考点08解析几何2022高考（理）模考考前复习指导与抢分集训解析

专题一核心考点速查练考点08解析几何核心考点呈现1．直线倾斜角和斜率2．两点间距离公式、点到直线距离公式、两条平行直线间距离3.直线与圆的位置关系、圆于圆的位置关系4.椭圆、双曲线、抛物线的性质5.直线与椭圆、抛物线的位置关系中的定点定值问题、范围最值问题1．已知点和在直线的两侧，则直线的倾斜角的取值范围是()A． B． C． D．【答案】D【解析】设直线l的倾斜角为θ∈[0,π).点A(1,−2),B(,0).直线l:ax−y−1=0(a≠0)经过定点P(0,−1).∵点(1,−2)和(,0)在直线l:ax−y−1=0(a≠0)的两侧，∴kPA<a<kPB,∴−1<tanθ<，tanθ≠0.解得.本题选择D选项.2．已知直线l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l1平行于l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由直线l1平行于l2得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，经验证，当m＝－1时，直线l1与l2重合，舍去，所以“m＝2”是“l1平行于l2”的充要条件，故选C.3．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（）．A． B．C． D．【答案】A【解析】由重心坐标公式可得：重心，即.设外心，因为，所以，解得，即：.，故欧拉线方程为：，即：故选：A4．已知直线和点，在直线上求一点，使过、的直线与以及轴在第一象限内所围成的三角形的面积最小，则坐标为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】设点，则直线的方程为，当时，，所以直线与轴交点，（其中），因为，等号成立当且仅当，即，所以点，故选：C.5．设三角形是位于平面直角坐标系的第一象限中的一个不等边三角形，该平面上的动点满足：，已知动点的轨迹是一个圆，则该圆的圆心位于三角形的（）A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心【答案】C【解析】设，，，由得：展开整理，得．．圆的圆心坐标为，，为三角形的重心．故选：6．已知圆：，点，在圆上，平面上一动点满足且，则的最大值为（）A．4 B． C．6 D．【答案】D【解析】圆：化成标准方程可得所以圆C的半径为因为点,在圆上,动点满足且所以位于以为直径的圆上,位置关系如下图所示:则,即在三角形中,由正弦定理可得代入可得则因为所以的最大值为故选:D7．满足条件的面积的最大值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，因为，所以，所以，所以的轨迹是以为圆心，半径等于的圆去掉点两点，所以.故选：B.8．已知直线：，：，和两点（0,1），（-1,0），给出如下结论：①不论为何值时，与都互相垂直；②当变化时，与分别经过定点A（0,1）和B（-1,0）；③不论为何值时，与都关于直线对称；④如果与交于点，则的最大值是1；其中，所有正确的结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4.【答案】C【解析】对于①，当时，两条直线分别化为:，此时两条直线互相垂直，当时，两条直线斜率分别为:,满足,此时两条直线互相垂直，因此不论为何值时，与都互相垂直，故①正确；

对于②，当变化时，代入验证可得:与分别经过定点和，故②正确；

对于③，由①可知:两条直线交点在以为直径的圆上，不一定在直线上，因此与关于直线不一定对称，故③不正确；

对于④，如果与交于点，由③可知:，则，所以的最大值是1，故④正确.

所有正确结论的个数是3.故选C9．已知点，点，点在圆上，则使得为直角三角形的点的个数为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】①若为直角，则，设点，，，则，即，此时，点的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆，圆与圆的圆心距为，，则圆与圆的相交，两圆的公共点个数为；②若为直角，由于直线的斜率为，则直线的斜率为，直线的方程为，即，圆的圆心到直线的距离为，则直线与圆相交，直线与圆有个公共点；③若为直角，则直线的方程为，圆的圆心到直线的距离为，直线与圆相离，直线与圆没有公共点.综上所述，使得为直角三角形的点的个数为.故选：D.10．已知△ABC的顶点A(0,0)，B(4,0)，且AC边上的中线BD的长为3，则顶点C的轨迹方程是()A．(x－8)2＋y2＝36(y≠0)B．(x－4)2＋y2＝9(y≠0)C．x2＋y2＝9(y≠0)D．3x＋4y－12＝0(y≠0)【答案】A【解析】设C（x，y）（y≠0），则D（，），∵B（4，0），且AC边上的中线BD的长为3，∴（﹣4）2+（）2=9，即（x﹣8）2+y2=36（y≠0）．故答案为：A11．已知点是直线上一动点，是圆的两条切线，切点分别为，若四边形的面积最小值为，则的值为（）A．3 B． C． D．2【答案】D【解析】圆方程为，圆心，半径为1．因为，为切线，且．当最小时，最小，此时最小且垂直于．又，，，故选D.12．已知是抛物线的焦点，曲线是以为圆心，以为半径的圆，直线与曲线从上到下依次相交于点，则（）A．16 B．4 C． D．【答案】A【解析】由可以得到，解得，所以，，故，，选A.13．设直线，圆，若在圆上存在两点，，在直线上存在一点，使得，则的取值范围是（）．A． B． C． D．【答案】C【解析】如图：过圆心作交于，过作圆的切线交圆于、，是圆心两点与上一点形成最大的角，只要满足条件，即，，，，即，，．故选：C14．已知椭圆方程为，和分别是椭圆的左右焦点.①若P是椭圆上的动点，延长到M，使，则M的轨迹是圆；②若是椭圆上的动点，则；③以焦点半径为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切；④点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点三角形的面积为以上说法中，正确的有（）A．①③④ B．①③ C．②③④ D．③④【答案】A【解析】对于①，根据椭圆的定义可知，所以，也即到的距离为定值，故的轨迹是圆，所以①正确.对于②，当为左顶点时，，当为右顶点时，，所以，所以②错误.对于③，以为直径的圆，圆心为，半径是.以长轴为直径的圆，圆心为，半径为.连接，则是三角形的中位线，由于，所以，即两圆圆心角等于两圆半径之差，故两个圆内切，故③正确.对于④，设，依题意（*），由余弦定理得（**），而三角形的面积为（***），将（*）、（**）、（***）联立化简得，.故④正确.所以正确的为①③④.故选：A.15．四边形，，，，则的外接圆与的内切圆的公共弦长（）A． B． C． D．【答案】C【解析】以为坐标原点，以为轴，轴建立平面直角坐标系，过作交于点，则，故，则为等边三角形，故，的外接圆方程为，①的内切圆方程为，②①-②得两圆的公共弦所在直线方程为:,的外接圆圆心到公共弦的距离为，公共弦长为，故答案为：C.16．已知两圆：，：，动圆在圆内部且和圆相内切，和圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程为A． B． C． D．【答案】D【解析】设动圆圆心，半径为，圆与圆：内切，与圆：外切，，，，由椭圆的定义，的轨迹为以，为焦点的椭圆，可得，；则，动圆圆心的轨迹方程：，故选D．17．已知椭圆的两个焦点分别为，若椭圆上存在点使得是钝角，则椭圆离心率的取值范围是()A． B．C． D．【答案】B【解析】当动点从椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，对两个焦点的张角渐渐增大，当且仅当点位于短轴端点处时，张角达到最大值．∵椭圆上存在点使得是钝角，∴中，，∴中，，∴，∴，∴，∴，∵，∴．椭圆离心率的取值范围是，故选B．18．已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率为，若椭圆上存在点，使得，则该离心率的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】依题意，得，，又，，不等号两端同除以得，，，解得，又，．即故选：19．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上一点，椭圆C内一点Q满足：点Q在的延长线上若，则该椭圆离心率的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，点Q在以为直径，原点为圆心的圆上，点Q在椭圆的内部，以为直径的圆在椭圆内，；，，故．，,设，，，，，①，由已知可知，点在以为直径的圆上，不包含，两个点，当点与重合时，此时，的最大值是由图象可知其他满足条件的满足条件时，需满足②由①②可知，，解得：，综上可知：.故选：A20．若双曲线的一条渐近线被曲线所截得的弦长为2．则双曲线C的离心率为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】双曲线的渐近线方程为，由对称性，不妨取，即．又曲线化为，则其圆心的坐标为，半径为．由题得，圆心到直线的距离，又由点到直线的距离公式．可得．解得，所以．故选：B．21．设双曲线的右焦点为，右顶点为，过作的垂线与双曲线交于，两点，过，分别作，的垂线，两垂线交于点.若到直线的距离等于，则该双曲线的离心率是（）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】依题意可知，所以，，所以直线：①，直线：②，①-②并化简得.由于到直线的距离等于，直线方程为，所以，化简得，所以双曲线为等轴双曲线，离心率为.故选：A22．在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于、两点，若，则该双曲线的渐近线方程为__________.【答案】【解析】设点、，将双曲线的方程与抛物线的方程联立，消去得，由韦达定理得，，且点，由抛物线的定义得，所以，得，则.因此，该双曲线渐近线方程为.故答案为：.23．汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处．已知灯口直径是26厘米，灯深11厘米，则灯泡与反射镜的顶点的距离为_______厘米．（精确到厘米）【答案】【解析】设抛物线的标准方程为(>0),由题意抛物线经过点(11,13),代入抛物线方程得:,解得=,所以,即灯泡与反射镜顶点的距离约为.故答案为:.24．过点的直线与抛物线：交于，两点（在，之间），是抛物线的焦点，若，则的面积为______.【答案】3.【解析】不妨设在第一象限，如图，设，由题意，∵，∴，∴．又共线，∴，即，把代入得：，显然，解得，∴，∴，，∴．故答案为：3．25．已知O为坐标原点，椭圆T：的离心率为，一个顶点为，过椭圆上一点P的两条直线PA，PC分别与椭圆交于A，C，设PA，PC的中点分别为D，E，直线PA，PC的斜率分别是，，若直线OD，OE的斜率之和为2，则的最大值为______．【答案】【解析】不妨设，根据题意可知，解得：椭圆方程是设，两式相减得整理为：当，且时，，，即，同理：，，即，，，，.当且仅当时等号成立，即时，故的最大值是.故答案为：26．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在直线上，当取最大值时，______．【答案】【解析】椭圆的左右焦点分别为，、与，．如图，根据平面几何知识知，当取最大值时，经过与的圆与直线相切，此时圆心在轴上，坐标为，在直线中令得的坐标：，在三角形和三角形中，，△，．故答案为：．27．过抛物线的焦点作直线，与抛物线交于、两点，与准线交于点，若，则______.【答案】【解析】焦点坐标为.画出图像如下图所示，作垂直准线交准线于，根据抛物线的定义可知，由于，所以，设直线的倾斜角为，则，所以，即直线的斜率为，所以直线的方程为，代入抛物线方程并化简得，所以，所以.故答案为：28．在平面直角坐标系中，过点（0，1）的直线l与双曲线交于两点A，B，若是直角三角形，则直线l的斜率为____.【答案】【解析】直线l的斜率显然存在，设直线为，联立双曲线：，消去y得：.①若，则，解得.②若（A在左支）设A点坐标（m，n）（），则，联立双曲线无解，故不可能出现。③若（B在右支），同理不可能故答案为：29．已知点和点，记满足的动点的轨迹为曲线.（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）已知直线：与曲线有两个不同的交点、，且与轴相交于点.若，为坐标原点，求面积.【答案】（Ⅰ）（）;（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）设点为曲线上任意一点由得整理得（）为所求（Ⅱ）设，，且由得∴依题意，直线显然不平行于坐标轴，且不经过点或点故可化为由得且又∴消去，整理得即∴的面积.30．已知是椭圆的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点．（1）若为等边三角形，求C的离心率；（2)如果存在点P，使得，且的面积等于16，求b的值和a的取值范围.【答案】(1)；（2），a的取值范围为.【解析】（1）连结，由为等边三角形可知：在中，，，，于是，故椭圆C的离心率为；（2）由题意可知，满足条件的点存在，当且仅当，，，即①②③由②③以及得，又由①知，故；由②③得，所以，从而，故；当，时，存在满足条件的点.故，a的取值范围为.31．已知椭圆：的四个顶点围成的四边形的面积为，原点到直线的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）已知定点，是否存在过的直线，使与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过椭圆的左顶点？若存在，求出的方程：若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，且方程为或.【解析】（1）直线的一般方程为.依题意，解得，故椭圆的方程式为.（2）假若存在这样的直线，当斜率不存在时，以为直径的圆显然不经过椭圆的左顶点，所以可设直线的斜率为，则直线的方程为.由，得.由，得.记，的坐标分别为，，则，，而.要使以为直径的圆过椭圆的左顶点，则，即，所以，整理解得或，所以存在过的直线，使与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过椭圆的左顶点，直线的方程为或.32．设斜率不为0的直线与抛物线交于，两点，与椭圆交于，两点，记直线，，，的斜率分别为，，，．（1）若直线过，证明：；（2）求证：的值与直线的斜率的大小无关．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）设直线方程为：设，，两式相乘得：将直线方程代入抛物线，得∴∴，∴∴∴（2）设直线，，，，．联立和，得，则，，，联立和得，在此式可不求解的情况下，，，，所以是一个与无关的值．33．已知动圆经过点，且和直线相切.(Ⅰ)求该动圆圆心的轨迹的方程；(Ⅱ)已知点，若斜率为1的直线与线段相交（不经过坐标原点和点），且与曲线交于两点，求面积的最大值.【答案】(Ⅰ）；(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)由题意可知点到点距离等于点到直线距离，所以动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，故：曲线的方程是.(Ⅱ)设直线的方程为,其中联立方程组,消去得，恒大于零设,由求根公式得：,∴点到直线的距离为令，则令在上递增，在上递增.在时即时取得最大值.的最大面积为.34．在平面直角坐标系中，椭圆的中心为坐标原点，左焦点为F1（﹣1，0），离心率．（1）求椭圆G的标准方程；（2）已知直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于两点，且，如