，

/.ABAC=180°-ZCAB-NCA9=60°.

故选：B.

3.（4分）下列计算结果正确的是（）

A.5a—3a=2B.6“+2a=3a

C.<764-a3=a2D.(24&)3=846/

【分析】根据合并同类项判断A选项；根据单项式除以单项式判断3选项；根据同底数幕

的除法判断C选项；根据积的乘方判断。选项.

【解答】解：A选项，原式=2a,故该选项不符合题意;

3选项，原式=3,故该选项不符合题意;

C选项，原式故该选项不符合题意;

O选项，原式=84少，故该选项符合题意;

故选：D.

4.（4分）《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十

四足，问鸡兔各几何.”设鸡有x只，可列方程为（）

A.4x+2(94-x)=35B.4x+2(35-x)=94

C.2x+4(94-x)=35D.2x+4(35-x)=94

【分析】由上有三十五头且鸡有x只，可得出兔有（35-x）只，利用足的数量=2x鸡的只数

Mx兔的只数，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解.

【解答】解：•.•上有三十五头，且鸡有x只,

兔有（35-幻只.

依题意得：2x+4(35-x)=94.

故选：D.

5.（4分）如图，在正五边形ABCQE中，以45为边向内作正则下列结论错误的是

)

B.NEAF=NCBFC.ZF^ZEAFD.ZC=ZE

【分析】根据正多边形定义可知，每一个内角相等，每一条边相等，再根据内角和公式求出

每一个内角，根据以45为边向内作正AAB/，得出NE45=NAfiF="=60。，

AF=AB=FB,从而选择正确选项.

【解答】解：在正五边形ABCDE■中内角和：180。><3=540。，

/.ZC=Z£>=ZE=ZEAB=ZABC=540°H-5=108°,

二。不符合题意；

•.•以他为边向内作正AA5尸，

.-.ZFAB=ZABF=ZF=6O°,AF^AB-FB,

.AE=AB,

:.AE=AF,ZEAF=ZFBC=4S°,

：.A,8不符合题意；

：.ZF^ZEAF,

r.C符合题意；

故选：c.

6.（4分）为了解“睡眠管理”落实情况，某初中学校随机调查50名学生每天平均睡眠时

间（时间均保留整数），将样本数据绘制成统计图（如图），其中有两个数据被遮盖.关于睡

眠时间的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（）

【分析】根据条形统计图中的数据，可以判断出平均数、众数、方差无法计算，可以计算出

中位数，本题得以解决.

【解答】解：由统计图可知，

平均数无法计算，众数无法确定，方差无法计算，而中位数是（9+9）+2=9,

故选：B.

7.（4分）如图，在RtAABC中，NC=90。，44C的平分线交于点。，DE//AB,交

AC于点£,。尸,钻于点尸，DE=5,DF=3,则下列结论错误的是（）

C.AE=5D.AC=9

【分析】根据角平分线的性质和和勾股定理，可以求得CD和CE的长，再根据平行线的性

质，即可得到AE的长，从而可以判断8和。，然后即可得到AC的长，即可判断。；再根

据全等三角形的判定和性质即可得到BF的长，从而可以判断A.

【解答】解：・.・"＞平分N84C,ZC=90°,DF±AB,

/.Z1=Z2,DC=FD,NC=ZDFB=90。,

:DE/1AB,

/.Z2=Z3,

.・.Z1=Z3,

/.AE=DE，

・・DE=5,DF=3,

.\AE=5,C£>=3,故选项3、C正确；

22

:.CE=>jDE-CD=4f

.•.AC=AE+EC=5+4=9,故选项。正确;

DEIIAB.ZDFB=90。,

:.ZEDF=ZDFB=90。,

：./CDF+/FDB=900,

・・・ZCDF+/DEC=90°，

:.ZDEC=4FDB,

RF

1/tanZ.DEC=,tanZ.FDB=,

CEDF

3BF

—=——，

43

解得8尸=2,故选项A错误；

4

故选：A.

8.（4分）如图，AB为（JO的直径，弦CD_LAB于点E,OFLBC于点F,ZBOF=65°,

则448为（）

A.70°B.65°C.50°D.45°

【分析】先根据三角形的内角和定理可得N8=25。，由垂径定理得：AC=AD,最后由圆

周角定理可得结论.

【解答】解：8C,

.-.zero=90°,

-.-ZBOF=65°,

/.ZB=90°-65°=25°,

•.•弦A3为的直径，

AC=AD,

:.ZAOD=2ZB=50°.

故选：C.

9.（4分）已知a>A>0,S.a2+b2=3ab,则已+^尸+（二一二r）的值是（）

aha~b-

A.加B.YC.—D.--

55

【分析】利用分式的加减法法则，乘除法法则把分式进行化简，由"+从=3〃6,得出

（a+b）2=5ab,（a-b）2=ab,由a>0>0,得出a+b=y15ab，a-b=>fab,代入计算，即

可得出答案.

【解答】解：2+为注二一』)

abab

_(a+b)2b2-a2

a2b2a2b2

(a+4)201bl

a2b2(b+d)(b-a)

a+h

---------,

a-h

•/a1+tr=3ab,

/.(a+b)2=5ab,(a-b)2=ab,

\-a>b>0,

:,a+b=d5ab,a-b=y[ab,

a+h_N5ab_\5ab_r

故选：B.

10.（4分）已知点,y）,7V（X2,必）在抛物线V二根？一2病〃（%?=（））上，当司+/>4

且王时，都有凹<必，则根的取值范围为（）

A.0<〃戛2B.-2,,m<0C.m>2D.m<—2

【分析】根据题意和题目中的抛物线，可以求得抛物线的对称轴，然后分类讨论即可得到相

的取值范围.

【解答】解:,/抛物线y=mx2-2m2x+n（m工0）,

•••该抛物线的对称轴为直线x=-2=m,

2m

,当％+九2>4且％<w时，都有y<必，

当—>0时,

0<2®4,

解得0<）砥2；

当〃Z<0时，

2m>4,

此时m无解；

由上可得，加的取值范围为0〈，出2，

故选：A.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线

上.

11.（4分）比较大小：2-2_＜_3°.（选填＞，=,＜）

【分析】先分别计算2＜和3°的值，再进行比较大小，即可得出答案.

【解答】解：；2-2=L3°=1,

4

/.2-2＜3°,

故答案为：＜.

12.（4分）老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将6种生活现象制成看上去无

差别卡片（如图）.从中随机抽取一张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率是-.

一3一

冰化成水铁棒生锈酒精燃烧

物理变化化学变化化学变化

衣服晾干光合作用牛奶变质

物理变化化学变化化学变化

【分析】用物理变化的张数除以总张数即可.

【解答】解：从中随机抽取一张卡片共有6种等可能结果，抽中生活现象是物理变化的有2

种结果，

所以从中随机抽取一张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率为2=,，

63

故答案为：--

3

13.（4分）数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的A,B两点的距离，同学们在4?

外选择一点C,测得AC,8c两边中点的距离DE为10根（如图），则A,5两点的距离是

20m.

【分析】利用三角形中位线定理解决问题即可.

【解答】解：•.•8=AZ）,CE=EB,

.〔DE是AA8C的中位线，

:.AB=2DE,

DE=10m,

AB=20m，

故答案为：20.

14.（4分）若炉工为整数，x为正整数，则x的值是4或7或8.

【分析】利用二次根式的性质求得x的取值范围，利用算术平方根的意义解答即可.

【解答】解：x为正整数，

：M8且x为正整数，

A/8-X为整数，

j8-x=0或1或2,

当二7=0时;x=8,

当>/8-x=1时,x=7,

当通二7=2时，x=4,

综上，x的值是4或7或8,

故答案为：4或7或8.

15.（4分）如图，水池中心点。处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上

下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点。在同一水平面.安装师傅调

试发现，喷头高2.5小时，水柱落点距O点2.5帆：喷头高4m时，水柱落点距。点3m.那么

喷头高8m时，水柱落点距O点4〃?.

高度(m)

【分析】由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高25〃

时，可设丫=以2+瓜+2.5,将(2.5,0)代入解析式得出2.5a+A+1=0；喷头高时，可设

y=ax2+bx+4；将(3,0)代入解析式得9。+3〃+4=0,联立可求出“和6的值，设喷头高为

〃时，水柱落点距O点4加，则此时的解析式为丫二奴?+瓜+〃，将(4,0)代入可求出

【解答】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，

当喷头高25”时，可设y=+6x+2.5,

将(2.5,0)代入解析式得出2.5a+2+1=0①；

喷头高4/"时，可设>="2+公+4；

将(3,0)代入解析式得9a+3b+4=0@,

联立可求出a=-2,b=Z,

33

设喷头高为〃时，水柱落点距O点4帆，

.•.此时的解析式为"-Zd+Zx+K,

33

将(4,0)代入可得一x42+-x4+/?=0,

33

解得/?=8.

故答案为：8.

16.(4分)如图，正方形ABC。边长为1,点E在边上(不与A,B重合)，将AADE沿

直线0E折叠，点A落在点A处，连接A8,将绕点8顺时针旋转90。得到&8,连接

AA,A,C,4c.给出下列四个结论：①AA54,=△(?%；②NA£)£+NAC8=45。；③点

P是直线QE上动点，则CP+A尸的最小值为④；④当"DE=30。时，△A8E的面积为

土史.其中正确的结论是①②③.（填写序号）

【分析】①正确.根据SAS证明三角形全等即可；

②正确.过点。作于点7,证明+NCDT=45。，NCDT=即可；

③正确.连接R4,AC.因为A,4关于£)E对称，推出以=24,,推出

PAt+PC=PA+PC..AC=y/2,可得结论；

④错误.过点A作于点4,求出£8,A”，可得结论.

【解答】解：•.•四边形A5CD是正方形，

:.BA=BC,ZABC=90°,

=NA8C=90°,

ZABAt=NCB4,

84,=B\，

.•.AA/wAC%(SAS),故①正确，

过点。作。于点了，

：CD=D\9

4CDT=4DT,

•/AADE=^\DE,ZAZ)C=90°,

:.ZADE+ZCDT=45°,

・・・ZCDT+ZDCT=90°,ZDCT+ZBCA.=90°,

/.ZCDT=/BCA,

/.ZADE+ZBCA,=45°,故②正确.

连接P4,AC.

・・・A,A关于DE对称,

PA=PA.,

PA.+PC=PA+PC..AC=yf29

.•.尸4+尸。的最小值为0,故③正确,

过点A作AA于点”,

・・・NAT>£=30。，

AE=\E=ADtan30°=y-,

：.EB=AB-AE=\--，

3

•/Z^EB=60°,

AIT_AC•_GG_1

..A"=A七,sin6AA0O=—x—==一,

,-322

Sj:a\=；X(1-9)X；=，故④错误.

故答案为：①②③.

三、解答题(本大题共9个小题，共86分)解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算

步骤.

17.(8分)先化简，再求值：(x+2)(3x—2)—2x(x+2),其中x=

【分析】提取公因式x+2,再利用平方差公式计算，再代入计算.

【解答】解：原式=(x+2)(3x—2—2幻

=(x+2)(x-2)

=x2-4,

当x=6-l时，

原式=(6-1)2_4=_26.

18.(8分)如图，在菱形ABCD中，点E,尸分别在边AB,BC上，BE=BF,DE,DF

分别与AC交于点M,N.

求证：(1)^ADE=ACDF.

(2)ME=NF.

【分析】（1）根据菱形的性质和全等三角形的判定&4S,可以证明结论成立；

（2）根据（1）中的结论和等腰三角形的性质，可以得到DM=DN,从而可以

得到=

【解答】证明：（1）•.•四边形ABCD是菱形，

:.DA=DC,ZDAE=ZDCF,AB=CB,

.BE=BF,

:.AE=CF,

在AADE和中，

DA=DC

"NDAE=ZDCF,

AE=CF

:.AADE"CDF（SAS）：

（2）由（1）知A4£>E=AC£>尸，

,-.ZADM=ZCDN,DE=DF,

•.•四边形ABCD是菱形，

r.ADAM=ZDCN,

ZDMA=ZDNC,

:,ZDMN=ZDNM，

,DM=DN,

..DE—DM=DF—DN,

:.ME=NF.

19.（8分）为传播数学文化，激发学生学习兴趣，学校开展数学学科月活动，七年级开展

了四个项目：4.阅读数学名著；B.讲述数学故事；C.制作数学模型；。.挑战数学

游戏.要求七年级学生每人只能参加一项.为了解学生参加各项目情况，随机调查了部分学

生，将调查结果制作成统计表和扇形统计图（如图），请根据图表信息解答下列问题：

项目ABCD

人数/人515ah

(1)a=20.b=

（2）扇形统计图中“B”项目所对应的扇形圆心角为—度.

（3）在月末的展示活动中，“C”项目中七（1）班有3人获得一等奖，七（2）班有2人

获得一等奖，现从这5名学生中随机抽取2人代表七年级参加学校制作数学模型比赛，请用

列表或画树状图法求抽中的2名学生来自不同班级的概率.

【分析】（1）由A项目人数及其所占百分比可得总人数，总人数乘以。项目人数所占比例

求出8,再根据四个项目人数之和等于总人数得出a;

（2）用360。乘以8项目人数所占比例即可；

（3）七（1）班3人分别用A、B、C表示，七（2）班2人分别。、E表示，列表得出所

有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可.

【解答】解：（1）被调查的总人数为5+10%=50（人），

.•.6=50x20%=10（人），

则“=50-（5+15+10）=20,

故答案为:20、10；

（2）扇形统计图中“B”项目所对应的扇形圆心角为360%”=108。，

50

故答案为：108；

（3）七（1）班3人分别用A、B、C表示，七（2）班2人分别£）、E表示,

根据题意列表如下：

ABcDE

A(B,A)(GA)(DA)(E,A)

B(A,8)(C,B)(D,B)(E,B)

C(AC)(B,C)(2C)(E,C)

D（A。）(B,D)(C,D)(E,D)

E(AE)(B,E)(C,E)(D,E)

共有20种等可能的情况数，其中这两人来自不同班级的有12种,

则这两人来自不同班级的概率是"=?.

205

20.（10分）已知关于x的一元二次方程/+3工+/-2=0有实数根.

（1）求实数&的取值范围.

（2）设方程的两个实数根分别为西，X*若（占+1）（%+1）=-1,求％的值.

【分析】（1）根据一元二次方程Y+3x+K-2=0有实数根，可知△..（）,即可求得上的取值

范围；

（2）根据根与系数的关系和（占+1）。2+1）=-1,可以求得4的值.

【解答】解：（1）•.•关于X的一元二次方程V+Bx+Z-ZuO有实数根，

=32-4x1x（A：-2）..0,

解得鼠口,

4

即左的取值范围是鼠U;

4

（2）・・•方程X2+3*+攵一2=0的两个实数根分别为王，光2,

二.%+%）=-3,XyX2=k-2,

•/(Xj+l)(x2+1)=-1,

XyX2+(X1+X2)+1=-l,

二.2—2+（—3）+1=—I,

解得攵=3,

即火的值是3.

21.（10分）如图，直线4?与双曲线交于A（l,6）,8（根,-2）两点，直线50与双曲线在第一

象限交于点C,连接AC.

（1）求直线钻与双曲线的解析式.

（2）求AA8C的面积.

【分析】（1）根据点A的坐标可以求得双曲线的解析式，然后即可求得点3的坐标，再用

待定系数法即可求得直线AB的解析式；

（2）先求出直线30的解析式，然后求出点C的坐标，再用割补法即可求得AABC的面积.

【解答】解：（1）设双曲线的解析式为y=&,

X

・・•点41,6）在该双曲线上，

,nk

6=一,

1

解得k=6,

6

...y=一，

x

8（机,-2）在双曲线y=9上,

解得tn=-3，

设直线AB的函数解析式为y=ax+h,

卜+。=6

\-3a+b=-29

a=2

解得

ft=4

即直线AB的解析式为y=2x+4；

(2)作5G//x轴，方G//y轴，FG和5G交于点G,作8E7/y轴，E4//x轴，BE^FA

交于点£,如右图所示，

直线BO的解析式为y=ax,

丁点3(—3,—2),

-2=—3a9

解得4，,

3

二.直线30的解析式为y=

2

y=­x

3

<6，

y=-

lx

fx=3fx=-3

解得〈「或〈力

b=2[y=-2

点C的坐标为(3,2),

丁点A(l,6),8(-3,-2),C(3,2),

/.£B=8,BG=6,CG=4,CF=4,AF=2,AE1=4,

…SgBC=S矩形E3G“一SgEB一S&BGC-

c,4x86x44x2

222

=48-16-12-4

=16.

22.（10分）如图，为OO的直径，点C是0。上一点，点。是0。外一点,

ZBCD=ZBAC,连接8交于点E.

（1）求证：C?）是0O的切线.

4

（2）若CE=CM,sinZBAC=-,求tanNCEO的值.

【分析】（1）连接OC,证明OC_LCD即可；

nr4

（2）过点。作OH_L8C于点由sinN84C=——=—,可以假设3C=4Z,AB=5k,

AB5

则AC=OC=CE=2.5攵，用攵表示出O”，EH,可得结论.

【解答】（1）证明：连接OC,

・.・A3是直径,

ZACB=90°,

/.ZA+ZB=90o,

・.・OC=OB,

NOCB=NOBC,

・・・ZBCD=ZBAC,

:./OCB+/DCB=9^,

/.OC±CD,

・・・oc为oo的半径，

是OO的切线;

(2)解：过点。作O〃_L8c于点H.

sinZ.BAC==—>

AB5

.•.可以假设BC=4Z,AB=5k,贝ljAO=OC=CE=2.5Z,

.OHA.BC,

:.CH=BH=2k,

:OA=OB,

]3

:.OH=-AC=-k,

22

:.EH=CE—CH=25k—2k=G5k,

2k

tanNCEO=—=-^―=3.

23.（10分）南充市被誉为中国绸都，本地某电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品，它们

的进价和售价如下表.用15000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件.（利润=售价-进

价）

种类真丝衬衣真丝围巾

进价（元/件）a80

售价（元/件）300100

（1）求真丝衬衣进价。的值.

（2）若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件，据市场销售分析，真丝围

巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍.如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利

润是多少元？

（3）按（2）中最大利润方案进货与销售，在实际销售过程中，当真丝围巾销量达到一半时,

为促销并保证销售利润不低于原来最大利润的90%,衬衣售价不变，余下围巾降价销售，

每件最多降价多少元？

【分析】(1)利用总价=单价x数量，即可得出关于。的一元一次方程，解之即可得出“的

值；

(2)设购进真丝衬衣x件，则购进真丝围巾(300-x)件，根据真丝围巾进货件数不低于真

丝衬衣件数的2倍，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，设两

种商品全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润=每件的销售利润X销售数量，即可得

出w关于x的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题；

(3)设每件真丝围巾降价y元，利用总利润=每件的销售利润x销售数量，结合要保证销

售利润不低于原来最大利润的90%,即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最

大值即可得出结论.

【解答】解：(1)依题意得：50«+80x25=15000,

解得：a=260.

答：a的值为260.

(2)设购进真丝衬衣x件，则购进真丝围巾(300-x)件，

依题意得：300-x..2x,

解得：用,100.

设两种商品全部售出后获得的总利润为卬元，则

卬=(300-260)%4-(100-80)(300-x)=20x+6000.

•.•20>0,

.,.w随x的增大而增大，

当x=100时，卬取得最大值，最大值=20x100+6000=8000，此时

300-x=300-100=200.

答：当购进真丝衬衣100件，真丝围巾200件时，才能使本次销售获得的利润最大，最大利

润是8000元.

(3)设每件真丝围巾降价y元，

依题意得：(300-260)xl00+(100-80)xgx200+(100-y-80)*gx200..8000x90%,

解得：y,,8.

答：每件真丝围巾最多降价8元.

24.（10分）如图，在矩形ABCD中，点。是的中点，点M是射线10c上动点，点P在

线段AM上（不与点A重合），OP=-AB.

2

（1）判断A4B尸的形状，并说明理由.

（2）当点M为边DC中点时，连接CP并延长交4）于点N.求证：PN=AN.

Q

（3）点Q在边4）上，AB=5,AD=4,=1,当NCPQ=90。时，求DM的长.

备用图

【分析】（1）由已知得：OP=OA=OB,根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得

结论；

（2）如图1,延长4W,交于点。，先证明AAOM三AQCM（ASA）,得AO=CQ=8C,

根据直角三角形斜边中线的性质可得PC=；BQ=BC,由等边对等角和等量代换，及角的

和差关系可得结论；

（3）分两种情况：作辅助线，构建相似三角形，设Z）M=x,QG=a,则CH=a+g,

Q19

BH=AG=4——a=——a,①如图2,点M在CO上时，②如图3,当"在。C的延长

55

线上时，根据同角的三角函数和三角形相似可解答.

【解答】（1）解：AABP是直角三角形，理由如下：

・・•点O是AB的中点,

/.AO=OB=-AB,

2

・・•OP=-AB,

2

.\OP=OA=OB,

:.NOBP=/OPB,^OAP=ZAPO,

•.・ZOAP+ZAPO+ZOBP+ZBPO=180°,

...ZAPO+ZB尸0=90。，

.\ZAPB=90°,

.•.AABP是直角三角形；

（2）证明：如图1,延长AM,BC交于点、Q,

图1

・・・M是C。的中点，

:.DM=CM,

vZD=ZMCe=90°,ZAMD=/QMC,

AADM=AQCM(ASA),

AD=CQ=BCt

・・・NBPQ=90。,

/.PC=；BQ=BC,

；.NCPB=NCBP,

・.・/OPB=/OBP,

.・.4OBC=Z.OPC=90°,

:,4OPN=ZOPA+ZAPN=骄,

\-ZOAP+ZPAN=90°,ZOAP=ZOPA,

:.ZAPN=ZPAN,

PN=AN、

（3）解：分两种情况：

①如图2,点A/在8上时，过点P作GH//CD,交A£）于G,交BC于H,

XM

AOB

图2

QQ17

设Z)N=x,QG=a,则CH=o+-,BH=AG=4——a=—

555

PG//DM,

12_

;.效=也,即"=Y,

DMADx4

/.PG=-x--ax,

54

・・・NCPQ=90。，

/CPH+NQPG=90°,

・・・NCPH+/PCH=90。,

NQPG=/PCH,

tanZQPG=tanZPCH,即史="，

PGCH

:.PHPG=QGCH,

同理得：ZAPG=NPBH,

即任=生

...tanZAPG=tan/PBH,

PGBH

:.PGPH=AGBH=AG?,

19Q

:.AG2=QGCH,即(?—a)2=〃g+a),

9

ci=—,

10

・・・PGPH=AG2,

..3_2x).(5』+2上旦

540540510

4

解得：X]=12(舍)，x2=—f

4

3

②如图3,当M在。C的延长线上时，同理得：DM=12,

图3

综上，DW的长是9或12.

3

25.