2022-2023学年广东省汕头市成考专升本高等数学一自考真题(含答案)

2022-2023学年广东省汕头市成考专升本高等数学一自考真题(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.设D={(x，y){|x2+y2≤a2，a＞0,y≥0)，在极坐标下二重积分(x2+y2)dxdy可以表示为()A.∫0πdθ∫0ar2dr

B.∫0πdθ∫0ar3dr

C.D.

2.设f(x)=1-cos2x，g(x)=x2，则当x→0时，比较无穷小量f(x)与g(x)，有

A.f(x)对于g(x)是高阶的无穷小量

B.f(x)对于g(x)是低阶的无穷小量

C.f(x)与g(x)为同阶无穷小量，但非等价无穷小量

D.f(x)与g(x)为等价无穷小量

3.

4.设函数z=sin(xy2)，则等于()。A.cos(xy2)

B.xy2cos(xy2)

C.2xyeos(xy2)

D.y2cos(xy2)

5.A.A.3yx3y-1

B.yx3y-1

C.x3ylnx

D.3x3ylnx

6.如图所示，在半径为R的铁环上套一小环M，杆AB穿过小环M并匀速绕A点转动，已知转角φ=ωt(其中ω为一常数，φ的单位为rad，t的单位为s)，开始时AB杆处于水平位置，则当小环M运动到图示位置时(以MO为坐标原点，小环Md运动方程为正方向建立自然坐标轴)，下面说法不正确的一项是()。

A.小环M的运动方程为s=2Rωt

B.小环M的速度为

C.小环M的切向加速度为0

D.小环M的法向加速度为2Rω2

7.设z=ysinx，则等于()．A.A.-cosxB.-ycosxC.cosxD.ycosx8.微分方程y"-y=ex的一个特解应具有的形式为(下列各式中α、b为常数)。A.aex

B.axex

C.aex+bx

D.axex+bx

9.级数(k为非零正常数)()．A.A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性与k有关

10.

11.

A.sinx+C

B.cosx+C

C.-sinx+C

D.-COSx+C

12.A.0或1B.0或-1C.0或2D.1或-1

13.平衡物体发生自锁现象的条件为()。

A.0≤α≤φ

B.0≤φ≤α

C.0<α<90。

D.0<φ<90。

14.A.1-cosxB.1+cosxC.2-cosxD.2+cosx

15.下列命题不正确的是()。

A.两个无穷大量之和仍为无穷大量

B.上万个无穷小量之和仍为无穷小量

C.两个无穷大量之积仍为无穷大量

D.两个有界变量之和仍为有界变量

16.A.A.2

B.

C.1

D.－2

17.下列命题中正确的有（）．A.A.

B.

C.

D.

18.（）。A.0

B.1

C.2

D.＋∞

19.A.A.sinx+sin2B.-sinx+sin2C.sinxD.-sinx20.A.A.

B.

C.

D.

二、填空题(20题)21.

22.设y=(1+x2)arctanx，则y=________。

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.如果函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f(b)-f(a)=________。

32.

33.

34.设z=x2y+siny，=________。

35.

36.37.已知当x→0时，-1与x2是等价无穷小，则a=________。

38.

39.设z=sin(x2y)，则=________。

40.

三、计算题(20题)41.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

42.求微分方程的通解．43.44.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．45.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．46.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．47.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．48.证明：49.

50.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

51.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则52.53.求曲线在点(1，3)处的切线方程．54.

55.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．56.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

57.

58.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．

59.

60.

四、解答题(10题)61.

62.证明：在区间(0，1)内有唯一实根．

63.将f(x)=e-2x展开为x的幂级数．

64.

65.

66.设函数f(x)=ax3＋bx2＋cx＋d，问常数a，b，c满足什么关系时，f(x)分别没有极值、可能有一个极值、可能有两个极值?

67.求二元函数z=x2-xy+y2+x+y的极值。

68.

69.

70.

五、高等数学(0题)71.

=()。

A.0B.1C.2D.4六、解答题(0题)72.

参考答案

1.B因为D：x2+y2≤a2，a＞0，y≥0，令则有r2≤a2，0≤r≤a，0≤θ≤π，所以(x2+y2)dxdy=∫0πdθ∫0ar2.rdr=∫0πdθ∫0ar3.rdr故选B。

2.C

3.C

4.D本题考查的知识点为偏导数的运算。由z=sin(xy2)，知可知应选D。

5.D

6.D

7.C本题考查的知识点为高阶偏导数．

由于z=ysinx，因此

可知应选C．

8.B方程y"-y=0的特征方程是r2-1=0，特征根为r1=1，r2=-1。

方程y"-y=ex中自由项f1(x)=ex，α=1是特征单根，故应设定y*=αxex，因此选B。

9.A本题考查的知识点为无穷级数的收敛性．

由于收敛，可知所给级数绝对收敛．

10.C

11.A

12.A

13.A

14.D

15.A∵f(x)→∞；g(x)→∞∴f(x)+g(x)是不定型，不一定是无穷大。

16.C本题考查的知识点为函数连续性的概念．

17.B本题考查的知识点为级数的性质．

可知应选B．通常可以将其作为判定级数发散的充分条件使用．

18.B

19.D

20.C本题考查的知识点为复合函数求导．

可知应选C．

21.坐标原点坐标原点22.因为y=(1+x2)arctanx，所以y"=2xarctanx+(1+x2)。=2xarctanx+1。

23.π/824.±1．

本题考查的知识点为判定函数的间断点．

25.

26.

解析：

27.

28.3e3x3e3x

解析：

29.y=x3+1

30.y-2=3(x-1)(或写为y=3x-1)y-2=3(x-1)(或写为y=3x-1)解析：

31.f"(ξ)(b-a)由题目条件可知函数f(x)在[a，b]上满足拉格朗日中值定理的条件，因此必定存在一点ξ∈(a，b)，使f(b)-f(a)=f"(ξ)(b-a)。32.本题考查的知识点为偏导数的运算。由于z=x2+3xy+2y2-y，可得

33.

解析：34.由于z=x2y+siny，可知。

35.

36.37.当x→0时，-1与x2等价，应满足所以当a=2时是等价的。

38.x=2x=2解析：39.设u=x2y，则z=sinu，因此=cosu.x2=x2cos(x2y)。

40.

41.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

42.

43.

44.

列表：

说明

45.由二重积分物理意义知

46.

47.

48.

49.

50.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

51.由等价无穷小量的定义可知

52.

53.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

54.

则

55.函数的定义域为

注意

56.

57.

58.

59.

60.由一阶线性微分方程通解公式有