2022年浙江省台州市高考数学一模试卷及答案解析

2022年浙江省台州市高考数学一模试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.(4分)已知集合4={耳1W》<4},8={x[0<x<3},则ZU8=()

A.{x\0<x<1}B.{x|0<x<4}C.{x|lWx<3}D.{x|l^x<4}

2.（4分）若椭圆C：a+丫2=1（7n>i）的离心率为彳，则实数加的值为（）

A.2B.3C.V2D.V3

3.（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

C.5D.6

4.（4分）已知平面四边形N8CD,则“筋=XCD（人为实数），\AD\=\BC\n是“四边形

/8CO是平行四边形”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.（4分）函数/'（X）=等骗的图象可能是

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c.D.

%+2y<10

6.（4分）若实数x,y满足2x+yN-l,则||的最大值为（）

,x-y<0

7.（4分）若从编号为1〜10的十个小球中取3个不同的小球，且3个小球的编号两两不连

续，则不同的取法共有（）

A.8种B.36种C.56种D.64种

8.（4分）已知奇函数/（x）在R上是增函数,g（x）—x2f（.x）.若a=g（ln-^'）,h=g（—0.66）,

1

c=^（2-3）,则a,h,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a

9.（4分）已知在数列｛斯｝中，ai=a,命题p：对任意的正整数〃，都有即+i=占.若对

a九一乙

于区间〃中的任一实数。，命题P为真命题，则区间M可以是（）

A.（314）B.（2,3）C.（yy>学）D-（苓，yy）

10.（4分）已知在正方体ABCD-A\B\C\D\中，点E为棱BC的中点，直线I在平面小囱。。

内.若二面角Z-/-E的平面角为0,则cosO的最小值为（）

V311V33

A.—B.-C.—D.-

42135

二、填空题：本大题共7小题，共36分。多空题每小题4分；单空题每小题4分。

11.（4分）古希腊著名数学家阿基米德是这样求抛物弓形面积的：以抛物弓形的弦为底，

以抛物线上平行于弦的切线的切点作弓形的内接三角形；在以该内接三角形两腰为弦的

两个抛物线弓形内用同样的方法作出内接三角形，等等.从第二次开始，每次作出的内

接三角形面积之和是前一次所作出的内接三角形面积和的3若第一次所作的内接三角形

面积为1,则第三次所作的内接三角形面积和为.

12.（6分）在复平面内，复数zi=0,Z2=l+应i,Z3=或+i（i为虚数单位）对应的点分

别为O,A,B,则Z2”3=;cosZAOB=.

13.（6分）若2cos-0）=cos（ji+6）,则tanO=；2cos20+sin20=.

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14.(6分)已知袋中装有大小相同的红球，黄球和蓝球，从中随机摸取一个球，摸出红球

或黄球的概率为0.58,摸出红球或蓝球的概率为0.82.则从中随机摸取一个球，摸出红

球的概率为;若每次随机摸取一个球，有放回地摸取两次，设X表示两次摸到

红球的总数，则E(X)=.

234

15.(6分)若(1+2x2)(i+x)4=ao+m(x-1)+&(x+1)+a^(x-1)+a4(x+1)+as

(x-1)5+O6(X+1)6,贝！］ao-a\+ai-413+04-as+a(>—；as—.

a432b4

16.(4分)已知正实数a,b满足a+2b=1,则七+——的最小值为______.

ba

17.(4分)己知实数入1,入2,入3,平面向量a，b.满足a-b=0,|a|=6,闻=8,c=%a+

(1-XJb.若存在唯一实数入1，使得浸=。(入22+入3力)，则|基一人3&的最小值是一

三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

B

18.(14分)已知△/2C中，角B,C所对的边分别为a,b,c,2asirt4cos+6cos2/=

b.

(I)求5的值；

(II)若a+c=4,4ABC的面积为百，求a的值.

19.(15分)已知数列｛“”｝是等差数列，其首项和公差都为1,数列｛加｝是等比数列，其首

项和公比都为2,数列｛“”•为｝的前〃项和为S”.

(I)求S,；

1117

(II)证明：当“6N*时，—+—,

Si$2S九10

20.(15分)如图，在四棱锥S-488中，底面Z8CZ)为直角梯形，AD//BC,ZSAB^Z

DAB=60°,S/=3,AB=AD=2BC=2,SB=SD,点E在线段8上，/E与8。相交

于点G,点G是线段8。的中点.

(I)证明：平面SAE-,

(II)若点F为线段S£的中点，记直线SC与平面/8F所成角为。，求sin。的值.

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s

21.(15分)已知抛物线E：y=2px(p>0),点4(2,2a)在抛物线上，斜率为2的直线

/与抛物线交于8,C两点(点C在点3的下方).

(I)求抛物线E的方程；

(II)如图，点。(X”以)在抛物线E上，且xi>2,线段与线段8C相交于点尸.若

\PA\\PD\=2\PB\\PQ^0,当△4)。面积取到最大值时，求点C的坐标.

22.(15分)已知a,%6R,设函数/(x)—In(x+a)-kax.

(I)当左=1时，若函数/(x)在(-a,+8)上单调递增，求实数。的取值范围;

(II)若对任意实数。，函数f(x)均有零点，求实数上的最大值；

(III)若函数/(X)有两个零点XI，X2,证明：/冷+a(%l+%2)V高天

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2022年浙江省台州市高考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.(4分)已知集合4={x|lWx<4},5={x|0<x<3},则/U8=()

A.{x|0<x<l}B.{x|0<x<4}C.{x|l<x<3}D.{x|lWx<4}

【解答】解：•..集合/={x|lWxV4},8={x[0<x<3},

.•./U8={x|04V4}.

故选：B.

25/2

2.（4分）若椭圆C：谆r+y2=的离心率为三，则实数机的值为（）

A.2B.3C.V2D.V3

【解答】解：椭圆C：圣+产=151>1）的离心率为弓，

I-2~~

焦点在x轴上时，a—m,c=Vm2—1,--------=―,解得，*=企；

m2

故选：C.

3.（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

D.6

【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体的直观图：该几何体为底面为直角梯形

高为2的直四棱柱；

如图所示：

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1

故V=2X（1+2）X2X2=6.

故选：D.

4.（4分）已知平面四边形N8C。，则uAB=XCD（人为实数），|筋|=|后是“四边形

/8CO是平行四边形”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解答】解：由在四边形中,AB=XCD,得出AB//DC,

5L.\AD\=\BC\,可得/£>=8C,

得到四边形/8C。为平行四边形或梯形:

反之，由四边形/8C。为平行四边形，得到/O=8C,AB//DC,从而有6=DC=-CD,

故在四边形中，入小（入为实数）,

“n=\AD\=\BC\"是"四边形/8CZ）为平行

四边形”的必要而不充分条件.

故选：B.

5.（4分）函数/。）=起）（兀切的图象可能是（

B.

C.D.

【解答】解：/（-X）==xsi行兀x）=一,俨）X）,则/Xx）是偶函数,排除8,

当OVxVl时，/G）>0,排除G

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故选：A.

x+2y<10

6.(4分)若实数x,y满足2x+y之一1,则||的最大值为()

-y<0

【解答】解：由约束条件作出可行域如图,

联立K百=1。，解得喈,学,

联立解得/(-4,7),

(zx+y=—1

令z=2x-产2,作出直线y=2x,由图可知，平移直线y=2x至/时，z有最小值为-13；

平移直线夕=2x至8时，z有最大值为学.

二||的最大值为13.

故选：C.

7.(4分)若从编号为1〜10的十个小球中取3个不同的小球，且3个小球的编号两两不连

续，则不同的取法共有()

A.8种B.36种C.56种D.64种

【解答】解：将取去的3个不同的小球，且每个小球的编号两两不连续，插入到剩下的7

个小球按顺序排成一列所形成的8个空中的3个空即可，

故有Cg3=56种.

故选：C.

8.(4分)已知奇函数/(x)在R匕是增函数,g(x)—x2f(x).若a=b=g(-0.66),

1

c=g(2~^),则a,b,c的大小关系为()

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A.a<h<cB.a<c<hC.b<a<cD.b<c<a

【解答】解:因为/'(X)为奇函数，则/(-x)=-f(x),

所以g(-X)=(-X)y(-X)=-x1/(x)=-g(x),

故g(X)为奇函数，

当x>0时，x2>0,/(x)>0,/(x)>0,

则g，(x)=2xf(x)+x2f(x)>0

所以g(x)为增函数，

结合g(x)为奇函数，所以g(x)在R上是增函数，

,c222

由于23>/,所以2>dln2>lne^=>0.66,

1

所以-历2V-0.66,In-<-0.66,

11

所以V—0.66<2寸，

11

所以g(/")<g(-0.66)Vg(2亨)，

即a<h<c,

故选：A.

9.(4分)已知在数列｛斯｝中，ai=a,命题p：对任意的正整数〃，都有即+i=占.若对

于区间〃中的任一实数。，命题p为真命题，则区间M可以是()

A.(3,4)B.(2,3)C.(yy)等)D-(号，yy)

【解答】解：p为真命题，则

由从后往前推，

8竺32

4。

T%2---%

-3511-/C

8

用

排除

an除

而a16k

-一

33)>5(34)—

由蛛网图可知aiT,而3£(冷等)，斯之前的项会趋向于3,所以C项排除.

因为(W，皆)=(%-2,册-4)，已经越过不能取的值，故。正确.

故选：D.

10.(4分)已知在正方体ABCD-A\B\C\D\中，点E为棱BC的中点，直线/在平面A\B\C\D\

内.若二面角力-/-E的平面角为3则cos。的最小值为()

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【解答】解：连接4E,取4E的中点P,过点尸作FGL/1E交CZ）于点尸，交AB于点G,

设正方体棱长为2,由勾股定理可知：AE=V1+4=V5,4P=苧，

同理，取31cl的中点Q,连接小。，取小。的中点O,

过点。作MNLA\Q交C\D\于点M,交出81于点N,

则直线MN即为直线/,此时，MFLCD,NGA.AB,OPLaABCD,

因为尸Gu平面/8CQ,所以。尸_LFG,因为ZEnOP=尸，所以FG_L平面40P,

连接0E,因为ONu平面”。尸，所以O4_LFG,

因为MN〃FG,所以CM_LMN,同理可证：OELMN,

所以N/OE即为二面角A-/-E的平面角，

由对称性可知：此角即为二面角A-1-E的平面角的最大值，

S.ZAOE^2ZAOP,其中0P=2,

由勾股定理得AO=7Ap2+=孥，所以cosaA0P=吟=春=胃口,

L/iUVZ1L1

二、填空题：本大题共7小题，共36分。多空题每小题4分；单空题每小题4分。

11.（4分）古希腊著名数学家阿基米德是这样求抛物弓形面积的：以抛物弓形的弦为底，

以抛物线上平行于弦的切线的切点作弓形的内接三角形；在以该内接三角形两腰为弦的

两个抛物线弓形内用同样的方法作出内接三角形，等等.从第二次开始，每次作出的内

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接三角形面积之和是前一次所作出的内接三角形面积和的3若第一次所作的内接三角形

4

面积为1,则第三次所作的内接三角形面积和为:7_.

16

【解答】解：由题意可得，每一次作出的内接三角形的面积和是首项为1,公比为9的等

4

比数列，

故第三次所作的内接三角形面积和为IX(I)2=芸.

故答案为：—.

16

12.(6分)在复平面内，复数Z1=O,Z2=l+d^，23=或+»(i为虚数单位)对应的点分

2V2

别为O,A,B,则Z2”3=3i；cosNNO8=_-

【解答】解：由已知可得Z2，Z3=(1+y/2i)(V24-Z)=V2—V2+2i+i=3i,

复数zi，Z2,Z3对应的点的坐标分别为O(0,0),A(1,V2),B(V2,1),

—>—>,,

贝!JOA~(1,V2)，OB=(V2,1),所以cos/JlOB=乎空•=1=

\OA\\OB\J(g)2+i2.J(02+i2

2/2

2V2

故答案为：3i；—.

_14

13.(6分)若2cos(《-0)=cos(n+0),则tan6=_―工_；2cos20+sin20=-.

【解答】解：因为2cos(当一。)=cos(〃+。)，

所以2sin0=-cos0,

s出6_1

贝ljtan6=

cosO—2'

2cos20+2sin0cos0_2+2tan0_2+2x(一；)_4

2cos20+sin20=

sir^O+cos^-O-tan20+l~(_*)2+i-5

i4

故答案为：一亍二.

45

14.(6分)已知袋中装有大小相同的红球，黄球和蓝球，从中随机摸取一个球，摸出红球

或黄球的概率为0.58,摸出红球或蓝球的概率为0.82.则从中随机摸取一个球，摸出红

球的概率为若每次随机摸取一个球，有放回地摸取两次，设X表示两次摸到红

4

球的总数，则E(X)

【解答】解：设红球个数为x,黄球个数为乃蓝球个数为z,

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’x+y

=0.58

x+y+z

则,两式相加得1+KJG=1.4,

x+z=0.82%十丫十z

.x+y+z

即摸出红球的概率为0.4；

2

由题意知，X〜B(2,-),

9A

则£1(X)=2xJ=

24

5'5,

15.(6分)若(1+2^2)(1+x)4=ao+a\(x-1)+〃2(x+1)2+。3(x-1)③+例(x+1)4+t/5

(x-1)5+期(AH-1)6,贝Uao-a\+a2-。3+〃4-〃5+。6=1；as—~4.

【解答】解：令X=0,可得ao-。1+。2-。3+-。5+。6=1，

等式左边/的系数显然为2,而右边只有期G+1)6会出现

则06=6,

等式左边力的系数为2XC：=8,2(x+1)6中可以提供力的系数为2x吗=12,

而。5（X-D5提供的x5的系数为的

于是怨+12=8,解得。5=-4.

故答案为：1;-4.

1

,a432b4

16.（4分）已知正实数”，6满足a+2b=l,则T+-----的最小值为一

ba-2

【解答】解：根据题意，正实数”，满足"26=1,

,a432b4a432b41^4—132b4,_,_,

则r丁+——=(―+——)(2b+a)》(J5-XV2b+^-Xy/a)2=(V2a2+4V262)

babaNoNa

2=2(a2+462)2①，

当且仅当a=2b时等号成立，

而2

.2+4/)2=4(°2+462)(1+1)>|(a+2b)=10»

当且仅当a=2b时等号成立，

4

Q432b1

综合①②可得：—+——>-.当且仅当。=26时等号成立，

baZ

a432b41

故H+一的最小值为不

ba2

故答案为：

17.(4分)已知实数人］，入2,入3，平面向量a，b.满足a・b=O,=6,|b|=8,c=Aia4-

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—>>)j>—>24

(1一人I)b.若存在唯一实数入1,使得c2=c.(A2a+X3b),则|入2a-入3bl的最小值是

【解答】解：c=入通+(1—入i)b,且a，b=0,

Ac2=［入i：+(l—入1)讦=入/潦+2入［(I—入i)；工+(1一入1)212=36人/+64(1-Ai)

2

■:|入2/一入3讦=入2?京一2入2入3-7+入32及=入22滔+入3?。,

222222

I入2=+入3b『=A2a+2入2入3.•b+入32b2=A2a+A3b»

TT

♦♦|入2a—入3b|=|入2a+入3b|,

设c2=c•(入2。+入3力)=|c|&a+A3/?|COS0,

-4|=|入21+入11==鉴N由=小6入/+64(1-%尸=

2125人/_32入i+16,

当入1=1|时，25%2―32入1+16取得最小值爰，即25及2一32入1+16N券，

ttI?1224

・，・|入2a—入3。I=2125入］—32入1+16N2x-g-=-g-,

Tt24

即出。一人3勿的最小值是M，

24

故答案为：—.

三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

,B

18.(14分)已知△48C中,角4,B,C所对的边分别为a,b,c,2asiMco/+bcos2/=

b.

(I)求B的值；

(II)若a+c=4,△/BC的面积为百，求。的值.

2

【解答】解：(I)由已知得：2asinAcos^=2bsinAf

22

由正弦定理得：sinAcos=sinBsinAt

因为NE(0,n),所以siMWO

r-iB.c.BB

用r［以rcos］=sinBn=2sm2cos2，

因为BE(0,TT)/6(0/g),

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所以cos?A0

所以si*=.

又OV犷，

所以I=7-

26

即B=*

(H)由已知得S=^acsinB=V3,

由(I)知8=今，

所以〃c=4,

又因为。+。=4,

所以a=c=2.

19.(15分)已知数列｛〃〃｝是等差数列，其首项和公差都为1,数列｛与｝是等比数列，其首

项和公比都为2,数列｛加•瓦｝的前〃项和为义.

(I)求S〃；

1117

(II)证明：当〃EN*时，—+—4-—^77-

51$2Sfi10

【解答】(I)解：由题意，an—1+1X(n-1)=n,

n

bn=2x2"T=2,则a〃•仇=”・2”,

12n

：.Sn=1-2+2-2+...+n-2,

23nn+1

25n=1-2+2-2+...+(n-1)-2+n-2,

12nn+1

则一Sn=2+2+...+2-n-2

=2(｝.”)-n-2n+1=2n+1-2-n-2n+1,

I1+11

.•.Sn=(n-1)-2+2;

)7

(II）证明：当〃=1时，T-=〈而

512

1111671111111077

+—=—+—=—V—，4-—4--=—+—+<w'

5734-

S22101010S?S3210170

1111111153287

一十一++—=,V,

S?S3S42103498833010

111111532811

当“25时，—4--+—+—+1—+…+金8330+S^,+...+

SiS2$3^4S5

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^,532811_5328上去（1一直）_5328Al1

、8330+环+…+2^+1=8330+7TI=8330+32-2^+1

12

155891-7

8330-^+110'

20.（15分）如图，在四棱锥S-488中，底面/8C。为直角梯形，AD//BC,NSAB=N

0/8=60°,S/=3,AB=AD=2BC=2,SB=SD,点E在线段CD上，ZE与8。相交

于点G,点G是线段8。的中点.

（I）证明：8D_L平面SAE-,

（II）若点尸为线段SE的中点，记直线SC与平面Z8E所成角为9,求sin。的值.

【解答】（I）证明：

因为点G是线段8。的中点，所以5OL/1G,同理，BD±SG,

所以8£>_L平面S4E.

（II）解：因为SB=SD,所以NSZ8=NS/O=60°,

因为S/=3,SB=2,所以S8=J7,

因为/D48=60°,所以BG=1,AG=W,所以SG=遍，

所以NG2+SG2=S/,即SG_LZE,

因为8O_LSG,所以SG_L平面/BCD.

如图建系，4（百，0,0）,8（0,1,0）,C（一字，0）,E（一*，0,0）,5（0,0,

V6）.

因为点F为线段SE的中点，所以尸（-涔0,孚）.

则易=（-技1,0）,/=（-平，0,郸.

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AB•几=0,—V3x+y=0,

设£=（x,y,z）是平面48尸的法向量,则

BP-7后工任n

AF•TI=0,一丁X+NZ=。・

令y=0,则％=1,z=4马即几=(1,V3,

因为&=（空,CS-n_

-4，V6),所以sind=^742

|CS||n|噜又611

21.（15分）已知抛物线E：y=2px（p>0）,点4（2,2位）在抛物线上，斜率为2的直线

/与抛物线交于8,C两点（点C在点8的下方）.

（I）求抛物线E的方程；

（II）如图，点。（X1，H）在抛物线E上，且xi>2,线段与线段BC相交于点P.若

\PA^PD\=2\PB^PC\^Q,当△4DC面积取到最大值时，求点C的坐标.

【解答】解：（1）将4（2,2鱼）代入抛物线方程得（2位y=4p,

即p=2,

所以f=4工.

（2）设P（加，〃），D（X],y\）fB（X2，/），C（刈，»3），

由题意可知，直线4。的斜率存在且不为0,设直线4。的斜率为左，

则直线ZO的方程为歹-〃=%（1-加），直线8C的方程为y-〃=2（x-机）,

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由<ry2-=n4=%k(x—rri)，一可得^y2—尸4+14兀_4m=o，

贝的1+2V2=%,2y[2yr=-4m：

同理可得加”=2,”"=2〃-4〃z,

所以|以|=J1+表|2或一n|,|P0=JT7J|n-yi|,

|PB|=Jl+1|y2-n|-|PC|=Jl+1|n-y3|,

又期||P0|=2|P5||PC|,

2

所以(1+j^)|n(2V2+力)-2V2yj-n|=2x|x\n(y2+y3)-y?为一