概率离散型随机变量及其分布列习题（学生版）

[A组夯基保分专练]一、选择题1．(2022·唐山市摸底考试)随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ<2)＝，P(2<ξ<6)＝，则μ＝()A．6 B．5C．4 D．32．(2022·江西七校第一次联考)如图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内(阴影部分由四条四分之一圆弧围成)的概率是()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(4,π)－1 D．2－eq\f(4,π)3．用1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数，若用a1，a2，a3，a4，a5分别表示五位数的万位、千位、百位、十位、个位，则出现a1<a2<a3>a4>a5特征的五位数的概率为()A．eq\f(1,10) B．eq\f(1,20)C．eq\f(1,24) D．eq\f(3,10)4．(2022·福建省质量检查)某商场通过转动如图所示的质地均匀的6等分的圆盘进行抽奖活动，当指针指向阴影区域时为中奖．规定每位顾客有3次抽奖机会，但中奖1次就停止抽奖．假设每次抽奖相互独立，则顾客中奖的概率是()A．eq\f(4,27) B．eq\f(1,3)C．eq\f(5,9) D．eq\f(19,27)5．(2022·湛江模拟)某人连续投篮5次，其中3次命中，2次未命中，则他第2次和第3次均命中的概率是()A．eq\f(3,10) B．eq\f(2,5)C．eq\f(1,2) D．eq\f(3,5)6．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝，P(X＝4)＜P(X＝6)，则p＝()A． B．C． D．二、填空题7．(2022·东北四市联合体模拟(一))若8件产品中包含6件一等品，从中任取2件，则在已知取出的2件产品中有1件不是一等品的条件下，另1件是一等品的概率为________．8．向圆(x－2)2＋(y－eq\r(3))2＝4内随机投掷一点，则该点落在x轴下方的概率为________．9．某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射满3次为止．设甲每次击中的概率为p(p≠0)，射击次数为η，若η的均值E(η)>eq\f(7,4)，则p的取值范围是________．三、解答题10．(2022·福州市第一学期抽测)某市某超市为了回馈新老顾客，决定在2022年元旦来临之际举行“庆元旦，迎新年”的抽奖派送礼品活动．为设计一套趣味性抽奖送礼品的活动方案，该超市面向该市某高中学生征集活动方案，该中学某班数学兴趣小组提供的方案获得了征用．方案如下：将一个4×4×4的正方体各面均涂上红色，再把它分割成64个相同的小正方体．经过搅拌后，从中任取两个小正方体，记它们的着色面数之和为ξ，记抽奖一次中奖的礼品价值为η.(1)求P(ξ＝3)；(2)凡是元旦当天在该超市购买物品的顾客，均可参加抽奖．记抽取的两个小正方体着色面数之和为6，设为一等奖，获得价值50元的礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为5，设为二等奖，获得价值30元的礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为4，设为三等奖，获得价值10元的礼品，其他情况不获奖．求某顾客抽奖一次获得的礼品价值的分布列与数学期望．.11．(2022·广州市调研测试)某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20，40)内的产品视为合格品，否则为不合格品，图1是设备改造前样本的频率分布直方图，表1是设备改造后样本的频数分布表．图1：设备改造前样本的频率分布直方图表1：设备改造后样本的频数分布表质量指标值[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40)[40，45)频数2184814162(1)请估计该企业在设备改造前的产品质量指标的平均值；(2)该企业将不合格品全部销毁后，对合格品进行等级细分，质量指标值落在[25，30)内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在[20，25)或[30，35)内的定为二等品，每件售价180元；其他的合格品定为三等品，每件售价120元．根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率．现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望．12．(2022·高考全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0＜p＜1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0.(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值，已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．(ⅰ)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；(ⅱ)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？．[B组大题增分专练]1．(2022·广州市综合检测(一))为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位(一套住宅为一户)．阶梯级别第一阶梯第二阶梯第三阶梯月用电范围/度[0，210](210，400](400，＋∞)某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下：居民用电户编号12345678910用电量/度538690124132200215225300410(1)若规定第一阶梯电价每度元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度元，第三阶梯超出第二阶梯的部分每度元，试计算某居民用电户用电410度时应交电费多少元？(2)现要从这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望．(3)以表中抽到的10户作为样本估计全市居民用电，现从全市中依次抽取10户，若抽到k户用电量为第一阶梯的可能性最大，求k的值．2．(2022·高考北京卷)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：支付金额(元)支付方式(0，1000](1000，2000]大于2000仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1人(1)从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；(2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．3．(2022·昆明市质量检测)某地区为贯彻习近平总书记关于“绿水青山就是金山银山”的理念，鼓励农户利用荒坡种植果树．某农户考察三种不同的果树苗A，B，C，经引种试验后发现，引种树苗A的自然成活率为，引种树苗B，C的自然成活率均为p≤p≤．(1)任取树苗A，B，C各一棵，估计自然成活的棵数为X，求X的分布列及数学期望E(X)；(2)将(1)中的E(X)取得最大值时p的值作为B种树苗自然成活的概率．该农户决定引种n棵B种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为，其余的树苗不能成活．①求一棵B种树苗最终成活的概率；②若每棵树苗最终成活后可获利300元，不成活的每棵树苗亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种B种树苗多少棵？4．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ，σ2)．(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性；(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：经计算得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,16)eq\o(∑,\s\up12(16),\s\do4(i＝1))xi＝，s＝eq\r(\f(1,16)\o(∑,\s\up12(16),\s\do4(i＝1))(xi－\o(x,\s\up6(－)))2)＝eq\r(\f(1,16)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(∑,\s\up6(16),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－16\o(x,\s\up6(－))2)))≈，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1，2，…，16.用样本平均数eq\o(x,\s\up6(－))作为μ的估计值eq\o(μ,\s\up6(^))，用样本标