高等数学练习题(附答案)汇编

高等数学练习题(附答案)汇编《高等数学》专业年级学号姓名一、判断题.将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分）（

）1.收敛的数列必有界.（

）2.无穷大量与有界量之积是无穷大量.（

）3.闭区间上的间断函数必无界.（

）4.单调函数的导函数也是单调函数.（

）5.若f(x)f(x)在x0x0​∣​f(x)​∣∣​也在x0x0​（

）6.若连续函数y=f(x)y=f(x)在x0x0​点不可导，则曲线y=f(（

）7.若f(x)f(x)在[a,ba,b]上可积，则f（

）8.若z=f(x,y)z=f(x,y)在（x0,y0x0​,y0（

）9.微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解.（

）10.设偶函数f(x)f(x)在区间(11)(−1,​1​)内具有二阶导数，且,则二、填空题.（每题2分，共20分）1.设f(x1)=x22.若f(x)=21x121x+3.设单调可微函数f(x)f(x)的反函数为4.设u=xy+xy5.曲线x2=6yy3x2=6y−y3在(2,6.设f(x7.若0f(x)t2d8.f(x​在[0,4]上的最大值为.9.广义积分∫0+∞e2x10.设D为圆形区域x2+y2≤​dxdy=.三、计算题（每题5分，共40分）1.计算n→∞(1n2+1(n+12.求y=(x+1)(3.求不定积分∫1x(1​1​dx.4.计算定积分∫0πsin⁡3x​dx.5.求函数f(x,y)=6.设平面区域D是由y=x​,y=x围成，计算∬Dsin⁡yydx7.计算由曲线xy=​x围成的平面图形在第一象限的面积.8.求微分方程的通解.四、证明题（每题10分，共20分）1.证明：arc​x​

(∞<x<2.设f(x)f(x)在闭区间[a,F(x)=0xf证明：方程F(x)=0《高等数学》参考答案一、判断题.将√或×填入相应的括号内（每题2分，共20分）1.√；2.×；3.×；4.×；5.×；6.×；7.×；8.×；9.√；10.√.二、填空题.（每题2分，共20分）1.x2+4x+4x2+4x+45.

2/3；

6.1；

7.

363336​；

8.

8；

9.

1/2；

10.

0.三、计算题（每题5分，共40分）1.解：因为

n+1(2n)2(2n)2n+1​<1n2+1且

n→∞n+1(2n)2=0由迫敛性定理知：n→∞(1n2+1(n+12.解：先求对数lny=l1x+1+2x+2+3.解：原式=2∫11x​1​dx​=2∫11(​)2​1​dx​=2arcsinx+​+c4.解：原式=∫0πsin⁡​dx=0π2cos⁡xsin⁡32xdx∫02π​​=0π2sin⁡32xdsin⁡x∫02π​​sin23=25[sin52x]0π252​[sin25​=4/55.解：

故

{x=0y=0当

{x=0∵Δ=(8)×(2)22∴∴

（0，0）为极大值点且f(当

{x=2∵Δ=4×(2)226.解：D={(x∣​0≤y≤1,y2≤x≤y​​}∴∬Dsin⁡yydxdy=01dyy2ysin⁡y=01(sin=[cosy]01+0=1cos1+[ycosy=1sin117.解：令u=xyu=xy，v=yxv=xy​；则​J=∣∣​xu​yu​​xv​yv​​​∣∣​=∣∣​2uv​1​2u​v​​​−2vv​u​​v​u​​​​∣∣​=2v1​∴∴A=Ddσ=12​​2v1​dv=ln3​8.解：令

y2=由微分公式知：u=y2=e=e2x(∫=e2x(2四.证明题（每题10分，共20分）1.解：设

f(x)=​x​

=0

∞<x<令x=0x=0

∵f(0)2.解：

∵F(且

F(a)=∫ba1f(t故方程F(x)=0又

∵f

即

F(x)F(x)在区间∴∴F(x)F(x)在区间《高等数学》专业学号姓名一、判断题（对的打√，错的打×；每题22分，共1010分）1.f(x)f(x)在点x0x0​处有定义是f(x2.若y=f(x)y=f(x)在点x0x0​不可导，则曲线y=f(3.若f(x)f(x)在[a,b][a,b]上可积，g(x)g(x)4.方程xyz=0xyz=05.设y∗y∗是一阶线性非齐次微分方程的一个特解，yyˉ​y=y+y∗二、填空题（每题22分，共2020分）1.设f(3​,f(a)=5,则a=a=2.设f(x)=ln(1+2x)3.设f(x)=t→4.已知f(x)f(x)在x=ax=a处可导，且，则h→0f(a5.若2f(x)cosx=dd6.若f(x),g(x)f(x),g(x)在点则f(x)f(x)与g(x)g(x)7.若y=sinx2y=sinx2，则dyd(x28.设f(x)=9.设z=ex2y∣​(1,1)​​=

.10.累次积分0Rdx0R2​​f(x2−y2)dy化为极坐标下的累次积分为.三、计算题（前66题每题55分，后两题每题66分，共4242分）1.x→00sin⁡x(1+t)1tdt0xtsin​，求;

3.∫sin⁡xcos⁡x4.02x24x2​dx;

5.设z=x​x​,求∂z∂y,∂2z∂x∂y∂y∂6.求由方程2yx=(xy)ln(xy)2y7.设平面区域DD是由y=x​,y=x围成，计算∬Dsin⁡yydx8.求方程ylnydx+(x∣​x=1​​=e下的特解.四、（77分）已知f(x)=x3+ax2+bxf(x)=x3+ax2+bx在五、应用题（每题77分，共1414分）1.一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比.已知当速度为10(km/h)10(km/h)时，燃料费为每小时66元，而其它与速度无关的费用为每小时2.过点(1,0)(1,0)向曲线y​作切线，求：（1）切线与曲线所围成图形的面积；（2）图形绕yy轴旋转所得旋转体的体积.六、证明题（77分）设函数f(x)f(x)在0≤x<a0≤x<a上的二阶导数存在，且f(0)=高等数学参考答案一、判断题

1.√；

2.×；

3.√；

4.×；

5.√.二、填空题1.36；

2.2332​；

3.4(1+x)e2x4(1+x)e2x；

4.5A7.cosx2,2xcosx2cosx2,2xcosx2；8.ln2ln2；

9.2d三、计算题1.原式=x→0(1+sin⁡=e1=2.=e2x12e2x⋅2e=11e23．原式=∫sin⁡xcos⁡=∫1(si=1sin⁡4．设x=2sint原式=0π24sin⁡2t=160π2sin=40π2sin⁡2=2(t14sin4t∣​02π​​=π5．∂z∂y=x⋅2y2x2​2y​​=−(x2+y2)23​xy​∂2z∂x∂y=y(x2+y2)32xy⋅=(2x2​​6．两边同时微分得：2dydx=(dxdy)ln(x即2dydx=ln(xy)故dy=2+ln(（本题求出导数后，用解出结果也可）7．Dsin⁡yydxdy=01d=01(si=cosy∣01+∣​01​+ycosy​∣∣​01​−∫01​cosydy=1cos1+cos1siny∣​01​=1sin18．原方程可化为dxdy+1y通解为x=e∫1yln⁡ydy[=elnlny[=1ln⁡y[∫1ylnyd=12lnyy∣x=1∣​x=1​=e代入通解得C=故所求特解为：(lny四、解：因为f(x)f(x)在x=1x=1处有极值2−故又f(1)解得：a=0,于是f(x)由得x=±0","styleStr":"width:109px;height:21px;"}]'class='enhanced-wkformula'>，在x=1x=1处有极小值f(，在x=1x=−1处有极大值f(五、1.解：设船速为x(km/h)y=1x又x=10x=10时，k⋅103=y=1x(0.006x令，得驻点x=由极值第一充分条件检验得x=20x=20是极小值点.由于在(0,+∞)(0,+∞)上该函数处处可导，且只有唯一的极值点，当它为极小值点时必为最小值点，所以求得船速为20(km/h2.解：（1）设切线与抛物线交点为(x0,y0)(x0​,y0​)，则切线的斜率为又因为y2=x2y2=x−2上的切线斜率满足，在(x0所以2y0⋅y0x01=又因为(x0,y0)(x0​,y0​)满足y{2y02=x01y02=x02{2y02​=x0所以切线方程为y=12(x则所围成图形的面积为：S=01[2+（2）图形绕xx轴旋转所得旋转体的体积为：V=π0114(x1)2dxπ六、证：在[0,x][0,x]上，对f(代入上式得由假设0","styleStr":"width:81px;height:21px;"}]'class='enhanced-wkformula'>知为增函数，又x>ξx>ξ，则于是0","styleStr":"width:135px;height:21px;"}]'class='enhanced-wkformula'>,从而0","styleStr":"width:97px;height:43px;"}]'class='enhanced-wkformula'>，故f(x)xxf(x)​在《高等数学》试卷专业学号姓名一、填空题（每小题1分，共10分）1．函数y=arcsin1x​+1−x2​1​的定义域为_______________。2．函数y=x+e3．设f(x)f(x)在x0x0​可导且，则h→0f(x0+2h4．设曲线过(0,1)(0,1)，且其上任意点(x,y5．∫x1x4dx∫1−６．x→∞xsin1xx→∞lim7．设f(x,y)=sinxy8．累次积分0Rdx0R2​​f(x2+y2)dy化为极坐标下的累次积分为________。9．微分方程d3ydx3+3x(d10．设级数∑n=1∞ann=1∑∞​an​发散，则级数∑二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内，（1～10每小题1分，11～17每小题2分，共24分）1．设函数f(x)=1x,g(①11x1−x1​②1+1x1+x1​③12．x→0x→0时，xsin1①无穷大量②无穷小量③有界变量④无界变量3．下列说法正确的是（）①若f(x)f(x)在x=x0x=x0​连续，则f②若f(x)f(x)在x=x0x=x0​不可导，则f③若f(x)f(x)在x=x0x=x0​不可微，则f④若f(x)f(x)在x=x0x=x0​不连续，则f4．若在(a,b)(a,b)内恒有0","styleStr":"width:167px;height:21px;"}]'class='enhanced-wkformula'>，则在(a,①上升的凸弧②下降的凸弧③上升的凹弧④下降的凹弧5．设，则（）①F(x)+G(x)③F(x)G(x)=0F(x)−6．11∣x∣dx∣​x​∣∣​dx＝（）①０②１③２④３7．方程2x=①平行于xOyxOy面的平面②平行于O③过OzOz轴的平面④8．设f(x,y)①tf(x,y)tf(x,y)②t2f(x,y)t2f(x,y)③t3f(x,y)t3f(x,y)④1t2f(x,①在p>1p>1时收敛，p<1p<1时发散②在P≥③在p≤1p≤1时收敛，p>1p>1时发散④在p<10．方程是（）①一阶线性非齐次微分方程②齐次微分方程③可分离变量的微分方程④二阶微分方程11．下列函数中为偶函数的是（）①y=exy=ex②y=x3+1∣​x​∣∣​12．设f(x)f(x)在(a,b)(a,b)可导，a<x①②③④13．设f(x)f(x)在x=x0x=x0​的左右导数存在且相等是f①充分必要的条件②必要非充分的条件③必要且充分的条件④既非必要又非充分的条件14．设2f(x)cosx=d①cosxcosx②2cosx2−cosx③1+sinx15．过点（１，２）且切线斜率为4x3①ｘ4②ｘ4＋ｃ③ｘ4＋１④4x16．设幂级数∑n=0∞anxnn=0∑∞​an​xn在x0x0​（x0≠0x0​∣​x​∣∣​<∣∣​x0​​∣∣​（）①绝对收敛②条件收敛③发散④收敛性与anan​17．设Ｄ域由y=x,y=x2y=x,y=x2所围成，则∬①01dxx1sin⁡xxdy∫01​dx∫x1​​xsinx​dx；③01dxx​​xsinx​dy；④01dyx​​xsinx​dx.三、计算题（1～3每小题5分，4～9每小题6分，共51分）１．设y=x1x(​求.２．求x→4/3sin(9x2３．计算∫dx(４．设x=∫0t(cosu)５．求过点Ａ（２，１，－１），Ｂ（１，１，２）的直线方程.６．设u=e​+sinz，求ｄｕ.７．计算0x0asin⁡θ８．求微分方程dy=(y+９．将f(x)=3(四、应用和证明题（共15分）１．（８分）设一质量为ｍ的物体从高空自由落下，空气阻力正比于速度（比例常数为k>0２．（７分）借助于函数的单调性证明：当x>1x>1时，2​>3−x1​。高等数学参考答案一、填空题（每小题1分，共10分）１．（－１，１）２．２ｘ－ｙ＋１＝０３．５Ａ４．ｙ＝ｘ2＋１５．12arctanx2８．0π2dθ0π二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内，1～10每小题1分，11～17每小题2分，共24分）1．③

2．③3．④

4．④

5．②

6．②

7．②

8．⑤

9．④

10．③11．④

12．④

13．⑤

14．③

15．③16．①

17．②三、计算题（1～3每小题5分，4～9每小题6分，共51分）1．解：lny=12[ln(x２．解：原式＝x→4/318xco＝18(43)cos(9３．解：原式＝∫(1+e＝∫dx(1+e＝∫(1+exex＝xln(1+４．解：因为dx=(dydx=(sint５．解：所求直线的方向数为｛１，０，－３｝所求直线方程为x11=y10=z231x−1​６．解：du=​+sinzd(x+y​+sinz)=ex​+sinz(dx+2y​1​dy+coszdz)７．解：原积分＝0πsin⁡θdθ0asin＝a20π2sin８．解：两边同除以(y+1)2(y+1)2得两边积分得∫dy(1亦即所求通解为1x+11y９．解：分解，得f(x)f(x)＝11x+==11x+1211+x2＝∑n=0∞xn+12n=0∞(∣​x​∣∣​<1且∣x2∣​2x​​∣∣​<1）＝n=0∞[1+(1)n12n∣​x​∣∣​<1）四、应用和证明题（共１５分）１．解：设速度为ｕ，则ｕ满足m=dudt解方程得u=1k(mgc由ｕ│t=0＝０定出ｃ，得u=mgk(1e２．证：令f(x)f(x)​+x1​−3则f(x)f(x)而且当x>1x>1因此f(x)f(x)从而当x>1x>1时，f(x即当x>1x>1时，2​>3−x1​《高等数学》专业学号姓名一、判断正误（每题2分，共20分）1.两个无穷大量之和必定是无穷大量.2.初等函数在其定义域内必定为连续函数.3.y=f(x)y=f(x​)在点x0x0​连续，则y=f(4.若xOxO​点为y=f(x)y=f(x5.初等函数在其定义域区间内必定存在原函数.6.方程x2+y7.若z=f(x,y)z=f(x,y​)在点0(x0,y0)M0​(x0​,□y0​​)可微，则z8.是二阶微分方程.9.ddx1xsin⁡td10.若y=f(x)y=f(x​)为连续函数，则axf二、填空题（每题4分，共20分）11.∫dx1+22.x→∞sin⁡2x33.设，且f(0)=1f(0​)=1，则44.z=xy2z=xy255.ddxabsin⁡三、计算题与证明题（共计60分）11.(1)n→+∞(n2n+1(2)x→0(1x1ex1)(222.求函数y=(sinx)cos⁡x33.若在(∞,+∞)(−∞,+∞​)上0,f\\begin{pmatrix}0\\end{pmatrix}<0","styleStr":"width:nullpx;height:nullpx;"}]'class='enhanced-wkformula'>.证明：F(x)=f(x)xF(x​)=xf(x​)​在区间(∞44.对物体长度进行了nn次测量，得到nn个数x1,x2,⋯,xnx1​,x2​,⋯,xn​。现在要确定一个量55.计算∫xsinx2d6.由曲线y=lnxy=lnx与两直线y=e+1x77.求微分方程xdydx=xyxdxdy​=x−∣​x=2​​=0的特解。（5分）88.计算二重积分∬Dx2dxdy,D∬​x2dxdy,DD是由圆x2高等数学参考答案一、判断正误（每题2分，共20分）1-5．╳，╳，╳，╳，√.

6-10.╳，√，╳，╳，√.二、填空题（每题4分，共20分）1.tanx1cos⁡x+c1.tanx−cosx1​+c；2.02.0；3.三、计算题与证明题。（共计60分）11.(1)n→+∞(n2n+1)n(1​)n→+∞lim​(n+1n−2​​)n=n=en→+∞3n(2)x→0(1x1ex1)(2​)x→0lim​(x1​−ex−11​​)=x→0(ex1xx(ex=x→0(ex12x)=x→0lim​(2xex−2.

令y1=(sinx)cos⁡xy1​=(sinx​)cosxy2y_{1}^{′}=e^{\cosxlnsinx}^{′}=ecos⁡xlnsi同理y2=cosxsin⁡xcosxsin⁡x+3.

∵F(x)=f=令则0","styleStr":"width:nullpx;height:nullpx;"}]'class='enhanced-wkformula'>∴x>0,g则当x>0x>0时g(当x<0x<0时g(故命题成立。4.令f(x)=(xx1)2+(xx2)2则令0","styleStr":"width:nullpx;height:nullpx;"}]'class='enhanced-wkformula'>∴x0f(x∴xx1+⋯+5.∫xsinx2dx∫xsinx2dx=∫x1cos⁡2x2d=14x214xsin2x186.S=01(e+1yey)d∣​01​​−21​y2∣∣​01​​−ey∣∣​01​​=23​7.方程变形为而y=e∫1xdx[∫1e∫1xdx初始条件：y∣x∣​x=2​​​=0⇒c=−1∴y∗=1x+12x8、D∗={(r,∣​1≤r≤2,0≤θ≤2π​​}∴Dx2dxdy=D∗r2cos《高等数学》专业学号姓名一、判断（每小题2分，共20分）1.f(x)在点x00​处有定义是f(x)在点x00​处连续的必要条件.(

)2.无穷小量与有界变量之积为无穷小量.

(

)3.y=f(x)在x00​处可导,则y=|f(x)|在x00​处也可导.(

)4.初等函数在其定义域内必连续.

(

)5.可导函数f(x)的极值点一定是f(x)的驻点.(

)6.对任意常数k,有∫kf(x)d7.若f(x)在[a,b]上可积,则f(x)在[a,b]上有界.(

)8.若f(x,y)在区域D上连续且区域D关于y轴对称,则当f(x,y)为关于x的奇函数时,Df(x,y)9.22=-2x-exx的通解中含有两个独立任意常数.(

)10.若z=f(x,y)在Poo​的两个偏导数都存在,则z=f(x,y)在P00​连续.(

)二、填空（每空2分，共20分）1.x→∞x→∞lim​[xsin1xx1​+1xx1​sinx+(2+xx2.函数f(x)=x3x3−x​在[0,3]上满足罗尔定理的条件,定理中的数值ξξ=.3.设f(x)={exx<0a+xx≥0{exa+x​x<0x≥04.设z=ex2+2yx2+2y,则5.函数f(x)=exx-x-1在内单调增加;在内单调减少.6.函数y=ax3+7.ddxdxd​absin⁡x2∫ab8.(x)=1且f(0)=0f(0)=0,9.若I=01dxx2xf(三、计算（每小题5分,共40分）1.求x→0x→0lim​(1x2x21​-1xtgxxtgx1​)；

2.∫1exln⁡t3.求∫1x​(1+x)1​dx；

4.求∫34111x1d​−11​dx；

5.求0+∞xe2x6.设z=ln(x22+y22)求∂z∂x∂x∂z​,∂2z∂x∂7.计算I=DxdxdyD∬​xdxdy