2023年新高一数学衔接讲义含答案

第十一讲一次函数及其变换.......................59

第十二讲反比例函数与一次分式函数...............66

第十三讲对勾函数和二次分式型函数...............72

第三章函数的变换

第十四讲二次函数及其变换.......................79

第十五讲函数零点与分段函数.....................86

第三章章末总结...............................94

函教的基础

。第一讲乘法公式与因式分解

由完全立方和公式可得(a+b)3—3a2b—3而2=

模块一整式的乘法公式

〃+b'\即(Q+b)[(a+fe)2—Sab]=a3+萨于是有：

立方和公式a?+68=(a+b)(a?—afc+〃)

仿照完全立方差公式的推导，请同学们思考立

在初中，我们学习了整式的乘法运算，知道了乘

方差公式的由来。

法公式可以使多项式的运算变得更为简便。初中主

立方差公式<?一(a-b)(a?+而+ft2)

要学习了两个基本的乘法公式一一平方差公式和完

例2计算下列代数式

全平方公式。

(1)(4+m)(16—4m+m2)

平方差公式，c?一8=(a—b)(a+b)

完全平方公式土』(2)(ym-yn)(^m2

(Gb)2a6+V+三严1+%2)

例1化简：V9—1A/5

以完全平方公式为基础，可推导三项完全平方和：(a

+b+c)2=[(Q+b)+c]2=(Q+by+2(Q+b)c+c2

=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2

于是有:

高中函数部分是以代数的运算为基础的，为研

三项和平方公式

究函数的性质，需要同学们具有较强的代数恒等变

(a+6+c)a=a1+6?+c3+2a&+2ac+26c

形能力。也就是说，在高中学习中还会遇到更为复

将上式中的C全部换成-C得到如下公式：

杂的多项式的乘法运算。因此，在本节中，我们将拓(a+6—c)a=<?+6?+<?+2a6-2ac-26c

展乘法公式的内容，补充一些高中常用的乘法公式。

22

由于(a+b)3=(a+6)2(a+6)=(a2+2ab+b2)(a+b)例3计算:(x-V2x+y)

=a；'+3a2b+3aft2+b3

于是有：

完全立方和公式(a+Wd+aaM+aay+fc8

将完全立方和中的b换成-b,得到完全立方差公式:

完全立方差公式(a-b)8=a?-3c?b+Safi2-63

［静随堂练习［练3］计算：

(1)(a+2)(a—2)(a"+4/+16)

［练“若c+g=6,"+靖=20,/―g等于()

(2)(/+2xy+-)(2一缈+yiy

A.2B.-2C.4D.±2

［练2］若/一就=7—771,/—0匕=9+m,则Q—匕的

［练1］已知———1=o,求％3+々的值

值为()

A.2B.±2C.4D.±4

4.十字相乘法分解二次三项式

模块二因式分解

利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分

解因式的方法叫做十字相乘法。

号/课堂精讲

举例:3a;2+llx+10=0

(----------------、一拆：拆出二次项

1.因式分解的概念

与常数项的因式

把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做因匕-」一)二判：交叉相乘和为

式分解，也叫分解因式。•・•5,+6-—-次项可用该方法

3炉+11力+10=0三书写：横向书

一+2)(32+5)=0尸写拆出的式子

2.提公因式法分解因式

多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个

5.主元法分解因式

相同的因式就叫做公因式。把ma+mb+me=m

形如4c2+By2+Cr+Dy+E的代数式可以采

(a+b+c).的分解方法称为提公因式法。用主元法进行分解。

3.公式法分解因式m2-fc2+5m+3fc+4

2.~将m作主元，4作常数

22

利用我们前面讲解的整式的乘法公式进行因式=m+5m-(fc+3fc+4)^^

+4)

分解的方法称为公式法分解因式。=m-+5m+(-A：+4)(fc+1)+1)

例4已知而=—2,a—3b=5,求a?b—6a2fe2+9a63.=(m—fc+4)(m+fc+l)(-fc+4+A：+1)TTI=5m

6.双(长)十字相乘法

形如Am2+Bmk+Ck'2+Dm+Ek+F的代数

式的因式分解。

步骤：①运用十字相乘法分解前的二次三项式；［练6利用十字相乘法分解因式：

2

②在这个十字相乘图右边再画一个十(I)/+(a+2)x+2a(2)T—(3+t)x+St

字，把常数项分解为两个因数，填在第二个十字右

端，使这两因数与含k的项交叉之积的和等于原多项

式中含A)的一次项EA,同时这两个因数与含7n的项

的交叉之积的和等于原多项式中含771的一次项Bn.

［练7］分解因式：

(X)xy-1+x-y

(2)2x2+xy—y2—4x+5y-6

(3)x3-3/2+4.

7.试根待定系数法

对于一元三次代数式4c3+B/+Cr+。先将

其化简为系数为1的形式：A(砂+号*+方+的。

若上述代数式有有理根,则：士g■所有因数中有一个

必是方程的根。

①10的因子±1,±2,±5代

入原式可得：工=2时

3原式=0,得因式：(匕—2)

x-9a:+10［练刈(2021春・邯郸高一期中)已知在底面半径为3、

②待定系数设出剩余因式

="2)•叵三r梵子.二，与原式对比母线长为5的圆锥中内接一个高为2的圆柱。

=(x—2){(4+23-5))③检查一元二次代数式(1)求圆柱的体积；

能否继续因式分解

(2)在该圆锥中是否存在另外一个内接的圆柱与

例(2022•湖南模拟改编)设/+Q,+b=0,下列

5(1)中圆柱体积相等？若存在，求出另一个圆柱的

条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是()

高;若不存在,请说明理由。

A.a=-3,b=2B.a=-3,b=-2

C.Q=-4,b=3D.a=Lb=2

［会随堂练习

［练5］分解因式^—1

3

［巩固5分解因式：

M课后提升

⑴炉+9+3x2+3a:；

［巩固U分解因式

(2)2rc2+xy—y2—4x+5y—6

(l)x2+3a;+2(2)a;2+2x—15.

［巩〕2］已知a+b=7,ab=—2.求:

⑴<?+/的值;(2)(a—b)2的值.

如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九

块，其中有两块是边长都为小的大正方形，两块是边

长都为ri的小正方形，五块是长为m,宽为n的全等

小长方形，且利＞九.(以上长度单位：cm)

［巩园3］分解因式:(1)用含加、n的代数式表示图中所有裁

(1)炉+2炉一5立一6(2)炉一2a：2—15a；+16剪线(虚线部分)的长度之和；

(2)观察图形,可以发现代数式2m2+

5mn+2"可以因式分解为；

(3)若每块小长方形的面积为10cm?，四

个正方形的面积和为58cm2,试求(m+n)2的值。

［巩固4把下列各式分解因式：

(l)x2—(a+b)x+ab

(2)(x+y)2—(3+<z)|x+y|+3a.

第二讲不等式的含义与解法

以a>0为例：

模块一一元二次不等式

初中阶段我们比较系统的学习了一元二次方程

与二次函数的相关知识点，了解了一元二次方程与

二次函数之间的关系：一元二次方程是二次函数与Z

轴相交的一种特殊情况，方程的解是函数与X轴交点

的横坐标。今天我们将探寻二次函数、二次方程与

一元二次不等式的关系。

我们先来回顾一次函数与一次不等式的关系：解不等式：3+2c-3；2'o

kx+n>0的解集表示的是一次函数沙=/c:r+«■在2

轴上方时对应的自变量取值范围的集合。

由此，我们可以知道：任意一个一元不等式，其

含义是：

不等式>0的解集表示不等式对应的函数在工

3.成立与恒成立

轴上方时对应自变量取值范围的集合;不等式V0的根据上面解一元二次不等式的方法，我们可知：

解集表示不等式对应的函数在x轴下方时对应自变fa>0

ax2+bx+c>0恒成立的条件是《

量取值范围的集合。U<0

aa?+bz+cV0恒成立的条件是°

U<0

1.一元二次不等式

形如：ax2+bx+c>0(a片0)的不等式称为一4.一元二次不等式的代数解读

若一个一元二次不等式能进行因式分解，则可

元二次不等式。

以根据“同号得正，异号得负”的原则，将其转化为

2.一元二次不等式的解法一元一次不等式组求解。

(1)令aa?+ba;+c=0,计算：△=62-4ac

例2解不等式/+±—6>0

当A>0时，解出方程两根：X1,x2；

(2)令y=a"+法+c,作出函数草图；

(3)根据不等式的含义翻译不等式，读取解集。

注:作草图时只需画。轴。很多学生作函数草图

习惯第一步就画坐标系，二次函数由于其特殊性，应

先画抛物线,再根据题意加x轴和沙轴

2

随堂练习［练司(2021秋・惠州高一期末)已知不等式(1-a)x

-4a;+6>0的解集是一3<①V1.

［练1］解下列不等式

(1)求常数a的值；

(1)2x2—x—1>0(2)6/+5c<4

(2)若关于X的不等式a/+加。+3>0的解集为

全体实数，求m的取值范围。

［练2］讨论不等式x2-T-a(a-l)>0的解集。

原不等式可以化为：(x+a—1)(a;-a)>0

［练6］(2021秋・泸州高一期末)

已知函数g=2x2—2ax+1.

［练3］已知对于任意实数c,k^—2/+6恒为正数，求

(1)若沙〈6的解集为一1<7<2,求％6的值；

实数k的取值范围。

(2)解关于h的不等式y>a+1—x.

［练4］已知不等式ax2+bx+c<0(a手0)的解是x<

2或a:>3,求不等式6/+ax+c>Q的解。

模块二随堂练习

［练7］解下列不等式

期课堂精讲

⑴⑵枭*3

1.分式不等式

形如丝拈<0的不等式称为分式不等式。

cx+a

2.分式不等式的解法

将分式不等式转化为一元二次不等式求解，需

要注意分式有意义的条件:分母不为0。

转化方法：

QCb

+<0<=^>(ax+6)(ex+d)V0

ex+d

+b

>0<=>(ax+b)(ex+d)>0

cx+d

(ax+b)(ex+d)<0

QN+b［练8］解不等式：寿

<=^><

cx+dci+dW0

QH+b(ax+b)(ex+d)>0

>0

cx+d一ex+dW0

x—3人

例3解不等式飞+7

找“线”在x轴上方的区间;若不等式是“V0”,则找

模块三

“线”在二轴下方的区间。

注：因式Q—⑥）”中，"为奇数时，曲线在电点

名课堂精讲

处穿过数轴；n为偶数时，曲线在电点处不穿过数

1.高次不等式：轴，归纳为“奇穿偶不穿”。

定义:形如（6—21）（%—/2）…（比一Cn）>0（<0）

的形式的不等式称之为高次不等式。例4解不等式：（x-l）（x+2）（x-3）>0；

交附:分式44>o（<°）可转化出高次不等式。

2.数轴穿根法求解高次不等式

①将不等式化为（X—£C1）（X—X2）—（X—Xn）

>0（<0））,并将各因式2的系数化“+”；

②求根，并在数轴上表示出来；

③由右上方穿线,经过数轴上表示各根的点；

④若不等式（①的系数化“+”后）是“>0”,则

［练川解不等式

随堂练习

⑴TV?

［练9］解不等式：3-2)2Q-3产(，+1)<0

⑵—。

［练10］解不等式:(x-3)(x+l)(x2+4x+4)<0

［巩13］已知对于任意实数c,kx2-2x+k恒为正数,

&1课后提升

求实数k的取值范围。

［巩町：解下列不等式:

(1)X2-2X-8<0(2)x2-4x+4<0

(3)X2—x+2<0(4)x2—a:-6>0

［巩园4］已知不等式+从+1>O的解为一/V6

V4■，求Q和b的值，并解不等式bx2—5x—a<0.

o

［巩12解下列不等式

⑴-1⑵笺得,3

JUIN

8

［巩固5j(2021秋•顺义区高一期末).［已知/(x)=ax2+bx+c,

己知不等式a——52+2V0.(1)当a=-l,b=2,c=4时，求f(x)<1解集；

(1)若1是不等式的一个解，求a的取值范围；(2)当/⑴=/(3)=0,且当。G(1,3)时，f(x)41

(2)若a/—5a；+2V0的解集是jv©V2,求不恒成立，求实数Q的最小值.

等式—Q02+(2a+3)c—6V0的解集。

［巩圃6］已知关于力的不等式Q〃—7+1—Q&O.

(1)当Q>0时,解关于X的不等式；

(2)当24。&3时，不等式ax2—x+1-a40恒

成立,求实数Q的取值范围。

9

第三讲基本不等式

模块一基本不等式3.基本不等式的变形应用

应用条件:一正、二定、三相等

变式一：a+b>2，萌，用求a+b的最小值。

变式二：（？+万2>曲,用于求ab积的最大值。

我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要

作用。那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等

例1当Q0时，求的最小值。

式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢？下面

就来研究这个问题。

由完全平方公式：（a—b）2=/+62—2出）

我们知道，平方具有非负性，所以上面的代数式

满足：a?+〃-2ab>0=>a，+〃>2而，该不等式

在数学中具有重要的作用，我们把：a?+2ab中a［会随堂练习

和b代换为6和〃，可得：且卢>很.

［练1］（2021秋•阎良区高一期末）函数y=a;+

质>1）的最小值是（）

1.基本不等式

A.3B.4C.5D.6

对于任意两个正实数a,b有：号茄，当

且仅当a=b时，等号成立。我们称不等式号

府为基本不等式，也称均值不等式。其中旦尹■叫

a,b的算术平均值，依叫做a,b的几何平均值。

［练2］（2021秋・高要区校级期中）若多>1,则函数y=

2.基本不等式的几何解释

立+」了的最小值为（）

作一圆,直径为A3,过。作垂线，连接AC.BCX—1

设HO=a,BD=b,则圆的半径OH=2芈A.6B.7C.8D.9

由\ACD~bBCD可得：架=黑

=>CD2=AD-BD,：.CD=Vab

由图可得不等式：CD恒成立，当且仅当［练3］设2>0,则3-3/一5的最大值是（）

CD=OH,即04=OB时取等号。

A.3B.3-2V2

II

C.—1D.3—2V3

［练工当直线在z轴上和V轴上的截距（直线与坐标轴［练司（2020・新课标II改编）A4BC中角AB,。所对

的交点离原点的距离）分别为a,b时，直线的解析

边为a,b,c。已知：=120°,a=3,求AABC周

式可以用5■+卷=1表示。已知直线Z过点P（1

长的取值范围。

,2）,与两坐标轴的正半轴分别交于力，3两点，O

为坐标原点。

（1）若AO4B的面积为苧,求直线I的方程；

（2）求^OAB的面积的最小值。

模块二构造法解决二元最值上面的例题,利用代入消元的方法，消去了一个

未知数，从而使二元问题转化为单元问题，然后再对

尊课堂精讲

其结构使用了均值不等式求最值。但并非所有的二

由模块一的知识，我们知道了：在任意的正二项元结构都可以通过消元来解决，有时通过消元还有

式中，我们可以通过套用基本不等式来解决正二项可能使其结构变得更复杂。接下来我们将介绍几类

式的最值。如果我们现在把正二项式转化为二元代

改写二元代数式的方法。

数式，是否也能通过基本不等式来求解二元代数式

的最值呢？

1.数字“1”的构造

题目给定二元变量关系mx+电/=C时，我们可

例2（2022春•渝中区校级月考）已知正实数X,?满

足叼+27-2=0,则4a;+y的最小值是（）以将不等式化为：华式+半"=L然后在问题所涉

A.2B.4V2-2及的二元代数式中构造“1”，再将上面改写的“1”代

C.4V3-2D.6入化简，会出现：性+黑分子分母倒置的形式，再

使用均值不等式即可求最值。

卷+券＞2倍卷=瞽（出现定值）。

例3（2021秋・凉州区期末）已知ab>0,a+b=l,则［罗随堂练习

工+［的最小值为（）

ab［练6］已知正实数工，沙满足c+y=2,则工+&的最

6y

A.0.5B.1C.2D.4

小值为（）

Q

A.yB.5C.9D.10

1o

2.结构化构造［练7］已知Q0,g>0,2①+?/=2,则上+4的最小

1y

通过观察所给二元代数式的结构，以及问题的值是()

二元代数式结构出发，对一些结构进行简单改写.A.1B.2C.4D.6

例4若正实数①，y满足啰+?=1,则一鲁+工的

力十,y

最小值为

绮］（2021秋•湛江期末）已知a>0,b>0,且看+

方=1,则2a+b的最小值是（）

A.8B.9C.10D.11

3.初识成立与恒成立

［练9］(2021秋・城厢区校级期中)已知m>0,zi>0,

我们经常会遇到一些成立与恒成立的问题，对

771+=1,则—H----的最小值为()

m1

于成立与恒成立的翻译如下:

A.1B.+-\/2

设词结论

C.4+^2D.与

恒成立a^/i(x-)inin

aWh［x}

有解a&九(%)max

成立Q&拉(”)max

恒成立a</i(x)nwx

a>h(x)有解a4%(c)min

成立a4"①)min［练10］设a>0,b>0,!+9=2,则使得a+

例5（2021秋-兰山期中）己知a>0,b>0,a+2b=恒成立，求m的取值范围是()

Qb,若2a+b>2m2—9恒成立，则zn的最大值()A.(-00,9)B.(0,1］

C.(-8,今］D.(-8,8］

A.1B.2C.3D.7

12

［练11,若力>0，g>0,且~|"+t=l，a;+2g>m<2+［练13］已知函数沙=力+w^y(7n>0).

77n恒成立，则实数馆的取值范围是（）(1)若m=l,求当c>l时函数的最小值；

A.-8<m<1B.mV—8或7n>1

(2)当cV1时，函数有最大值一3,求m的值。

C.mV—1或7n>8D.-1<m<8

［练12］(2021秋・滨海新区校级期中)设1+沙=63>

0,2/>0),且白了+工的最小值为小.

x+1y

(1)求m；

2

(2)若关于x的不等式ax—QC+0的解集为

全体实数，求Q的取值范围。

(2)年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？并

模块三基本不:

求出最低成.

?课堂精讲

初中阶段我们学习了用函数方法解决实际生活

中的应用，并且求出其最优解的方法，今天我们将学

习如何用基本不等式来解决实际生活中的最优解。

例6某化工厂生产的某种化工产品，当年产量在150

吨至250吨之间时，其生产的总成本沙(万元)与年产

9

量(吨)之间的函数关系式近似地表示为2/=胃-

3(te+4000.问：

(1)每吨平均出厂价为16万元，年产量为多少吨

时，可获得最大利润？并求出最大利润；

随堂练习［练阮某产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与

年促销费用m万元（rn>0）满足：rr=3——

［练闻在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量

伏为常数），不搞促销，该产品年销售量是1万件。

y｛千辆/小时）与汽车的平均速度“千米/小时）

已知2022年生产该产品的固定投入为8万元，每

之间的函数关系为：n=-7-^—r（y>0）.

生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每

（1）在该时段内，当汽车的平均速度〃为多少时,

件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的L5

车流量最大？最大车流量为多少？

倍（成本为固定投入和再投入）。

（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小

（1）求产品利润y与年促销费用m的函数；

时，则汽车的平均速度应在什么范围内？

（2）促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？

［巩固3（2021秋•湖北月考）若正实数小，九满足萤

4课后提升

+工=1,则2m+九的最小值为（）

1（2021秋・南阳期中）设。>0,夕>0,2+工n

cy

=1,则2工+沙的最小值为（）A.4V2B.6C.2V2D.9

A.7B.8C.9D.10

设（1>0,&>0,十+5=1,若不等式a+

m恒成立，则实数恒的取值范围是（）

［巩园2；（2021秋・桐庐县校级月考）已知宓>0,y>

0,且c+2y=l,则工+工的最小值是（）A.(—8,8]B.(―8,16]

。y

C.(-8,7]D.[16,4-0°)

A.V2+1B.3+2V2

C.A/2-1D.3-2V2

［巩园5］若实数x+2y=4(x>lyy>^),则——y+：：.＜］函数%=二一?+3,仇=＞0

票了的最小值为()

(1)求"的最大值与最小值；

A.JB.1C.言D.2⑵当1WrcW5时，必:仇恒成立，求实数m的取

值范围。

［巩E6］已知力＞0,g＞0,且#+2g=1,2+1•＞病

rry

+7m恒成立，则实数小的取值范围是()

A.-8WmWlB.8或7n＞1

C.口.山=-1或加＞8

［巩固10］某旅游公司在相距为100km的两景点间开

设了一个游船观光项目。游船最大时速为50km",

设:r>0,g>0,设2+3=1,若3x+2y>游船每小时的燃料费用与速度的平方成正比例，当游

工y

船速度为20kmA时，燃料费用为每小时60元。其它

/+2恒恒成立,则实数m的取值范围是（）

费用为每小时240元，单程的收入为6000元。

A.{c|c&-6或％>4}

(1)当游船以30km"航行时，旅游公司单程获得

B.㈤①4-4或%>6}

的利润是多少？(利润=收入一成本)

C.{引-6V/V4}

(2)游船的航速为何值时，旅游公司单程获得的利

D.{x|—4<x<6}

润最大，最大利润是多少？

［巩固8］(I)》V卷,求y=4/-2+通片的最大值

(2)求函数y=更-匿＞1)的最小值。

第四讲元素与集合

2.常用数集

模块一

常用数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集

尊课堂精讲

记法NN•或N+ZQR

情境1,说到集合，相信同学对这个名词并不陌生，

例1判断下列各组能否构成一个集合，说明理由。

我们一定在某个场合下听到过“集合”这个词。