第26讲空间直线平面的平行的判定4种常见方法

第26讲空间直线、平面的平行的判定4种常见方法【考点分析】考点一：直线与平面平行的判定：三种思路：思路一：构造中位线或线段成比例思路二：构造平行四边形思路三：证明面面平行得到线面平行【题型目录】题型一：构造中位线证明线面平行题型二：构造平行四边形证明线面平行题型三：平面与平面平行的判定题型四：面面平行证线面平行【典型例题】题型一：构造中位线证明线面平行【例1】如图，长方体中，，，点为的中点.(1)求证：直线平面PAC；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）设和交于点，可得，根据线面平行的判定定理即可得证．【详解】（1）设和交于点，则为的中点，连接，∵是的中点，∴，又∵平面，平面，∴直线平面；【例2】如图，在直三棱柱中，，，为的中点.(1)证明：平面；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）使用线面平行判定定理证明即可；【详解】（1）如图，连接与交于点，则为中点，连接，∵为中点，∴，∵平面，平面，∴平面.【例3】如图，在长方体中，底面ABCD是边长为2的正方形，，E，F分别为AB，的中点.(1)证明:平面；【答案】(1)证明详见解析【分析】（1）通过构造平行四边形的方法，结合线面平行的判定定理来证得平面.【详解】（1）设，连接，由于分别是的中点，所以，由于，所以，所以四边形是平行四边形，所以，由于平面，平面，所以平面.【例4】正三棱柱的底面正三角形的边长为，为的中点，.(1)证明：平面；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到线线平行，从而线面平行；【详解】（1）证明：连接，设，连接∵是正三棱柱的侧面，∴为矩形，∴是的中点，∴是的中位线，∴，又平面，平面，∴平面.【例5】如图所示的四棱锥中，底面是梯形，，，，，平面，.（1）证明：平面；【详解】（1）证明：，，，为等边三角形，，在中，，，由余弦定理得，即，，如图，连接交于点，连接，，，，，，又平面，平面，平面【例6】如图，在三棱锥中，M，N分别为和的重心．求证：平面ABC．【答案】证明见解析【详解】证明：连接，分别与，交于，，则，是，的中点，、分别是、的重心，，平面，平面，平面．【例7】如图，已知在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是梯形，AB//CD，AD⊥DC，CD=2AB，PD=AD=AB，点E是棱PC上一点，且CE=2PE．证明：PA//平面BDE.【答案】证明见解析.【分析】连，连，根据给定条件，证明，再利用线面平行的判定推理作答.【详解】连，连，如图，梯形中，，且，则有，而，因此，于是得，又平面，平面，所以平面，.【题型专练】1．如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，E为棱DD1的中点．求证：BD1∥平面ACE．【答案】答案见解析【分析】连接BD交AC于点O，可得EO∥BD1，结合直线与平面平行的判定定理即可得证.【详解】连接BD交AC于点O，连接EO，因为四边形ABCD为平行四边形，所以O为BD的中点，又因为E为DD1的中点，所以EO为△BD1D的中位线，所以EO∥BD1，又因为BD1?平面ACE，EO?平面ACE，所以BD1∥平面ACE．2．在直三棱柱中，E是棱AB的中点，，．(1)求证：平面；(2)求异面直线与所成的角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接交于O，证明即可；（2）由（1）可知，或其补角为异面直线与所成的角.【详解】（1）连接交于O，则O是的中点，连接OE，则OE是的中位线，∴，∵，，∴平面；（2）由（1）可知，或其补角为异面直线与所成的角，由余弦定理，得，，，，∴，，∴异面直线与所成的角的余弦值为．3.如图，在直三棱柱中，已知为的中点.求证：平面.【答案】连接与交于点，则是的中点，连接OD，如图，因为D是AB的中点，所以,平面，平面，平面.4.已知正方体中，P?Q分别为对角线BD?上的点，且.（1）作出平面PQC和平面的交线（保留作图痕迹），并求证：平面；【详解】连结CP并延长与DA的延长线交于M点，则平面PQC和平面的线为，因为四边形ABCD为正方形，所以，故，所以，又因为，所以，所以.又平面，PQ不在平面内，故平面.5.如图，四棱锥的底面是平行四边形，M是的中点，求证：平面．【详解】证明：连结交于，连结因为是平行四边形，所以是中点.因为M为的中点，所以.因为平面，平面，所以平面．6．如图，在五面体P-ABCD中，，底面ABCD是菱形，且，点M是AB的中点，点E在棱PD上，满足．求证：平面EMC．【答案】证明见解析【分析】由线面平行的判定定理证明【详解】证明：连接BD，交MC于F，连接EF，在菱形ABCD中，三角形BMF与三角形FCD相似，且相似比为1:2，所以，故，而BP是平面EMC外的直线，平面EMC，所以平面EMC．题型二：构造平行四边形证明线面平行【例1】已知是矩形所在平面外一点，，分别是，的中点，求证：平面.【详解】取中点，连接，，是中点，是中点，，，是矩形边中点，，，，，所以四边形是平行四边形，，且是平面外的一条直线，是平面上的一条直线，平面.【例2】在如图所示的空间图形中，△ABC是任意三角形，AE∥CD，且AE＝2a，CD＝a，F为BE的中点．求证：DF∥平面ABC.【详解】证明：取AB的中点G，连接FG，CG因为F，G分别是BE，AB的中点，所以FG∥AE且FG＝AE.因为AE＝2a，CD＝a，所以CD＝AE.因为AE∥CD，所以CD∥FG且CD＝FG，从而四边形CDFG为平行四边形，所以DF∥CG.又CG?平面ABC，DF?平面ABC，所以DF∥平面ABC.【例3】如图，在正方体中，M，N分别为和的中点.求证：平面ABCD.【详解】在正方体中，取AB中点E，连接CE，ME，如图，因M是的中点，则ME//AA1//CC1，且，又N是的中点，于是得ME//CN，且，则有四边形CEMN是平行四边形，从而有MN//CE，平面ABCD，平面ABCD，所以平面ABCD.【例4】如图，在正方体中，E为的中点．（Ⅰ）求证：平面；【解析】（Ⅰ）如下图所示：在正方体中，且，且，且，所以，四边形为平行四边形，则，平面，平面，平面；【例5】在三棱柱中，，平面，、分别是棱、的中点.(1)设为的中点，求证：平面；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）作出辅助线，证明得到线线平行，从而证明线面平行；【详解】（1）连接，，因为点，，分别为，，的中点，所以且，，，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面【题型专练】1．如图，四棱锥中，底面是平行四边形，、分别是、的中点．证明：平面．【答案】证明见解析【分析】取的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，利用线面平行的判定定理可证得结论成立.【详解】证明：取的中点，连接、，因为、分别是、的中点，所以且．因为四边形为平行四边形，则且，为的中点，则且，且，所以，四边形为平行四边形，故，平面，平面，平面.2．如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面为正三角形，为线段上一点，为的中点.(1)当为的中点时，求证：平面.(2)当平面，求出点的位置，说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)存在点M，点M为PD上靠近P点的三等分点，理由见解析.【分析】（1）取中点为，连接，利用中位线、平行四边形性质及平行公理有，即为平行四边形，则，最后根据线面平行的判定证结论；（2）连接，相交于，连接，由线面平行的性质得，利用相似比可得，即可判断的位置.【详解】（1）取中点为，连接，在中，为的中点，为中点，，在平行四边形中，为的中点，，，四边形为平行四边形，面面，平面；（2）连接，相交于，连接，面，面面面，，，即存在点M，M为PD上靠近P点的三等分点.3．在四棱锥中，四边形为矩形，平面平面，点分别在线段上，且，．求证：平面.【答案】证明见解析【分析】取中点，由三角形中位线性质和平行四边形的判定可证得四边形为平行四边形，从而得到，由线面平行的判定可证得结论.【详解】证明：取的中点，连接，；在中，点分别为的中点，且．在矩形中，点为的中点，且，且，四边形是平行四边形，，平面，平面，平面.4．如图，M，N，K分别是正方体的棱的中点．求证：∥平面．【答案】证明见解析【分析】由线面平行的判定定理证明【详解】证明：连接．因为N，K分别为的中点，所以且，于是四边形为平行四边形，所以．因为平面，平面，所以∥平面．题型三：平面与平面平行的判定利用判定定理证明两个平面平行的一般思路：第一步：在一个平面内找出两条相交直线.第二步：证明这两条相交直线分别平行于另一个平面.第三步：利用平面与平面平行的判定理得出结论.【例1】如图，正方体中，分别为的中点，求证:平面平面.【答案】见解析；【详解】取中点，连接，，，∵为正方体，，为，中点，∴，，，，∴四边形，为平行四边形，，，∵平面，平面，平面，平面，∴∥平面，∥平面，∵平面，平面，，∴平面∥平面.【例2】如图，在三棱柱中，，，分别为，，的中点．(1)求证：平面平面；(2)若平面，求证：为的中点．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析．【分析】（1）由已知可得，得到平面，同理得到平面，再由面面平行的判定可得平面平面；（2）由公理及平面与平面平行的性质得，则，由为的中点，可得为的中点．（1）证明：如图，，分别为，的中点，，平面，平面，平面，又，分别为，的中点，，又，四边形为平行四边形，则，平面，平面，平面，又，平面，平面平面；（2）证明：平面平面，平面平面，平面与平面有公共点，则有经过的直线，交于G，则，得，为的中点，为的中点．【例3】如图所示，已知是棱长为3的正方体，点E在上，点F在上，G在上，且，H是的中点．(1)求证：四点共面(2)求证：平面平面．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【分析】（1）在上取一点N使得DN＝1，连接CN，EN，可证明四边形、四边形CNEB是平行四边形，可得，CNBE，则，即可证明结论；（2）利用数据可证明HGFB，，利用线面平行的判定定理可得到HG平面，平面，然后利用面面平行的判定定理即可得证（1）在上取一点N使得DN＝1，连接CN，EN，则AE＝DN＝1，因为，所以四边形是平行四边形，所以，同理四边形DNEA是平行四边形，所以ENAD，且EN＝AD，又BCAD，且AD＝BC，所以ENBC，EN＝BC，所以四边形CNEB是平行四边形，所以CNBE，所以，所以四点共面；（2）因为H是的中点，所以，因为，所以，因为，且，所以，所以，所以HGFB，因为HG平面，FB平面，所以HG平面，因为所以四边形是平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，又平面所以平面平面【例4】如图，已知正方体的棱长为分别是的中点.(1)求证：平面平面；(2)求证：平面；【答案】(1)详见解析；(2)详见解析；【分析】（1）利用正方体的性质及线面平行的判定定理可得平面，平面，再利用面面平行的判定定理即得；（2）利用线面平行的判定定理即得；（1）由正方体的性质可得，∴四边形为平行四边形，∴，平面，平面，∴平面，同理可得平面，又，∴平面平面；（2）由题可知，又，∴，又平面，平面，∴平面；【题型专练】1．如图所示，在三棱柱中，E，F，G，H分别是AB，AC，，的中点．求证：平面平面BCHG．【答案】证明见解析【分析】证明，进而证明出平面BCHG，再证明，得到平面BCHG，从而证明面面平行.【详解】证明：∵E，F分别是AB，AC的中点，∴．∵平面BCHG，平面BCHG，∴平面BCHG．∵，且∴四边形是平行四边形，∴．∵平面BCHG，平面BCHG，∴平面BCHG．∵，∴平面平面BCHG．2．如图所示，在正方体中，，，分别是，，的中点．求证：平面平面．【答案】证明见解析【分析】连接，由三角形中位线定理可得，再由正方形的性质可证得，则，利用线面平行的判定定理可证得平面，同理可证得平面，再利用面面平行的判定定理可证得结论.【详解】证明：如图，连接．因为，分别是，的中点，所以．因为∥，，所以四边形为平行四边形，所以，所以．因为平面，平面，所以平面．同理可证平面．又因为，，平面，所以平面平面．3．如图，在正方体中，E，F分别为棱的中点.求证：平面平面BDF【答案】证明见解析【分析】根据，可证明平面；又，可得平面.进而根据线面平行证明面面平行.【详解】证明：在正方体中，E，F分别为棱的中点，所以.因为，且，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以又平面BDF，平面BDF，所以平面.同理，，又平面BDF，平面BDF，所以平面.又，平面，所以平面平面4.在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB．已知G，H，I分别是EC，FB和FC的中点，求证：平面GHI∥平面ABC．【解析】证明：∵G，H，I分别是EC，FB和FC的中点，∴HI∥BC，GI∥EF，∵EF∥DB，∴GI∥DB，∵HI∩GI＝I，HI、GI?平面GHI，BC∩DB＝B，BC、DB?平面ABC，∴平面GHI∥平面ABC．题型四：面面平行证线面平行【例1】几何体是四棱锥，为正三角形，，，为线段的中点.(1)求证：平面；(2)线段上是否存在一点，使得四点共面？若存在，请找出点，并证明；若不存在，并说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)存在，点为线段上靠近点的三等分点，证明见解析.【分析】（1）取的中点，连接，利用面面平行的判定、性质推理作答.（2）延长相交于点，连接交于点，连接，利用线面平行的性质及平行推比例式推理作答.【详解】（1）取的中点，连接，如图，因为分别为的中点，有，而平面平面，则平面，又为正三角形，为等腰三角形，，有，即有，而，于是得，平面平面，因此平面，因，平面，则平面平面，又平面，所以平面.（2）延长相交于点，连接交于点，连接，过点作交于点，如图，因为平面，平面，平面平面，则，即四点共面，由（1）及已知，，得，即，又，则，则有，即，点为线段上靠近点的三等分点，所以线段上存在点，使得四点共面，点为线段上靠近点的三等分点.【例2】已知三棱锥中，△ABC，△ACD都是等边三角形，，E，F分别为棱AB，棱BD的中点，G是△BCE的重心．(1)求异面直线CE与BD所成角的余弦值；(2)求证：FG平面ADC．【答案】(1)；(2)见解析【分析】（1）取的中点，连接，证明，则异面直线CE与BD所成角的平面角即为或其补角，解即可；（2）取的中点，连接，证明平面平面，再根据面面平行的性质即可得证.（1）解：取的中点，连接，因为E为棱AB的中点，所以，则异面直线CE与BD所成角的平面角即为或其补角，设，则，，在中，，即异面直线CE与BD所成角的余弦值为；（2）解：取的中点，连接，因为E，F分别为棱AB，棱BD的中点，所以，又平面，平面，所以平面，平面，又平面，所以平面平面，又因为G是△BCE的重心，所以点在上，故平面，所以FG平面ADC．【例3】如图所示的几何体中，底面ABCD是等腰梯形，平面且E，F分别为，的中点．证明：面ABCD；【答案】证明见解析【分析】根据线面平行的判定定理可得平面ABCD，平面ABCD，再根据面面平行的判定定理及性质可证明.【详解】解：证明：取的中点G，连接EG，FG，AC，因为，平面ABCD，平面ABCD，所以平面ABCD.因为，，所以四边形AGFC是平行四边形，，又平面ABCD，平面ABCD，所以平面ABCD.因为，平面，所以平面平面ABCD.因为平面ABCD，所以平面ABCD．【例4】如图，四棱台中，底面为直角梯形，，，，为棱的中点，证明：平面.【答案】证明见解析【分析】延长CC1，BB1交于点V，在BB1上取点Q，使，再连BD交AC于点O，连接OQ，证明，即可推理作答.【详解】在四棱台中，在BB1上取点Q，使，连BD交AC于点O，连接OQ，如图，延长CC1，BB1交于点V，由，则，，则，即，又平面，平面，于是得平面，在直角梯形中，，则，于是得，又平面，平面，则平面，又，平面OQC，因此得平面平面OQC，又平面OQC，所以平面.【例5】如图，是圆柱底面圆的直径，点、是的两个三等分点，、为圆柱的母线，求证：平面【答案】证明见解析【分析】连结BF，OF，证明，进而证得平面OCD和平面OCD，再经推理即可证得结论.【详解】连结BF，OF，如图，因AB是圆O的直径，、是的两个三等分点，则，而OF=OB，即是正三角形，于是得，则，平面OCD，平面OCD，因此有平面OCD，又CD，BE均为圆柱的母线，则有，平面OCD，平面OCD，因此有平面OCD，又，平面BEF，于是得平面平面OCD，而平面BEF，所以平面OCD．【题型专练】1．如图，在等腰直角三角形中，分别是上的点，且