二项式定理优秀教学设计

2222222二式理第一课时教目掌握二项式定理有其推导方法以及二项展开式的有关特征，并能用它们计算和论证一些简单问题。教过【设置情境】问题某投资10万两种获利的能供选择种年利率％单计，年收回本金和利息。另一种年利率9，按每年复利一次计算，10年后收回本金和利息。试问，哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？分析：本金10万，年利率％按单利计算年后的本利和是×（＋1110）＝21（万元）本金10万，年利率9％，按每年复利一次计算，10年的本利和是10那么如何计算

(110

的值呢？能否在不借助计算器的情况下，快速、准确地求出其近似值呢？这就得研究形如

)

n

的展开式。【探索研究】由

)

2a2ab2222(a)3ab23

a

1

a

b

ab

3b3那么

a)

4

)()(a)展开后，它的各项是什么呢？容易看到，等号右边的积的展开式的每一项，是从每个括号里任取一个字母的乘积，因而各项都是次式，即展开式应有下面形式的各项：a

4a3a2ab3b现在来看上面各项在展开式中出现的次数，也就是看展开式中各项的系数是什么？在上面括号中：每个都不取b的情况有1种即

C

04

种，所以

a

4

的系数是

C

04

；恰有个取情况下有

4

种，所以

a

的系数是

4

；恰有个取情况下有C种，所以的数是C；4恰有个取情况下有

C

34

种，所以

ab

3

的系数是

C

34

；

444rn3444rn3都取b的况有C种所以的数是；4因此)4a1a3ab44

。请同学们归纳、猜想

a一般地，对于任意正整数n上面的关系式也成立，即有()nC1annnn

n2

an

nbr

n

n

(N.)这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做

)

n

的二项展开式。在这里，教师应当指出，上面的定理严格来说是必须证明的，由于知识的局限，以后再证明。二项展开式有以下特征：（1共有项（2各项里的指数从n起次减小1直到止指数从起依次增加，直到n为止。每一项里的指数和均为。利用二项式定理可以求二项展开式。例展

1(1)

。解：

1)1)x

11()()4()xx

4641x2x3x4

。例展

1x)

6

。解：先将原式化简，再展开x

12x)6)(2x

6

13

(2x)

(2x)

(2x)

(2x)

x

x

1x

x

x6012x3xx160)x2x3例用次定理证明：

。（1

1110

能被100整；（2

n

n

被(n

2

整除

nnN

）证明）

1110(10

1((n1((n22(10

110

9

10

8

10

10110

8

110

7

210

6

∴

1110

能被整。（2可先让学生仿照（1证明，教师再讲解。∵

n

n

(n

n

C

1n

(

n

C

2n

(n

n

C

nn

(nn

n

1n

(

n

2n

(

n

n

(2n而

N

∴

(

n

1n

(

n

是正整数。故

n

n

能被(

2

整除。【演练反馈】．计算：

(a

5

5

。（由一名学生板演后，教师讲解）．求证：

2

1n

2

n

nn

2

n

。（由一名学生板演后，教师讲解）．求

25

展开式中含x项系数。（学生练习后，教师分析讲解）．解决本节课开始提出的问题。【参考答案】．解：

(a

5

a

5()51(a)4(a)23a)51(4()33(a)a5551()()55

。．证明：右边

10

n(9n(32nn1n

2(

2n

2(n

nn

xx2

2

1n

2

2n

2

C

nn

2

左边故原式得证。．解法：

x

2

x2)

5

10

15

2)

45

x

4

C

55

5

。显然只有

x2)

5

中含有x，其系数为2405

。解法：由于

x22)x5(

5

C

15

4

C

45

5

15

4

C

45

4

5)∴展开式中含项系数是32C4455

。．解：

1010(10.09)

110

0.09

10

0.09

2

22.645由此可见，按年利率9每年复利一次计算的要比年利率％单利算更有利年后多得利息万元。【总结提炼】．二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式——二项式的乘方的展开式要解掌握展开式的规律用它就可以对二项式展开进行计算或证