2022年河北省保定市七校高考数学第一次考试试卷（学生版+解析版）

2022年河北省保定市七校高考数学第一次考试试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的．

I.(5分）复数z在复平面内对应的点为(-I,2)，则－=()

A.l+2iB.-1-2iC.l-2iD.2+i

2.(5分）已知集合A=｛入杠2-Sx-6<0},B={xi-4<x<4}，则AnB=()

A.{xi-2<x<3}B.{xi-3<x<2)C.{xl-1<x<4}D.{xl-4<x<l}

3.(5分）圆柱的底面直径与高都等千球的庙径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为

()

A.1:1B.1:2c.2:1D.2:3

4.(5分）已知角a的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点A(-1,3)在角

a的终边上，则sin2a=()

33

B一3D-

A.2_5c.5

1010

5.(5分）已知向谥a=(2,1),lhl＝五万，la-bl=S，则a与b的夹角为（)

A.45°B.60°c.120°D.135°

x2沪

6.(5分）已知F为双曲线C:—-－=l(a>O,b>O)的右焦点，A为双曲线C上一点，

a2b2

直线AF上x轴，与双曲线C的一条渐近线交千B，若IABl=IAF|，则C的离心率e=()

污

4平c一

A..2D.2

15B.早

7.(5分）已知函数f(x)＝入-3+a人?+x+b的图象关于点（l,0)对称，则b=()

A.-3B.-IC.1D.3

8.(5分）在正方体ABCD-A心C1趴中，M为棱BB1的中点，平面A1DM将该正方体分

V1

成两部分，其体积分别为Vl,V2(V飞V2)，则—=()

V2

1-3l-2

A.上Bc.二D

1917

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

（多选）9.(5分）正态分布N(1,o2)的正态密度曲线如图所示，则下列选项中，可以

表示图中阴影部分面积的是（)

元

11

A.--P(X~O)B.--P(X~2)

22

111

C.;P(X宝）-§:P(X~O)D.--P(l~X~2)

22

（多选）10.(5分）已知a、b分别是方程2忤x=O,3x+x=O的两个实数根，则下列选项中

正确的是（)

A.-1<b<,i<OB.-1<a<b<OC.b•3a<a•3bD.a•泸＜忙2”

（多选）11.(5分）在正方体ABCD-A心C1趴中，点M、N分别是棱A心、AB的中点，

则下列选项中正确的是（)

A.MC..lDN

B.A心／／平面MNC

1

c.异面直线MD与NC所成的角的余弦值为－

5

D.平面MNC截正方体所得的截面是五边形

（多选）12.(5分）已知SIl，是数列{an)的前n项和，且Sn+i=-S社I产，则下列选项中正确

的是（)

A.an+an+l=2n-1(n~2)

B.a,,+2-a,,=2

C.若ai=O,则S1<Xi=4950

D.若数列｛彻｝单调递增，则a1的取值范围是（－－，一4'3）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．

13.(5分）已知f(x)是奇函数，且当x>O时，f(x)=-In(ax)．若f(-e2)=2,则

a=

➔

14.(5分）已知向量a=CL-..ft),lb1=3,-a•b=3#,则a与b的夹角为

1

15.(5分）函数f(x)=-xz+－的图象在点(i,.f(l))处的切线的斜率为.

X

16.(5分）若函数y=tan(wx+：)在［一千：］上单调递减，且在[-;,i]上的最大值为乔，

则Q=

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程．

17.ClO分）已知数列{a,I-1)是递增的等比数列，a2=S且a计C14=26.

(1)求数列｛a叶的通项公式；

(2)求数列{na／扦｝的前n项和s,,.

18.(12分）在6.ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知乙BAC=60°,a=2,./3.

(1)若C=45°,求b;

(2)若D为BC的中点，且AD＝甚；，求6ABC的面积．

19.Cl2分）2021年9月3日，教育部召开第五场金秋新闻发布会，会上发布了第八次全国

学生体质与健康调研结果．根据调研结果数据显示，我国大中小学生的健康情况有了明

显改善，学生总体身高水平也有所增加．但同时在超重和肥胖率上，中小学生却有一定

程度上升，大学生整体身体素质也有所下滑．某市为调研本市学生体质情况，采用按性

别分层抽样的方法进行调查，得到体质测试样本的统计数据（单位：人）如表：

优秀良好及格不及格

男生100200780120

女生120200520120

n(ad-bc)

附：K2=

(~)(c+d)(a+c)_(b+d)·

Ip(K幻>Ko／二［二I1000:218/

(I)根据所给数据，完成下面2X2列联表，并据此判断：能否有95％的把握认为该市

学生体质测试是否达标与性别有关．（注：体质测试成绩为优秀、良好或及格则体质达标，

否则不达标）

达标1不达标合计

男生

女生

合计

(lI)体质测试成绩为优秀或良好则称体质侧试成绩为优良，以样本数据中男、女生体

质测试成绩优良的频率视为该市男、女生体质测试成绩优良的概率，在该市学生中随机

选取2名男生，2名女生，设所选4人中体质测试成绩优良人数为X,求X的分布列及数

学期望

20.(12分）如图，AB是圆0的直径，PA..l圆0所在的平面，C为圆周士一点，D为线段

PC的中点．乙CBA=30°,AB=2PA.

(1)证明：平面ABD..l平面PBC.

(2)若G为AD的中点，求二面角P-BC-G的余弦值

p

,

:,5，又

A\!夕'，!--.~B

X2沪

21.(12分）已知椭圆E:—+万=1(a>b>O)的焦距为2c,左、右焦点分别是Fl,F2,

ab

范

其离心率为—，圆F1:(x+c)2＋沪＝1与圆F2:(x-c)2＋沪＝9相交，两圆交点在椭

2

圆E上．

(1)求椭圆E的方程；

(2)设直线l不经过P(0,1)点且与椭圆E相交于A,B两点，若直线PA与直线PB

的斜率之和为－2,证明：直线l过定点．

12

22.(12分）已知函数f(x)=lnx+2,g(x)=~ezx-Irr(a>O).

aa

(1)设函数h(x)=J(x+l)-x-2,求h(x)的最大值；

(2)证明：J(x)~gCx).

2022年河北省保定市七校高考数学第一次考试试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的．

s

1.(5分）复数z在复平面内对应的点为(-1,2)，则一＝()

A.1+2iB.-1-2ic.1-2iD.2+i

【解答】解：？复数z在复平面内对应的点为（－],2),

ss5(-1-2i)5(-1-2i)

.·.-=-==......:.....___=-1-2i,

z-1+2i(-1+2i)(-1-2i)5

故选：B.

2.(5分）已知集合A=｛入忙－Sx-6<0},B={xi-4<x<4}，则AnB=()

A.{xi-2<x<3JB.{xi-3<x<2}C.{xl-l<x<4}D.{xl-4<x<l}

【解答】解：．：奂合A={x臣－5x-6<0)=(xl-l<x<6),

B={xl-4<x<4},

.'.AnB={xl-l<x<4}.

故选：C.

3.(5分）圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为

()

A.1:1B.l:2c.2:1D.2:3

【解答】解：设圆柱的底面直径和高都为2R,

故球的表面积为S球＝4·rr·R气

圆柱的侧面积为S佼o/=2.冗．R·2R=4rrR气

故S球：S时1=1:1.

故选：A.

4.(5分）已知角a的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点A(-l,3)在角

a的终边上，则sin2a=()

33-5

B-3D

A.~5c.

1010

【解答】解：了点A(-l,3)在角a的终边上，.",IOAI=~=切可，

33项-1顶

则sina=~=~cosa=-—=

顶10'丽-—10

3项丽3

sin2a=2sinacosa=2x可x(－可）＝－亏

故选：D.

、

5.(5分）已知向量~=(2,1),lhl＝切飞，I~—b|＝5，则a与b的夹角为（丿

A.45°B.60°C.120°D.135°

【解答】解：根据题意，设a与-b的夹角为0,

向量~=(2,1)，则面＝扛干了＝污，

➔?-➔-;-+.-;-+互

又如a--bl=5,则a:2-2a•b+b2=1s-10~左os8=25,解可得cos8=－—,

2

又由00<0<l80°，则8=135°'

故选：D.

6.(5分）已知F为双曲线C:fi-~=1(a>O,b>O)的右焦点，A为双曲线C上一点，

)

直线AFJ_x轴，与双曲线C的一条渐近线交于B，若IABl=IAF|，则C的离心率e=(

污

4平c一

A.2D.2

15B.孚

b

【解答】解：由题意得F(c,0)，双曲线的渐近线方程为y=-a±::x,

由双曲线的对称性，不妨设A,B均为第一象限点，

22

Cyb2b2

当x=c时，—－—=1,所以IAFI＝一，

a2b2得y＝士了'a

bcbc

当x=c时，y=－，所以IBFI=~,

a-··a

因为IAB|＝囚叮，所以IBF1=21A凡

be2b2

所以一＝一一，得c=2b,

aa

所以a＝寸产－b2={b,

2b2厄

所以双曲线的离心率为e=~=—-=—-，

a范b3

故选：B.

)

7.(5分）已知函数f(x)＝入-3+a2+x+b的图象关于点(l,0)对称，则b=(

A.-3B.-lC.D.3

【解答】解：由函数f(x)=x3+a2+x+b的图象关千点(1,0)对称，

可得fCI+x)+fCl-x)=O，即（l+x)3+a(l+x)2+(l+x)+b+(1-x)3+a(1-x)

2+(1-x)+b=O,

即1+3x+3x2-七J+a＋釭2+2cix+l+x+b+l-3x+3x2--.,\，3+a＋釭2-2ax+1-x+b=O,

化为(6+2心2-+(4+2a+2b)=O,

可得6+2a=O,且4+2a+2b=O,

解得a=-3,b=l,

故选：C.

8.(5分）在正方体ABCD-A1趴C1趴中，M为棱BB1的中点，平面AlDM将该正方体分

V1

成两部分，其体积分别为Vl，粉（V1<V分，则一＝()

V2

11

B一

A.23c.2.D.-2

1917

【解答】解：如图，取BC的中点N,连接MN,ND,B亿，

1

B1C,MN=~B1C,

因为M为棱B趴的中点，所以MN//2

因为A心／1/CD,A心＝CD,

所以匹边形A心CD为平行四边形，

所以趴Cl/A1D,B1C=A1D,

1

所以MN/IA1D,MN=~A21D,

所以梯形MNDA1为平面A1DM所在的截面，

则V1为三棱台BMN-AA心的体积，

不妨设正方体的棱长为2,则正方体的体积为8,

111

因为SllBMN=jX1X1=j,SllAAiD=jX2X2=2,

所以Vi=½cs11BMN+S11AA1D+~)'AB

117

=~3X(~2+2+1)X2=~'3

717

=V1=

所以V28-8-~3=—3'

V17

所以=,

V217

故选：C.

A1D1

I、

、

II、

I、

I、、

I、

B1I、

I、C1

III、

I、、

I、

、

I、

IIIIII

,'、

、

I、

I、

、

I

M、

I、

A,!.____、

-－－－－夕D

、','

/-----

',

/

/

',_

B',

、r

NC

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

（多选）9.(5分）正态分布N(1,正）的正态密度曲线如图所示，则下列选项中，可以

表示图中阴影部分面积的是（)

元

11

A.--P(X~O)B.--P(X~2)

22

111

C.-p(X~2)-;_p(X~O)D.--P(l~X~2)

222

【解答】解：正态分布N(l,。2)的正态密度曲线关干直线x=l对称，

1

对千A,由对称性可得，P(O::;;;x::;;;1)=Pcx::;;;1)-p(X<0)=--P(X<0)，故A

2

正确，

对千B,由对称性可得，P(X~O)=P(X;?::2),

11

故P(O~X~l)=_;:,-P(X:50)=_;:,-P(X2:2)，故B正确，

22

1

对千C,由对称性可得，P(O~X~l)=P(l~X~2),P(O~X~l)=_;:,[P(X:52)-P(X:5

2

0)］，故C正确，

1

对千D，由对称性可得，－-P(l:5X:52)=P(X:50)=P(X2:2)，故D错误．

2

故选：ABC.

（多选）10.(5分）已知a、b分别是方程2x+x=O,3x+x=O的两个实数根，则下列选项中

正确的是（)

A.-l<b<a<OB.-l<a<b<OC.b•3a<a•3bD.a•泸＜忙2a

【解答】解：函数y=2X,y=3X,y=-X在同一坐标系中的图象如下：

Y•y=3工

2工

所以－I<a<b<O,

所以2a<2b,3a<3b,O<-b<-a,

所以－b•守<(-a)•沙，－b•守<(-a)•泸，

所以a•2b<b千，a寸＜忙3气

故选：BD.

（多选）11.(5分）在正方体ABCD-A心C)趴中，点M、N分别是棱A1趴、AB的中点，

则下列选项中正确的是（)

A.MC_l_DN

B.A心／／平面MNC

1

C.异面直线MD与NC所成的角的余弦值为－s

D.平面MNC截正方体所得的截面是五边形

【解答】解：以点D为原点如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2,

则M(I.O,2),C(O,2,O),N(2,1.O),D(O,0,O),A(2,O,O)

-+-+

因为MC=(-1,2,-2),DN=(2,1,0),

.....-

MC·DN=(-2)+2=0,所以MC上DN,故A正确；

.....➔

因为MC=(-1,2,-2),MN=(1,1,-2),

.....

设平面MNC的法向谥为n=(x,y,z),

所以巾戒三＝0,MN·;=O可得{-x+2y-2z=0，所以可取.....n=(2,4,3),

X+y-2z=0

➔

因为AC=-C-2,2,O),AC·-n=-4+8-8=FO,

所以A心不与平面MNC平行，故B错误；

-~-+

因为DM=(LO,2),NC=(-2,LO),

—22

所以cos(DM,NC)==--

尽污5'

2

所以异面直线MD与NC所成的角的余弦值为－，故C错误；

5

连接CN,在D1C1上取靠近D的四等分点为Q，则MQI/CN,

连接CQ，在心h上取靠近小的三等分点为P,则NPIICQ,

所以平面MNC截正方体所得的截面是五边形CQMPN,故D正确，

故选：AD.

、、、、、、

Ai,I;'，',',')Bl-

I、`

,`、

，

卞、

p、

、

、

、＼

、

、，D-

、，一}_-－_

、歹

,、c

、

,、乙­

,^-

,

、_,

,、'-

,夕

N

（多选）l2.（5分）已知S/l是数列｛彻）的前n项和，且S,,+1=-S社1产，则下列选项中正确

的是（)

A.an+an+I=2n-l(n~2)

B.a11+2-a11=2

C.若ai=O，则S1.00=4950

11

D.若数列｛彻｝单调递增，贝加n的取值范围是（－－，一）

4'3

【解答）解：对千A,因为Sn+1=-Sn+n气

当n2::2,Sn=-S九－1+(n-1)气

两式相减得：a11+a,,+1=2n-1Cn袤），所以A正确

对于B,因为a11+a,,+1=2n-I(n?:2),

所以a,,+1+a11+2=2(n+l)-1=2n+l,

两式相减得：an+2-an=2(n?:2)，所以B不正确．

对千C,·;Sn+l=-Sn+n气

令n=l,则S2=-S司，a计a2=-a1+l,

因为al=0，所以a2=l,

令n=2,则S3=-S2+4,a什a2+a3=-a,-a2+4,所以a3=2.

因为a11+2-a11=2Cn?:2),

而a3-a,=2,所以an+2-an=2.

所以｛彻｝奇数项是以al=0为首项，2为公差的等差数列，偶数项是以a2=l为首项，2

为公差的等差数列，

50x49

则：S10o=a,+a2+a3+··-+a99+a100=(a1+a3+-·-+a99)+Ca2+a4+··-+a100)=(50x0+—一一X

2

50x49

2)+(50X1+~X2)=4950,所以C正确．

2

对于D,Sn+l=-Sn+n气

令n=l，则S2=-S1+La,+m=-a1+l,则a2=-2a1+L

又因为a11+1+an+2=2n+l,

令n=l,则a计a3=3,所以a3=3-a2=3-C-2a1+l)=2a1+2,

同理：a4=5-m=5-(2a1+2)=-2a1+3,

as=7-a4=7-C-2a1+3)=2a1+4,

因为数列｛伽）单调递增，所以a,<a2<m<a4<···<a11,

1

解a1<a2得：a1<~,3

1

解a2<a3得：a1>--;-,

4

1

解a3<“得：al<-;-,4

1

解"<a5得：a1>4'

解as<a6得：a1<－4,

11

所以a1的取值范围是（－－4'4)-，所以D不正确

故选：AC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．

13.(5分）已知f(x)是奇函数，且当x>O时，f(x)=-In(ax)．若f(-e2)=2,则

a=_l_.

【解答）解：根据题意，f(x)是奇酌数，且f(飞凸＝2,

则f(e2)=-f(-e2)=-2,

又由当x>O时，．f(x)=-In(ctX)，则有fCe2)=-In(ae2)=-2,

解可得a=l,

故答案为：l.

➔➔亢

14.(5分）已知向谥ci=(L-v?),lb1=3,ci•b=3拓，则a与b的夹角为-.

6

【解答】解：因为~=(1,－石），面＝打下方＝2迈，

又因为lb1=3,a•b=3森，

_

➔

➔

➔a·b_3岳范

所以cos<a,b>=-=-=,

lal·lbl2丘·32

-

--+--+

<a,b>E[O,11],

➔➔亢

所以<ab>

,=6＿,

亢

故答案为：一．

6

1

15.(5分）函数f(x)-X2+－的图象在点(1,f(l)）处的切线的斜率为-3.

=X

11

【解答】解：由f(x)=-xzX+-，得f1(x)=-2x

X-—xZ'

．了(I)=-2XI-I=-3.

1

即函数f(x)=-x2+－的图象在点(1,J(l)）处的切线的斜率为－3.

X

故答案为：-3.

兀亢兀亢

16.(5分）若函数y=tan(wx+互）在［一一，一］上单调递减，且在［一一，一］上的最大值为,/3,

43333

1

则w=－—4.

冗兀亢

【解答】解：因为函数y==tan(wx+7）在［一一，一］上单调递减

433

兀2兀

所以w<O,且T＝—--o-＞—3'

33

解得壶－2,即—2动<O,

亢亢

又因为y=tan（血江）在［一一，一］上的最大值为,fj,,

433

所以tan(－扣＋千＝打，

亢rrrr

即一Q--=－－＋际，kEZ,

343

解得w=-.=;:.+3k,kEZ;

4

所以k=O时，0＝--4·

1

故答案为：——4·

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程．

17.Clo分）已知数列{a,,-1}是递增的等比数列，a2=5且a开“=26.

(1)求数列(an}的通项公式；

(2)求数列{na叶的前n项和s,,.

【解答】解：（I)由于数列{an-I)是递增的等比数列，

所以(a3-1)2=(a2-1)(a4-1);

由千a2=5且a3心＝26,

故｛妇－1）2=4(a4-1)

a3+a4=26

解得｛玛＝9

a4=17

a4一1

整理得公比q=2,

a3-1=

所以a1-l=2,

故a,=3;

所以¾-1=(a1-1)Xzn-l,

整理得知＝2n.＋1;

(2)由(1)得：nan=n.zn+n;

所以Tn=1X2+2X22+3X2忤．．．＋n·2叭＠，

2Tn=1X22+2X23+3X2忤．．．＋n.2n+1,@,

O-＠得：-Tn=(21+2气．．．＋zn)-n.zn+l,

整理得Tn=(n-1)·211+1+2,

n2n

所以Sn=几＋（1+2+...+n)=(n—1)2n+1+-2+—'2+2.

J8.(12分）在丛ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知乙BAC=60°,a=2../3.

(I)若C=45°,求b；

(2)若D为BC的中点，且AD＝岳；，求6.ABC的面积．

【解答】解：（1)因为C=45°,所以sinB=siI1（乙BAC+C)=sin(60°+45°)=si1160°

,fl./../3.1

cos45°+cos60°sin45°=—(—+-)=岳＋，

2224

ab

在丛ABC中，由正弦定理得，=,

sinLBACsinB

asinB2战x吊＋控

所以b=~=－广一＝拓＋J

sinLBAC我

?

(2)在丛ABC中，由余弦定理得，＂2=b2+c2-2bccos乙BAC,

1

所以12=b2+c2-2bc·一，即b2+c2-bc=I2(D,

2

因为D为BC的中点，所以BD=CD=-/3,

BD2+AD2-AB28-c2

在6ABD中，由余弦定理得，cosLADB=

ZxBDxAD=-2平＇

CD~2+AD~2-AC28-b2

在6ACD中，由余弦定理得，cos乙ADC=

ZxCDxAD-2平＇

由cos乙ADB+cos乙ADC=O,得b红2-=16@,

联立0＠可得，bc=4,

11我

所以6.ABC的面积S=~bcsi2n乙BAC=~X4X2—2='13.

A

B

Dc

19.(12分）2021年9月3日，教育部召开第五场金秋新闻发布会，会上发布了第八次全国

学生体质与健康调研结果．根据调研结果数据显示，我国大中小学生的健康情况有了明

显改善，学生总体身高水平也有所增加．但同时在超重和肥胖率上，中小学生却有一定

程度上升，大学生整体身体素质也有所下滑．某市为调研本市学生体质情况，采用按性

别分层抽样的方法进行调查，得到体质测试样本的统计数据（单位：人）如表：

优秀良好及格不及格

男生100200780120

女生120勹—200勹—520120

2

n(ad-bc)

附：炉＝(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)·

P(K诊k-0)0.0500.0100.001

ko3.8416.63510.828

(I)根据所给数据，宪成下面2X2列联表，并据此判断：能否有95％的把握认为该市

学生体质测试是否达标与性别有关（注：体质侧试成绩为优秀、良好或及格则体质达标，

否则不达标）

达标不达标合计

男生

女生

合计

I

(lI)体质测试成绩为优秀或良好则称体质侧试成绩为优良，以样本数据中男、女生体

质测试成绩优良的频率视为该市男、女生体质测试成绩优良的概率，在该市学生中随机

选取2名男生，2名女生，设所选4人中体质测试成绩优良人数为X,求X的分布列及数

学期望．

【解答】解：（/)由题可得，2X2列联表如下：

达标不达标合计

男生10801201200

女生840120960

合计19202402160

2

2160x(1080x120-840x120)

·:炉＝

1920x240x960x1200=3.375<3.841,

:．没有95％的把握认为该市学生体质测试是否达标与性别有关．

100+2001

=-

(II)由题意可得，男生体质测试优良率P1=100+200+780+120-4'

120+2001

女生体质测试优良率历＝120+200+520+120=--3'

X所有可能取值为0,l,2,3,4,

111

P(X=0)=(1)2x(1)2=

--4--3-4'

P(X=1)=Ci(¼)X¾X(1－扩＋（扣XCJ(½)X(1屯＝卢

P(X=3)=（扣x付(½)X(1-½)+C戏）X(1-¼)X（扣＝卉

11

P(X=4)

=(i)24X（扣＝—3144'

P(X=2)=1-P(X=O)-P(X=l)-PCX=3)-P

(X=4)＝旦144'

故X的分布列为：二—-1

XP。l5235-72