高中数学同步练习 用样本估计总体

10-2用样本估计总体基础巩固强化1.(2011·重庆文，4)从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下(单位：克)：12512012210513011411695120134则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为()A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5[答案]C[解析]在10个测出的数值中，有4个数据落在[114.5，124.5)内，它们是：120、122、116、120，故频率P＝eq\f(4,10)＝0.4，选C.2．(2012·陕西理，6)从甲、乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)．设甲乙两组数据的平均数分别为eq\o(x,\s\up6(－))甲，eq\o(x,\s\up6(－))乙，中位数分别为m甲，m乙，则()A.eq\o(x,\s\up6(－))甲<eq\o(x,\s\up6(－))乙，m甲>m乙 B.eq\o(x,\s\up6(－))甲<eq\o(x,\s\up6(－))乙，m甲<m乙C.eq\o(x,\s\up6(－))甲>eq\o(x,\s\up6(－))乙，m甲>m乙 D.eq\o(x,\s\up6(－))甲>eq\o(x,\s\up6(－))乙，m甲<m乙[答案]B[解析]从茎叶图中知，甲：5,6,8,10,10,14,18,18,22,25,27,30,30,38,41,43；乙：10,12,18,20,22,23,23,27,31,32,34,34,38,42,43,48.eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(345,16)，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(457,16)，m甲＝eq\f(18＋22,2)＝20，m乙＝eq\f(27＋31,2)＝29.故选B.3．(文)(2011·安徽江南十校联考)已知一组正数x1，x2，x3，x4的方差为s2＝eq\f(1,4)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋xeq\o\al(2,3)＋xeq\o\al(2,4)－16)，则数据x1＋2，x2＋2，x3＋2，x4＋2的平均数为()A．2 B．3C．4 D．6[答案]C[解析]设x1，x2，x3，x4的平均值为eq\o(x,\s\up6(－))，则s2＝eq\f(1,4)[(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x3－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x4－eq\o(x,\s\up6(－)))2]＝eq\f(1,4)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋xeq\o\al(2,3)＋xeq\o\al(2,4)－4eq\o(x,\s\up6(－))2)，∴4eq\o(x,\s\up6(－))2＝16，∴eq\o(x,\s\up6(－))＝2，eq\o(x,\s\up6(－))＝－2(舍)，∴x1＋2，x2＋2，x3＋2，x4＋2的平均数为4，故选C.(理)(2011·海南五校联考)一个容量为10的样本数据，组成一个公差不为0的等差数列{an}，若a3＝8，且a1、a3、a7成等比数列，则此样本数据的平均数和中位数分别是()A．13,13 B．13,12C．12,13 D．13,14[答案]A[解析]设等差数列{an}的公差为d，因为a1a7＝aeq\o\al(2,3)，所以(8－2d)(8＋4d)＝82，又d≠0，∴d＝2，易得这10个数据为4,6,8,10,12,14,16,18,20,22，计算得其平均数为13，中位数为eq\f(12＋14,2)＝13.4．下表是某班50名学生综合能力测试的成绩分布表：分数12345人数51010205则该班成绩的方差为()A.eq\f(\r(34),5) B．1.36C．2 D．4[答案]B[解析]平均成绩eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,50)[1×5＋2×10＋3×10＋4×20＋5×5]＝3.2，方差s2＝eq\f(1,50)[5×(1－3.2)2＋10×(2－3.2)2＋10×(3－3.2)2＋20×(4－3.2)2＋5×(5－3.2)2]＝1.36.5．(2011·济宁模拟)为了解一片大约一万株树木的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长(单位：cm)．根据所得数据画出的样本频率分布直方图如图，那么在这片树木中，底部周长小于110cm的株数大约是()A．3000 B．6000C．7000 D．8000[答案]C[解析]∵底部周长小于110cm的频率为(0.01＋0.02＋0.04)×10＝0.7，∴1万株中底部小于110cm的株数为0.7×10000＝7000.[点评]用样本的频率作为总体频率的估计值．6．(文)(2012·四川文，3)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12、21、25、43，则这四个社区驾驶员的总人数N为()A．101 B．808C．1212 D．2012[答案]B[解析]由题意知，eq\f(96,N)＝eq\f(12,12＋21＋25＋43).解得N＝808.(理)(2012·青岛市模拟)一个样本容量为9的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{an}，若a3＝8，且a1、a3、a7成等比数列，则此样本的中位数是()A．12 B．13C．14 D．15[答案]A[解析]设等差数列的公差为d，据题意得aeq\o\al(2,3)＝a1a7，∴82＝(8－2d)(8＋4d)(d≠0)，解得d＝2，∴an＝a3＋(n－3)d＝8＋2(n－3)＝2n＋2，数列为单位递增的数列，且样本容量为9，故其中位数为a5＝2×5＋2＝12.7．(2012·乌鲁木齐三诊)为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试．对200名学生测试所得数据作出频率分布直方图如图所示，若次数在110以上(含110次)为达标，则从图中可以看出高一学生的达标率是________．[答案]80%[解析]次数在110以上(含110次)的频率之和为(0.04＋0.03＋0.01)×10＝0.8，则高一学生的达标率为0.8×100%＝80%.8．(文)将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图，若第一组至第六组数据的频率之比为2:3:4:6:4:1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于________．[答案]60[解析]由条件知，eq\f(2＋3＋4,2＋3＋4＋6＋4＋1)×n＝27，解得n＝60.(理)容量为100的样本分为10组，若前7组频率之和为0.79，而剩下三组的频数成等比数列，且其公比不为1，则剩下的三组频数最大的一组的频率是________．[答案]0.16或0.12[解析]后三组频数和为100(1－0.79)＝21，设这三组频数依次为a、ap、ap2(a、p∈N*且p>1)，由题意设得，a＋ap＋ap2＝21，∵p>1，∴1＋p＋p2是21的大于3的约数，∴1＋p＋p2＝21或1＋p＋p2＝7，得p＝4或p＝2.当p＝4时，频数最大值为16，频率为0.16；当p＝2时，频数最大值为12，频率为0.12.9．(2012·山西省高考联合模拟)某校高中一年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示(如图)．S1、S2分别表示甲、乙两班各自5名学生学分的标准差，则S1________S2.(填“>”、“<”或“＝”)[答案]<[解析]eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,5)(8＋11＋14＋15＋22)＝14，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,5)(6＋7＋10＋24＋28)＝15，Seq\o\al(2,1)＝eq\f(1,5)[(8－14)2＋(11－14)2＋(14－14)2＋(15－14)2＋(22－14)2]＝22，Seq\o\al(2,2)＝eq\f(1,5)[(6－15)2＋(7－15)2＋(10－15)2＋(24－15)2＋(28－15)2]＝84，∴S1＝eq\r(22)，S2＝2eq\r(21)，∴S1<S2.[点评]甲组数据较集中，乙组数据较分散，故S1>S2.10．(2012·石家庄市二模)我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理(即确定一个居民月均用水量标准，用水量不超过a的部分按照平价收费，超过a的部分按照议价收费)．为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了100位居民某年的月均用水量(单位：t)，制作了频率分布直方图．(1)由于某种原因频率分布直方图部分数据丢失，请在图中将其补充完整；(2)用样本估计总体，如果希望80%的居民每月的用水量不超过标准，则月均用水量的最低标准定为多少吨？并说明理由；(3)从频率分布直方图中估计该100位居民月均用水量的平均数．(同一组中的数据用该区间的中点值代表)[解析](1)(2)月均用水量的最低标准应定为2.5t.样本中月均用水量不低于2.5t的居民有20位，占样本总体的20%，由样本估计总体，要保证80%的居民每月的用水量不超出标准，月均用水量的最低标准应定为2.5t.(3)这100位居民的月均用水量的平均数为0．5×(eq\f(1,4)×0.10＋eq\f(3,4)×0.20＋eq\f(5,4)×0.30＋eq\f(7,4)×0.40＋eq\f(9,4)×0.60＋eq\f(11,4)×0.30＋eq\f(13,4)×0.10)＝1.875(t).能力拓展提升11.(2011·厦门质检)某工厂对一批产品进行了抽样检测，下图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品个数是()A．90 B．75C．60 D．45[答案]A[解析]产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.300，设样本容量为n，则eq\f(36,n)＝0.300，所以n＝120，净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.75＝90.12．(2012·广东佛山市质检)随机抽取某花场甲、乙两种计划在植树节期间移种的树苗各10株，测量它们的高度(单位：cm)，获得高度数据的茎叶图如图，则下列关于甲、乙两种各10株树苗高度的结论正确的是()A.甲种树苗高度的方差较大B．甲种树苗高度的平均值较大C．甲种树苗高度的中位数较大D．甲种树苗高度在175以上的株数较多[答案]A[解析]甲种树苗高度的平均值为eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋182,10)＝170，甲种树苗高度的方差为Seq\o\al(2,甲)＝eq\f(122＋82＋72＋22＋22＋02＋12＋92＋92＋122,10)＝57.2；乙种树苗高度的平均值为eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(159＋162＋165＋168＋170＋173＋176＋178＋179＋181,10)＝171.1，乙种树苗高度的方差为Seq\o\al(2,乙)＝eq\f(12.12＋9.12＋6.12＋3.12＋1.12＋1.92＋4.92＋6.92＋7.92＋9.92,10)＝51.29.故甲种树苗高度的方差较大，平均值较小，中位数较小，高度在175以上的株数较少．故选A.13．(文)(2012·温州适应性测试)如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数之和是________．[答案]48[解析]依题意，甲、乙两组数据的中位数分别是22、26，因此甲、乙两组数据的中位数之和是22＋26＝48.(理)(2011·浙江五校联考)为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校200名授课教师中抽取20名教师，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如图，据此可估计该校上学期200名教师中，使用多媒体进行教学的次数在[15,25)内的人数为________．[答案]60[解析]由茎叶图知，抽取的20名教师中使用多媒体进行教学的次数在[15,25)内的人数为6，频率为eq\f(6,20)，故200名教师中使用多媒体进行教学的次数在[15,25)内的人数为eq\f(6,20)×200＝60.14．(文)(2011·温州月考)某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如图所示，现规定不低于70分为合格，则合格人数是________．[答案]600[解析]1000×[(0.035＋0.015＋0.01)×10]＝600.(理)(2011·浙江文，13)某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图推测这3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________．[答案]600[解析]成绩小于60分的学生频率为：(0.002＋0.006＋0.012)×10＝0.2故3000名学生中成绩小于60分的学生数为：3000×0.2＝600.15．某学校为了了解学生的日平均睡眠时间(单位：h)，随机选择了n名同学进行调查．下表是这n名同学的日睡眠时间的频率分布表.序号(i)分组(睡眠时间)频数(人数)频率1[4,5)60.122[5,6)0.203[6,7)a4[7,8)b5[8,9)0.08(1)求n的值．若a＝20，将表中数据补全，并画出频率分布直方图．(2)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间[4,5)的中点值是4.5)作为代表．若据此计算的上述数据的平均值为6.52，求a、b的值，并由此估计该学校学生的日平均睡眠时间在7小时以上的概率．[解析](1)由频率分布表可得n＝eq\f(6,0.12)＝50.补全数据如下表序号(i)分组(睡眠时间)频数(人数)频率1[4,5)60.122[5,6)100.203[6,7)200.404[7,8)100.205[8,9)40.08频率分布直方图如下：(2)由题意知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,50)6×4.5＋10×5.5＋a×6.5＋b×7.5＋4×8.5＝6.52,6＋10＋a＋b＋4＝50))解得a＝15，b＝15设“该学校学生的日平均睡眠时间在7小时以上”为事件A，则P(A)≈eq\f(15＋4,50)＝0.38答：该学校学生的日平均睡眠时间在7小时以上的概率约为0.38.16．(文)某校高三(1)班共有40名学生，他们每天自主学习的时间全部在180min到330min之间，按他们学习时间的长短分5个组统计得到如下频率分布表：分组频数频率[180,210)40.1[210,240)8s[240,270)120.3[280,300)100.25[300,300]nt(1)求分布表中s、t的值；(2)某兴趣小组为研究每天自主学习的时间与学习成绩的相关性，需要在这40名学生中按时间用分层抽样的方法抽取20名学生进行研究，问应抽取多少名第一组的学生？(3)已知第一组的学生中男、女生均为2人，在(2)的条件下抽取第一组的学生，求既有男生又有女生被抽中的概率．[解析](1)s＝eq\f(8,40)＝0.2，t＝1－0.1－s－0.3－0.25＝0.15.(2)设应抽取x名第一组的学生，则eq\f(x,4)＝eq\f(20,40)，得x＝2.故应抽取2名第一组的学生．(3)在(2)的条件下应抽取2名第一组的学生．记第一组中2名男生为a1，a2,2名女生为b1，b2，按时间用分层抽样的方法抽取2名第一组的学生共有6种等可能的结果，列举如下：a1a2，a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，b1b2其中既有男生又有女生被抽中的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，共4种结果，所以既有男生又有女生被抽中的概率为P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).(理)为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：(1)估计该校男生的人数；(2)估计该校学生身高在170～185cm之间的概率；(3)从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190cm之间的概率．[解析](1)样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400.(2)由统计图知，样本中身高在170～185cm之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35人，样本容量为70，所以样本中学生身高在170～185cm之间的频率f＝eq\f(35,70)＝0.5，故由f估计该校学生身高在170～185cm之间的概率p1＝0.5.(3)样本中身高在180～185cm之间的男生有4人，设其编号为①，②，③，④，样本中身高在185～190cm之间的男生有2人，设其编号为⑤，⑥，从上述6人中任取2人的树状图为：故从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15，至少有1人身高在185～190cm之间的可能结果数为9，因此，所求概率p2＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5).1．(2011·广州调研)甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是()甲乙丙丁平均环数eq\o(x,\s\up6(－))8.68.98.98.2方差s23.53.52.15.6A.甲 B．乙C．丙 D．丁[答案]C[解析]由表可知，乙、丙的平均成绩最好，平均环数为8.9；但乙的方差大，说明乙的波动性大，所以丙为最佳人选，故选C.2．(2012·山东文，4)在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是()A．众数 B．平均数C．中位数 D．标准差[答案]D[解析]A的众数88，B的众数为88＋2＝90.“各样本都加2”后，平均数显然不同．A的中位数eq\f(86＋86,2)＝86，B的中位数eq\f(88＋88,2)＝88，而由标准差公式S＝eq\r(\f(1,n)[x1－\o(x,\s\up6(－))2＋x2－\o(x,\s\up6(－))2＋…＋xn－\o(x,\s\up6(－))2])知D正确．3．(2012·洛阳市模拟)从某女子跳远运动员的多次测试中，随机抽取20次成绩作为样本，按各次的成绩(单位：cm)分成五组，第一组[490,495)，第二组[495,500)，第三组[500,505)，第四组[505,510)，第五组[510,515]，相应的样本频率分布直方图如图所示．(1)样本落入第三组[500,505)的频数是多少？(2)现从第二组和第五组的所有数据中任意抽取两个，分别记为m、n，求事件“|m－n|≤5”[解析](1)由频率分布直方图可知，样本落入[500,505)的频率是1－(0.01＋0.02＋0.04＋0.03)×5＝0.5，所以，样本落入[500,505)的频数是0.5×20＝10.(2)第二组中有0.02×5×20＝2个数据，记为a、b；第五组中有0.03×5×20＝3个数据，记为A、B、C.则{m，n}的所有可能结果为{a，b}，{a，A}，{a，B}，{a，C}，{b，A}，{b，B}，{b，C}，{A，B}，{A，C}，{B，C}，共10种．其中使|m－n|≤5成立的有{a，b}，{A，B}，{A，C}，{B，C}，共4种．所以事件“|m－n|≤5”的概率为P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).4．从某校高三年级800名学生中随机抽取50名测量身高，据测量被抽取的学生的身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，……，第八组[190.195]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)根据已知条件填写下列表格：组别一二三四五六七八样本数(2)试估计这所学校高三年级800名学生中身高在180cm以上(含180cm)的人数为多少；(3)在样本中，若第二组有1名男生，其余为女生，第七组有1名女生，其余为男生，在第二组和第七组中各