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文档简介
2022年宁夏回族自治区石嘴山市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________
一、单选题(20题)1.下列级数中发散的是()
A.
B.
C.
D.
2.
3.
4.若,则()。A.-1B.0C.1D.不存在
5.如图所示,在半径为R的铁环上套一小环M,杆AB穿过小环M并匀速绕A点转动,已知转角φ=ωt(其中ω为一常数,φ的单位为rad,t的单位为s),开始时AB杆处于水平位置,则当小环M运动到图示位置时(以MO为坐标原点,小环Md运动方程为正方向建立自然坐标轴),下面说法不正确的一项是()。
A.小环M的运动方程为s=2Rωt
B.小环M的速度为
C.小环M的切向加速度为0
D.小环M的法向加速度为2Rω2
6.
7.当x→0时,3x2+2x3是3x2的()。A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶无穷小但不是等价无穷小D.等价无穷小8.方程y'-3y'+2y=xe2x的待定特解y*应取().A.A.Axe2x
B.(Ax+B)e2x
C.Ax2e2x
D.x(Ax+B)e2x
9.设函数f(x)满足f'(sin2x=cos2x,且f(0)=0,则f(x)=()A.
B.
C.
D.
10.
11.()A.A.2xy+y2
B.x2+2xy
C.4xy
D.x2+y2
12.下列命题中正确的有().A.A.
B.
C.
D.
13.已知y=ksin2x的一个原函数为y=cos2x,则k等于().A.A.2B.1C.-lD.-214.A.3B.2C.1D.1/215.曲线y=x2+5x+4在点(-1,0)处切线的斜率为()A.A.2B.-2C.3D.-316.A.A.
B.
C.
D.
17.过点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)的平面方程为().
A.x+y+z=1
B.2x+y+z=1
C.x+2y+z=1
D.x+y+2z=1
18.若f(x)有连续导数,下列等式中一定成立的是
A.d∫f(x)dx=f(x)dx
B.d∫f(x)dx=f(x)
C.d∫f(x)dx=f(x)+C
D.∫df(x)=f(x)
19.微分方程y''-7y'+12y=0的通解为()A.y=C1e3x+C2e-4x
B.y=C1e-3x+C2e4x
C.y=C1e3x+C2e4x
D.y=C1e-3x+C2e-4x
20.设y=cos4x,则dy=()。A.4sin4xdxB.-4sin4xdxC.(1/4)sin4xdxD.-(1/4)sin4xdx二、填空题(20题)21.
22.
23.如果函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f(b)-f(a)=________。
24.
25.
26.
27.28.
29.
30.设,则f'(x)=______.
31.
32.
33.34.
35.
36.
37.
38.
39.通解为C1e-x+C2e-2x的二阶常系数线性齐次微分方程是____.
40.
三、计算题(20题)41.求函数y=x-lnx的单调区间,并求该曲线在点(1,1)处的切线l的方程.42.43.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B,在抛物线与x轴所围成的平面区域内,以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示).设梯形上底CD长为2x,面积为
S(x).
(1)写出S(x)的表达式;
(2)求S(x)的最大值.
44.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值.45.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数.46.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4,x≥0,y≥0,其面密度
u(x,y)=2+y2,求该薄板的质量m.47.求曲线在点(1,3)处的切线方程.48.
49.证明:50.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量,则51.
52.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点.53.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛,何时条件收敛,何时发散,其中常数a>0.54.求微分方程的通解.
55.
56.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解.
57.
58.
59.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p,当p=10时,若价格上涨1%,需求量增(减)百分之几?
60.四、解答题(10题)61.设z=x2ey,求dz。
62.
63.
64.65.
66.
67.
68.
69.
70.(本题满分8分)
五、高等数学(0题)71.求微分方程y+2xy=xe-x2满足y|x=0=1的特解。
六、解答题(0题)72.
参考答案
1.D
2.B
3.A
4.D不存在。
5.D
6.C解析:
7.D本题考查的知识点为无穷小阶的比较。
由于,可知点x→0时3x2+2x3与3x2为等价无穷小,故应选D。
8.D本题考查的知识点为二阶常系数线性非齐次微分方程特解y*的取法:
若自由项f(x)=Pn(x)eαx,当α不为特征根时,可设特解为
y*=Qn(x)eαx,
Qn(x)为x的待定n次多项式.
当α为单特征根时,可设特解为
y*=xQn(x)eαx,
当α为二重特征根时,可设特解为
y*=x2Qn(x)eαx.
所给方程对应齐次方程的特征方程为
r2-3r+2=0.
特征根为r1=1,r2=2.
自由项f(x)=xe2x,相当于α=2为单特征根.又因为Pn(x)为一次式,因此应选D.
9.D
10.C
11.A
12.B本题考查的知识点为级数的性质.
可知应选B.通常可以将其作为判定级数发散的充分条件使用.
13.D本题考查的知识点为原函数的概念、复合函数求导.
14.B,可知应选B。
15.C点(-1,0)在曲线y=x2+5x+4上.y=x2+5x+4,y'=2x+5,由导数的几何意义可知,曲线y=x2+5x+4在点(-1,0)处切线的斜率为3,所以选C.
16.Dy=e-2x,y'=(e-2x)'=e-2x(-2x)'=-2e-2x,dy=y'dx=-2e-2xdx,故选D。
17.A设所求平面方程为.由于点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)都在平面上,将它们的坐标分别代入所设平面方程,可得方程组
故选A.
18.A解析:若设F'(x)=f(x),由不定积分定义知,∫f(x)dx=F(x)+C。从而
有:d∫f(x)dx=d∫F(x)+C]=F'(x)dx=f(x)dx,故A正确。D中应为∫df(x)=f(x)+C。
19.C因方程:y''-7y'+12y=0的特征方程为r2-7r+12=0,于是有特征根r1=3,r2=4,故微分方程的通解为:y=C1e3x+C2e4x
20.B
21.1/21/2解析:
22.11解析:
23.f"(ξ)(b-a)由题目条件可知函数f(x)在[a,b]上满足拉格朗日中值定理的条件,因此必定存在一点ξ∈(a,b),使f(b)-f(a)=f"(ξ)(b-a)。
24.
25.
26.2
27.28.由可变上限积分求导公式可知
29.
30.本题考查的知识点为复合函数导数的运算.
31.
32.22解析:
33.
34.
35.
36.3x2+4y
37.x
38.(03)(0,3)解析:
39.
40.x/1=y/2=z/-1
41.
42.
43.
44.函数的定义域为
注意
45.46.由二重积分物理意义知
47.曲线方程为,点(1,3)在曲线上.
因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0.
如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在,则表明曲线y=f(x)在点
(x0,fx0))处存在切线,且切线的斜率为f′(x0).切线方程为
48.由一阶线性微分方程通解公式有
49.
50.由等价无穷小量的定义可知
51.
则
52.
列表:
说明
53.
54.
55.
56.解:原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0,
57.
58.
59.需求规律为Q=100ep-2.25p
∴当P=10时价格上涨1%需求量减少2.5%需求规律为Q=100ep-2.25p,
∴当P=10时,价格上涨1%需求量减少2.5%
60.
61.
62.
63.
64.
65.(11/3)
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