2022年湖南省永州市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)

2022年湖南省永州市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.设k＞0，则级数为()．A.A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.收敛性与k有关

2.A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.以上都不对

3.

A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性与a有关

4.如图所示，在半径为R的铁环上套一小环M，杆AB穿过小环M并匀速绕A点转动，已知转角φ=ωt(其中ω为一常数，φ的单位为rad，t的单位为s)，开始时AB杆处于水平位置，则当小环M运动到图示位置时(以MO为坐标原点，小环Md运动方程为正方向建立自然坐标轴)，下面说法不正确的一项是()。

A.小环M的运动方程为s=2Rωt

B.小环M的速度为

C.小环M的切向加速度为0

D.小环M的法向加速度为2Rω2

5.A.0B.1C.2D.不存在

6.A.A.1/3B.3/4C.4/3D.3

7.

8.函数f(x)=5x在区间[-1，1]上的最大值是A.A.-(1/5)B.0C.1/5D.5

9.

10.设y=2-cosx，则y'=

A.1-sinxB.1+sinxC.-sinxD.sinx

11.下列关系式正确的是()A.A.

B.

C.

D.

12.设函数f(x)与g(x)均在(α，b)可导，且满足f'(x)＜g'(x)，则f(x)与g(x)的关系是

A.必有f(x)＞g(x)B.必有f(x)＜g(x)C.必有f(x)=g(x)D.不能确定大小

13.进行钢筋混凝土受弯构件斜截面受剪承载力设计时，防止发生斜拉破坏的措施是()。

A.控制箍筋间距和箍筋配筋率B.配置附加箍筋和吊筋C.采取措施加强纵向受拉钢筋的锚固D.满足截面限值条件

14.A.

B.

C.

D.

15.A.A.4B.3C.2D.1

16.

17.方程y"+3y'=x2的待定特解y*应取()．A.A.AxB.Ax2+Bx+CC.Ax2D.x(Ax2+Bx+C)

18.（）。A.收敛且和为0

B.收敛且和为α

C.收敛且和为α-α1

D.发散

19.

20.A.A.仅为x=+1B.仅为x=0C.仅为x=-1D.为x=0，±1

二、填空题(20题)21.

22.

23.二元函数z=x2+3xy+y2+2x，则=______．

24.

25.

26.设z=x2y2+3x,则

27.

28.

29.

30.设y=cosx，则y'=______

31.

32.

33.设z=sin(x2y)，则=________。

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.设=3，则a=________。

三、计算题(20题)41.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．

42.证明：

43.

44.求微分方程的通解．

45.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

46.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

47.

48.

49.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．

50.

51.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．

52.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．

53.求曲线在点(1，3)处的切线方程．

54.

55.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

56.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．

57.

58.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则

59.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．

60.

四、解答题(10题)61.用洛必达法则求极限：

62.

63.

64.

65.

66.函数y=y(x)由方程ey=sin(x+y)确定,求dy.

67.

68.

69.设

70.证明：当时，sinx+tanx≥2x．

五、高等数学(0题)71.某工厂每月生产某种商品的个数x与需要的总费用函数关系为10+2x+

(单位：万元)。若将这些商品以每个9万元售出，问每月生产多少个产品时利润最大?最大利润是多少?

六、解答题(0题)72.

参考答案

1.A本题考查的知识点为级数的绝对收敛与条件收敛．

由于为莱布尼茨级数，为条件收敛．而为莱布尼茨级数乘以数-k，可知应选A．

2.D本题考查了判断函数极限的存在性的知识点.

极限是否存在与函数在该点有无定义无关.

3.A

本题考查的知识点为级数绝对收敛与条件收敛的概念．

4.D

5.D本题考查的知识点为极限与左极限、右极限的关系．

由于f(x)为分段函数，点x＝1为f(x)的分段点，且在x＝1的两侧，f(x)的表达式不相同，因此应考虑左极限与右极限．

6.B

7.C

8.Df(x)=5x，f'(x)=5xln5＞0，可知f(x)在[-1，1]上单调增加，最大值为f(1)=5，所以选D。

9.A

10.D解析：y=2-cosx，则y'=2'-(cosx)'=sinx。因此选D。

11.C

12.D解析：由f'(x)＜g'(x)知，在(α，b)内，g(x)的变化率大于f(x)的变化率，由于没有g(α)与f(α)的已知条件，无法判明f(x)与g(x)的关系。

13.A

14.A

15.C

16.C解析：

17.D本题考查的知识点为二阶常系数线性微分方程特解y*的取法．

由于相应齐次方程为y"+3y'0，

其特征方程为r2+3r=0，

特征根为r1=0，r2=-3，

自由项f(x)=x2，相应于Pn(x)eαx中α=0为单特征根，因此应设

故应选D．

18.C

19.C

20.C

21.0

22.1/6

23.2x+3y+2本题考查的知识点为二元函数的偏导数运算．

则

24.

25.22解析：

26.2xy(x+y)+3本题考查的知识点为二元函数的偏导数．

由于z=x2y2+3x，可知

27.

28.

29.

解析：

30.-sinx

31.

32.1/21/2解析：

33.设u=x2y，则z=sinu，因此=cosu.x2=x2cos(x2y)。

34.[-11]

35.

36.dx

37.

38.-sinx

39.-2-2解析：

40.

41.

42.

43.

44.

45.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

46.

47.由一阶线性微分方程通解公式有

48.

则

49.

50.

51.

52.函数的定义域为

注意

53.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

54.

55.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

56.由二重积分物理意义知

57.

58.由等价无穷小量的定义可知

59.

列表：

说明

60.

61.

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.

69.

本题考查的知识点为参数方程形式的函数的求导．

只需依公式，先分别求出即可．

70.

71.R(x)=9x(万元)；

∴x=14取极大值L(14)=39；∵唯一的极值点必为最值点；∴