课时作业高效提能21

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时作业•高效提能1.如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=5.过对角线交点O作OE⊥AC交AD于E,则AE的长是()A.1.6 【解析】选D.连接EC.∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OC.又∵OE⊥AC,∴EC=AE.设AE=x,则ED=AD-AE=5-x.在Rt△EDC中,由勾股定理,得EC2=DE2+DC2,即x2=(5-x)2+32,解得x=【方法技巧】与矩形有关的两个巧用题目中已知或构造出矩形对角线的交点(或一条对角线的中点)时,可考虑:(1)巧用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.(2)巧用三角形中位线定理.2.(2022·新化县一模)菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是()A.两组对边分别平行 B.两组对角分别相等C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直【解析】选、不符合题意,两组对边分别平行,两者均有此性质;B、不符合题意,两组对角分别相等,两者均有此性质;C、不符合题意,对角线互相平分,两者均有此性质;D、菱形的对角线互相垂直但平行四边形却无此性质.3.(2022·江阴模拟)如图菱形ABCD的对角线AC,BD的长分别是6,8,AE⊥BC于点E,则AE的长是()3 B.2 C.485 D.【解析】选D.∵四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD,又AC=6,BD=8,∴S菱形ABCD=12AC·又S菱形ABCD=BC·AE,又BO=12BD=4,OC=1∴BC=42∴5AE=24,∴AE=2454.(2022·石峰区模拟)矩形ABCD中,AB=2,AD=1,点M在边CD上,若AM平分∠DMB,则DM的长是()A.33 B.14 332【解析】选D.∵四边形ABCD是矩形,∴CD=AB=2,AB∥CD,BC=AD=1,∠C=90°,∴∠BAM=∠AMD,∵AM平分∠DMB,∴∠AMD=∠AMB,∴∠BAM=∠AMB,∴MB=AB=2,∴CM=MB2-BC2∴DM=CD-CM=2-3.5.如图,在边长为4cm的正方形中,E为BC上一点,EF⊥AC于点F,EG⊥BD于点G,则EF+EG=________cm.【解析】∵四边形ABCD是正方形,边长为4,∴AD=CD=4,AC⊥BD,∠DAO=45°,∴AC2=AD2+CD2=42+42=32,∴AC=42.∵EF⊥AC,GE⊥BD,∴∠OGE=∠OFE=90°.又∵AC⊥BD,∴四边形OGEF是矩形,∴EG=OF.又∵∠DAO=∠FCE=45°,∴∠FEC=∠FCE,∴EF=CF.∵OF+CF=OC=12AC=12×42=2∴GE+EF=22.答案:226.(2022·桑植县模拟)如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别是边BC,AD上的中点,且∠BAC=90°.(1)求证:四边形AECF是菱形.(2)若∠B=30°,BC=8,求菱形AECF面积.【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC.∵∠BAC=90°,∴∠ACD=∠BAC=90°,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点E是BC边的中点,∴AE=CE=12BC,同理:AF=CF=1∴AF=CE.又∵AF∥CE,∴四边形AECF是平行四边形.又∵AE=CE,∴平行四边形AECF是菱形.(2)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=30°,BC=8,∴AC=4,AB=43.连接EF交AC于点O,∴AC⊥EF于点O,点O是AC的中点,∴OE=12AB=23,∴EF=43∴菱形AECF的面积是12AC·EF=12×4×43=87.(2022·本溪模拟)如图,四边形ABCD中AB∥CD,对角线AC,BD相交于O,点E,F分别为BD上两点,且BE=DF,∠AEF=∠CFB.(1)求证:四边形ABCD是平行四边形.(2)若AC=2OE,试判断四边形AECF的形状,并说明理由.【解析】(1)∵AB∥CD,∴∠ABD=∠CDB.又∵∠AEF=∠CFB,∴∠AEB=∠CFD,又∵BE=DF,∴△ABE≌△CDF(ASA),∴AB=CD,又∵AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形.(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB=OD,OA=OC=12∵BE=DF,∴OB-BE=DO-DF,∴OE=OF.又∵OA=OC,∴四边形AECF是平行四边形,又∵AC=2OE,EF=2OE,∴AC=EF,∴平行四边形AECF是矩形.8.(2022·潮安模拟)如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,连接BE,CE.(1)求证:BE=CE.(2)求∠BEC的度数.【解析】(1)∵四边形ABCD为正方形,∴AB=AD=CD,∠BAD=∠ADC=90°,∵三角形ADE为正三角形,∴AE=AD=DE,∠EAD=∠EDA=60°,∴∠BAE=∠CDE=150°,在△BAE和△CDE中,A∴△BAE≌△CDE,∴BE=CE.(2)∵AB=AD,AD=AE,∴AB=AE,∴∠ABE=∠AEB,又∵∠BAE=150°,∴∠ABE=∠AEB=15°,同理:∠CED=15°,∴∠BEC=60°-15°×2=30°.9.(2022·邵阳县一模)如图,平行四边形ABCD中,G是CD的中点,E是边AD上的动点,EG的延长线与BC的延长线交于点F,连接CE,DF.(1)求证:四边形CEDF是平行四边形.(2)若AB=3cm,BC=5cm,∠B=60°,当AE=________cm时,四边形CEDF是菱形.(直接写出答案,不需要说明理由)【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴CF∥ED,∴∠FCD=∠EDC,∵G是CD的中点,∴CG=DG,在△FCG和△EDG中,∠∴△CFG≌△DEG(ASA),∴FG=EG,∴四边形CEDF是平行四边形.(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC=5cm,CD=AB=3cm,∠ADC=∠B=60°,∵当DE=CE时,四边形CEDF是菱形,∴当△CED是等边三角形时,四边形CEDF是菱形,∴DE=CD=3cm,∴AE=AD-DE=2cm,即当AE=2cm时,四边形CEDF是菱形.10.(综合培优题)如图1,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,点E在AD的延长线上,且PA=PE,PE交CD于点F.(1)证明:PC=PE.(2)求∠CPE的度数.(3)如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,当∠ABC=120°时,连接CE,试探究线段AP与线段CE的数量关系,并说明理由.【解析】(1)在正方形ABCD中,AB=BC,∠ABP=∠CBP=45°,在△ABP和△CBP中,A∴△ABP≌△CBP(SAS),∴PA=PC,∵PA=PE,∴PC=PE.(2)由(1)知,△ABP≌△CBP,∴∠BAP=∠BCP,∴∠DAP=∠DCP,∵PA=PE,∴∠DAP=∠E,∴∠DCP=∠E,∵∠CFP=∠EFD(对顶角相等),∴180°-∠PFC-∠PCF=180°-∠DFE-∠E,即∠CPE=∠EDF=90°.(3)在菱形ABCD中,AB=BC,∠ABP=∠CBP=60°,在△ABP和△CBP中,A∴△ABP≌△CBP(SAS),∴PA=PC,∠BAP=∠BCP,∵PA=PE,∴PC=PE,∴∠DAP=∠DCP,∵PA=PE,∴∠DAP=∠DEP,∴∠DCP=∠DEP.∵∠CFP=∠EFD(对顶角相等),∴180°-∠PFC-∠PCF=180°-∠DFE-∠DEP,即∠CPF=∠EDF=180°-∠ADC=180°-120°=60°,∴△EPC是等边三角形,∴PC=CE,∴AP=CE.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于点E,垂足为点F,连接CD,BE.(1)求证:CE=AD.(2)当D在AB的中点时,四边形BECD是什么特殊四边形?说明你的理由.(3)若D为AB中点,则当∠A的大小满足条件时,四边形BECD是正方形?请说明你的理由.【解析】(1)∵DE⊥BC,∴∠DFB=90°,∵∠ACB=90°,∴∠ACB=∠DFB,∴AC∥DE.∵MN∥AB,即CE∥AD,∴四边形ADEC是平行四边形,∴CE=AD.(2)四边形BECD是菱形.理由如下:∵D为AB中点,∴AD=BD.∵CE=AD,∴BD=CE.∵BD∥CE,∴四边形BECD是平行四边形.