2022-2023学年湖南省张家界市成考专升本高等数学一自考真题(含答案)

2022-2023学年湖南省张家界市成考专升本高等数学一自考真题(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.A.

B.0

C.ln2

D.-ln2

2.

3.

4.设z=ysinx，则等于()．A.A.-cosxB.-ycosxC.cosxD.ycosx

5.设y1，y2为二阶线性常系数微分方程y"+p1y'+p2y=0的两个特解，则C1y1+C2y2()．A.A.为所给方程的解，但不是通解B.为所给方程的解，但不一定是通解C.为所给方程的通解D.不为所给方程的解

6.

7.设k＞0，则级数为()．A.A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.收敛性与k有关

8.

9.设函数f(x)=COS2x，则f′(x)=()．

A.2sin2x

B.-2sin2x

C.sin2x

D.-sin2x

10.设f(x)在点x0的某邻域内有定义，且，则f'(x0)等于()．A.-1B.-1/2C.1/2D.1

11.

12.若y(x-1)=x2-1，则y'(x)等于（）A.2x+2B.x(x+1)C.x(x-1)D.2x-1

13.

14.

15.函数y=x2-x+1在区间[-1，3]上满足拉格朗日中值定理的ξ等于()．

A.-3/4B.0C.3/4D.1

16.在空间中，方程y=x2表示()A.xOy平面的曲线B.母线平行于Oy轴的抛物柱面C.母线平行于Oz轴的抛物柱面D.抛物面

17.已知y=ksin2x的一个原函数为y=cos2x，则k等于()。A.2B.1C.-1D.-2

18.

19.下列关于构建的几何形状说法不正确的是()。

A.轴线为直线的杆称为直杆B.轴线为曲线的杆称为曲杆C.等截面的直杆称为等直杆D.横截面大小不等的杆称为截面杆

20.A.A.2B.1C.0D.-1

二、填空题(20题)21.设，其中f(x)为连续函数，则f(x)=______．

22.

23.

24.

25.

26.

27.设z=x2y2+3x,则

28.

29.

30.

31.

32.微分方程dy+xdx=0的通解y=_____.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.微分方程xy'=1的通解是_________。

40.

三、计算题(20题)41.

42.求微分方程的通解．

43.

44.

45.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．

46.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．

47.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

48.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．

49.证明：

50.

51.

52.求曲线在点(1，3)处的切线方程．

53.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

54.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

55.

56.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则

57.

58.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．

59.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．

60.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．

四、解答题(10题)61.

62.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

63.求微分方程的通解。

64.

65.

66.

67.

68.

69.

70.求，其中D为y=x-4，y2=2x所围成的区域。

五、高等数学(0题)71.当x→0时，tan2x是()。

A.比sin3x高阶的无穷小B.比sin3x低阶的无穷小C.与sin3x同阶的无穷小D.与sin3x等价的无穷小

六、解答题(0题)72.

参考答案

1.A为初等函数，定义区间为，点x=1在该定义区间内，因此

故选A．

2.D解析：

3.A

4.C本题考查的知识点为高阶偏导数．

由于z=ysinx，因此

可知应选C．

5.B本题考查的知识点为线性常系数微分方程解的结构．

已知y1，y2为二阶线性常系数齐次微分方程y"+p1y'+p2y=0的两个解，由解的结构定理可知C1y1+C2y2为所给方程的解，因此应排除D．又由解的结构定理可知，当y1，y2线性无关时，C1y1+C2y2为y"+p1y'+p2y=0的通解，因此应该选B．

本题中常见的错误是选C．这是由于忽略了线性常系数微分方程解的结构定理中的条件所导致的错误．解的结构定理中指出：“若y1，y2为二阶线性常系数微分方程y"+p1y'+p2y=0的两个线性无关的特解，则C1y1+C2y2为所给微分方程的通解，其中C1，C2为任意常数．”由于所给命题中没有指出)y1，y2为线性无关的特解，可知C1y1+C2y2不一定为方程的通解．但是由解的结构定理知C1y1+C2y2为方程的解，因此应选B．

6.A

7.A本题考查的知识点为级数的绝对收敛与条件收敛．

由于为莱布尼茨级数，为条件收敛．而为莱布尼茨级数乘以数-k，可知应选A．

8.D

9.B由复合函数求导法则，可得

故选B．

10.B由导数的定义可知

可知，故应选B。

11.C解析：

12.A因f(x-1)=x2-1，故f(x)=(x+1)2-1=x2+2x，则f'(x)=2x+2.

13.B解析：

14.D

15.D解析：本题考查的知识点为拉格朗日中值定理的条件与结论．

由于y=x2-x+1在[-1，3]上连续，在(-1，3)内可导，可知y在[-1，3]上满足拉格朗日中值定理，又由于y'=2x-1，因此必定存在ξ∈(-1，3)，使

可知应选D．

16.C方程F(x，y)=0表示母线平行于Oz轴的柱面，称之为柱面方程，故选C。

17.D本题考查的知识点为可变限积分求导。由原函数的定义可知(cos2x)'=ksin2x，而(cos2x)'=(-sin2x)·2，可知k=-2。

18.B

19.D

20.Df(x)为分式，当x=-1时，分母x+1=0，分式没有意义，因此点

x=-1为f(x)的间断点，故选D。

21.2e2x本题考查的知识点为可变上限积分求导．

由于f(x)为连续函数，因此可对所给表达式两端关于x求导．

22.y=Cy=C解析：

23.

本题考查了一元函数的导数的知识点

24.

25.

26.1/21/2解析：

27.2xy(x+y)+3本题考查的知识点为二元函数的偏导数．

由于z=x2y2+3x，可知

28.11解析：

29.-1本题考查了利用导数定义求极限的知识点。

30.x(asinx+bcosx)

31.6．

本题考查的知识点为无穷小量阶的比较．

32.

33.y=f(0)

34.

35.

36.

37.

38.5．

本题考查的知识点为二元函数的偏导数．

解法1

解法2

39.y=lnx+C

40.x=-3x=-3解析：

41.由一阶线性微分方程通解公式有

42.

43.

则

44.

45.

46.

47.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

48.由二重积分物理意义知

49.

50.

51.

52.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

53.

54.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

55.

56.由等价无穷小量的定义可知

57.

58.函数的定义域为

注意

59.

60.

列表：

说明

61.

62.

63.

对应的齐次方程为特征方程为特征根为所以齐次方程的通解为设为原方程的一个特解，代