微分几何 常高斯曲率的曲面

微分几何常高斯曲率的曲面第一页，共十四页，2022年，8月28日以上三种情形可从微分方程的理论中推得，例如：（1）正常数高斯曲率（K>0）的曲面，方程的通解为这里A(v),B(v)都是v

的函数，由初始条件可得A(v)=1，,B(v)=0。第一基本形式为例：球心在原点，半径为R

的球面。第二页，共十四页，2022年，8月28日（2）K=0，则微方程的通解为，由初始条件得因此与平面的第一基本形式相同，或者说与平面等距。（3）K<0，则微分方程的解为由初始条件得下一节讨论这种情形。A(v)=1，,B(v)=0第三页，共十四页，2022年，8月28日7.2伪球面（负高斯曲率的曲面）1、定义：设曲线（C）上任一点的切线上介于切点和z轴之间的线段始终保持定长a

，此曲线称为曳物线，z

轴称为它的渐近线。2、曳物线的方程设它的参数表示为x=x(t),z=z(t),曲线上一点P(x,z)的切线的的方向为，故切线上一点的坐标是如果这点在oz

轴上，则横坐标为0，即求得曲线在P

点的切线与z轴的交点的坐标为由两点间距离公式得令x=asint并两边积分得曳物线方程为：第四页，共十四页，2022年，8月28日3、伪球面将ozx平面上的曳物线绕oz

由旋转一周所得的旋转面叫伪球面，它的参数表示为计算知因此它的坐标曲线网是一个半测在坐标网，u线是测地线，其高斯曲率为所以伪球面为负高斯曲率的曲面。这样我们得到：常高斯曲率的曲面有：当K>0时，曲面与球面等距，K=0时与平面等距，K<0时与伪球面等距。第五页，共十四页，2022年，8月28日4、命题：若通过伪球面的第一基本形式把它经过保角变换映射到平面上，则伪球面的测地线对应于园心在x

轴上的园。要证明这个命题，先作保角变换：与平面第一基本形式成比例，因此从曲面上的点到平面上的点的变换是保角变换。现在来看看它的测地线：现在第六页，共十四页，2022年，8月28日代入测地线方程有

K=1时，K=2时，所以测地线方程为由第一式由第二式积分之第七页，共十四页，2022年，8月28日除以得积分整理得这是xoy

平面上园心在x

轴上的园的方程，命题得到证明。下面考虑xoy

平面上在x

轴上方的半平面，我们称之为罗氏平面，伪球面上的测地线经过保角变换映成罗氏平面上园心在x

轴上的半园，我们把这半园称为罗氏直线，因此经过罗氏平面上任两点P1

到P2

正好有一条罗氏直线连结它们，通过保角变换，过伪球面上任两点，也就有唯一条测地线连结它们。第八页，共十四页，2022年，8月28日7、3罗氏几何1、罗氏平面上的距离设是罗氏平面上的两点，通过保角变换，它们对应伪球面上两点，连结这两点有唯一条测地线，我们把这两对应点之间的测地线的弧长定义为P1

到P2

的罗氏距离。由得积分沿着P1

和P2对应的伪球面上两点之间的唯一测地线进行，注意到测地线的方程为作坐标变换第九页，共十四页，2022年，8月28日设罗氏直线P1P2与x轴的交点为P0和P∞，由于这四点在一园周上，我们定义它们的非调和比，在园上取一点S，

因此罗氏距离公式为定义第十页，共十四页，2022年，8月28日当或时，交比，所以可以认为x

轴上的点或是罗氏直线上的“无穷远点”，也就是说，x

轴是罗氏平面上的“无穷远线”。2、罗氏平面上的平行线罗氏平面上的直线l

就是园心在x

轴上的上半园，它交x

轴于P0和P∞两点。设P

是罗氏平面上在直线l

外的任一点，则过P

和P0有一条罗氏直线l0

，过P和P∞有一条罗氏直线l∞，直线l与直线l0交于“无穷远点”P0

，因此可以认为直线l与直线l0是平行的，同理直线l,l∞也是平行的。见图因此在罗氏平面上，过直线l外一点P可以作两条直线l0

和

l∞平行于于直线l，因而在罗氏平面上欧氏几何的平行公理不成立。第十一页，共十四页，2022年，8月28日3、罗氏平面上的运动把定义了笛卡尔直角坐标(x,y)的平面看成复平面，平面上的点(x,y)对应一个复数z=x+iy

，罗氏平面对应于y≥0的上半复平面，在复平面上作线性变换其中p,q,r,s

是实数，且，由复函知，这是复平面上的保角变换，它使上半