2023年上海高考数学满分复习攻略第04讲 函数最值与性质（解析版）

第04讲函数最值与性质

题剧-：利川函数单调性求最值或值域

题型：：根据函数最值求参数

【号点1】函数的最值

题型三函数不等式恒成立问题

题型四：函数不等;式仃解问题

【考点2】函数的周期性

函数最值与性质

【考点3】函数的图像

【考点4】函数的对称性

［考点5】函数基本性质综合应用

【考点6】函数新定义

A【考点梳理】

1.函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数减函数

设函数y=FCr)的定义域为小区间,应力，如果取区间"中任意两个值

小，X2,改变量Ax=X2—为>0,则当

定义Ay=f(G—H%)〉0时,就称

Ay=F(*2)—f(E)<0时，就称函数y

函数y=F(x)在区间〃上是增函

=f(x)在区间M上是减函数

数

...y=fM

图象描

；A'i)；AX2)

述

自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的

(2)如果一个函数在某个区间，"上是增函数或是减函数,就说这个函数在这个区间"上具有单调性，区间〃

称为单调区间.2.函数的最值

前提设函数y=f(x)的定义域为/,如果存在实数"满足

(1)对于任意Xd/,都有f(x)(3)对于任意xd/,都有f(x)》法

条件

(2)存在使得/■(加="(4)存在加6/,使得f(x0)=M

结论M为最大值必为最小值

3.函数的奇偶性

奇偶性定义图象特点

设函数y=f(x)的定义域为D,如果对。内的任意一个x,

奇函数关于原点对称

都有一且f(—x)=—/~(x),则这个函数叫做奇函数

设函数y=g(x)的定义域为D,如果对。内的任意一个x,

偶函数关于y轴对称

都有一且g(—x)=#(x),则这个函数叫做偶函数

4.函数的周期性

(1)周期函数：对于函数三/"(X),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时，都有如

+7)=/'(x),那么就称函数尸/"(X)为周期函数，称T为这个函数的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函数f()的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)

的最小正周期.

71【解题方法和技巧】

1.利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

(1)“一正”就是各项必须为正数；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把

构成积的因式的和转化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不

是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

2.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应

用的考查主要从以下几个角度进行：

(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系.

(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；己知单调性，求参数.

(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题.

(4)考查数形结合思想的应用.3.新定义的函数问题以及函数的有解问题，涉及到求函数的值域问题.求

函数最值和值域的常用方法：

(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；

(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；

(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；

(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；

(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.

【考点剖析】

［考点1］函数的最值

题型一：利用函数单调性求最值或值域

一、解答题

1.(2022•上海市七宝中学模拟预测)甲、乙两地相距5千米，汽车从甲地匀速地驶往乙地，速度不得超过

c千米/时.已知汽车每小时运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v(千米

/时)的平方成正比，比例系数为匕，固定部分为“元.

⑴把全程运输成本》(元)表示为速度v(千米/时)的函数；

(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？

【答案】⑴y='(bv2+a)(O<v<c)(2)答案见解析

【分析】(1)首先确定全程运输时间，根据可变成本和固定成本可得解析式；

(2)根据对号函数单调性可分类讨论得到结论.

(D由题意知：每小时可变部分的成本为加2,全程运输时间为上时，

V

全程运输成本y=+a)(0<v<c).

⑵由(1)得：y=s,+?),

由对号函数单调性可知：当J>c时，y在(o,c］上单调递减；则当丫=。时，y取得最小值；

当小c时,y在［。,机上单调递减，在［氐］上单调递增；则当v=J|时，y取得最小值；

综上所述：为了使全称运输成本最小，则当聆时，应以速度，行驶；当44c时，应以速度器行驶.

2.(2022•上海黄浦•模拟预测)已知函数〃x)=x,g(x)=Ji石.(1)设g(x)的反函数为

g-'(x),F(x)=f(x)+g-'(x),求尸(x)的最值.

⑵函数G(x)满足G(x)=/(x>g(x),求证：当0<x<；时，G(x)4G

【答案】(1)最大值1,无最小值，(2)证明见解析

【分析】(1)先求出g(x)的反函数为gT(x),然后得到网x)解析式,再求最值即可;

(2)当0<x<g时，得到G(x)和的表达式，然后比较大小.

1_V21一比2

⑴gi(x)=2,xw[0,+oo).F(x)=x+)/w[0,+oo).

因为尸(x)=-《(x-l)2+l，且-《<0,所以当了20时，尸(x)有最大值1,

22

此时x=l；尸(x)无最小值.

(2)证明：G(X)=XJ1-2X,X£(

当0<x<(时，因为xji二五=gxQ_2x),其中国二语4上等三=号,

(另用分析法也可证明.)

3.(2022•上海市奉贤中学高三阶段练习)已知a/eR+,f(x)=ax+^.

(1)若。=1,求y=/(x)在区间[L”)上的最小值(直接写出结论，结果用匕表示)；

⑵我们知道：当犬€(0仁)时，x>sinx.设g(x)=2sin，x-a｝求证：当x>2时，>g(x)+2z恒成

立；

(3)若a",/j(x)=|logrZ?x|,其中c>0且cwl,4(%,%)是y=/(x)和y=/z(x)图像的一个公共点,

城片1,求证：y=〃x)和y=/z(x)的图像必存在异于点A的另一个公共点.

1+/?,0<Z?<1

【答案】(l)f(x)s；(2)证明见解析；(3)证明见解析.

1n2瓜b>\

【分析】(1)根据勾形函数的单调性求解；

(2)不等式变形为:(x-2)+3>sin《(x-2)],结合已知分类讨论进行证明；

22x2

1br~

(3)令4=丁,结合已知可证.(l)a=l时，/(x)=x+-,由勾形函数的性质知xe(0,〃]时,递

"X。X

减，xe[括,+8)时，/(x)递增,

所以OVEI时，X=1时，/(X)mm=l+b，时，X=时，/3而0二2折

所以­=康行；

(2)证明：要证不等式/(x)>g(x)+2,即证|(x-2)+导sing*-2)],

x>2»6?>0,Z?>0,则一(%—2)>0,

2

若7(工一2)<—,则G(4-2)>sin[—(%—2)J,

2222

所以：(x-2)+gzsin[：(x-2)],

22尤2

若彳(x—2)之二,则sin[彳(x-2)]41<7,也有彳(x—2)>sinE(x—2)],

222222

所以;(x-2)+二Nsin[；(x-2)],

22x2

综上，原不等式成立.

⑶证明：记X|=¥7，则力(办)=l°gcd=k1咆如)|=|1幅如)1

nX。"x()

因为a=Z/

所以+'%<)="+"

bx0x0

又因为A(M，%)是y=〃x)和y=/?(x)图像的一个公共点，

所以/(/)="+—=|log『bx0\=h(x0)

xo

所以hx)=llo§A

(i(bx0\=—+ax0=f(-),

即y=/(x)和y=/z(x)的图像相交于点*"(%)),

若占=%，则由占=，一可得/x：=l,因为这)>(),所以砥,=1(矛盾)

D入0

所以玉工毛，命题得证.

4.(2020•上海嘎旦附中模拟预测)已知函数/(司=52一卜，4+2司一b[x,g(x)=-Jl—(x—a)'(a,4+R).

⑴当反0时，若〃x)在(—,2]上单调递减，求。的取值范围;

⑵求满足下列条件的所有整数对(。⑼：存在看,使得〃%)是〃x)的最大值，g(x0)是g(x)的最小值;

(3)对满足(2)中的条件的整数对(。⑼，已知定义域为D={x|xeR且xH2k,ZwZ}的函数人⑴满足：

/z(x+2)=i(x),且当xe(—2,0)时，//(x)=/(x),若函数y=〃(x)—,nx的零点的个数为4个，求实数〃？

的取值范围.

【答案】⑴[0,IJ,(2)满足条件的整数对(。力)是(-1,3)

⑶卜10+4#}U(14-8G,6-4A)

【分析】(1)当6=0时，若/(x)在(-8,2]上单调递减，则此区间必是函数定义上单调递减区间的子集，

由此可以求出。的取值范围

(2)研究两个函数的最值，由于g(x)=-Jl-(x-a)2在x=a时取至【J最小值,故求出/(x)=-2〃+2万一Z/x取

最大值的方,令其等于

(3)由题设条件，根据奇函数的性质求出力。)在定义域上的解析式，再根据函数y=〃(x)-，nr的零点的个

数为4个，即可得到关于m的等式求出机的值.

(1)解：当匕=0时，/(x)=ax2-4x,

若a=0,f(x)=Tx,则f(x)在(YO,2]上单调递减，成立，

〃>0

故4H0,要使f(x)在12,+e)上单调递增，必须满4，解之得0<4,1

—..4

2a

即实数。的取值范围是[()』；

(2)解：若a=0,/(x)=-2,4+2bWr,可得了。)无最大值，故”r0,

・・J(x)为二次函数，

要使/(x)有最大值，必须满足,2八，即。<0，1-石釉1+75,

[4+2h-b~..O

此时，x=x'=如电二工时，/(X)有最大值.

a

又「g。)取最小值时，x=x0=a,

依题意有曲EU=awZ,可得。j-S-l)2，

a

丁a<0且，1—y/5^b1+\/5,

•，'0<a2,,\[5,结合。为整数得。=-1,此时"=-1或力=3.

综上所述，满足条件的实数对3刀是:(T—D,(T3).(3)解:当整数对是(TT),(-1,3).

•"(x+2)=M(x),.•/*+4)=-〃。+2)=力(幻，是以4为周期的周期函数.

又当Xe(-2,0)时，Mx)=f(x)=-(x+1)2+1,，对任意的xe(-2,0)都有〃(-2-x)=Mx)=-h(-x),所以对任意

的xw(—2,0)都有h(—x)=-7i(x),

对于任意的xw。，都存在AreZ,使得xe(4k-2,4&)U(4&,4k+2),

贝I］得一xe(Y&-2,-4&)U(T&,-4k+2),x-4ke(-2,0)U(0,2),4A-xe(-2,0)U(0,2),

y.h(x)=h(x-4k)=-h(4k-x)=-h(-x),即〃(-x)=-”(x),，〃(x)为奇函数.

考虑函数y=/x)的图象与函数的图象的交点个数，因为这两个函数均为奇函数，所以它们在y轴

右侧的交点个数为2,

当xe(4A-2,4Z),k&z,贝I」x-4&e(-2,0),h(x)=h{x-4(l)=-(x-4Z:+1)2+1>0,

当xe(4匕必+2),keZ,,则x-4k-2e(-2,0),.-.h(x)=-H9x-4k-2)=(x-4k-r)2-l<0

显然加=0时不合题意，舍去.

当初>0时，考虑这两个函数在y轴有且只有两个交点；

y=iwc

则<y=-(工一3)2+1有两组解，即炉+9=(6-m)工+8=0(2<工<4)有两解，m<6-4版,

2cxe4

y=mx,x>0

且,V=-。-7)2+1无解，即/+(14-/H)X+48=0(6<X<8)无解，「.团>14-86，

6cx<8

所以机e(14-86,6-4夜)，

y=jwc

当机<0时，考虑这两个函数在y轴右侧有且只有两个交点；■y=(x-i)2-i有一组解，

0<x<2

BPx2-(2+m)x=0(0<x<2)有一解，/.-2</w<0,

y=tnx

a-y=(x-5尸一1有一组解,即/-(10+，)x+24=0(4cx<6)有「解，m=-10+4逐,

4<x<6

综上，m的取值范围为卜10+4码U(14-8g,6-4旬

题型二：根据函数最值求参数

X2+4.

/、-----x>2

一、填空题1.(2021•上海市延安中学高三阶段练习)已知函数〃x)=x,若对任意的

2nx<2

司c[2,y),都存在唯一的々e(-s,2),满足〃X2)=/(x),则实数。的取值范围是.

【答案】0<«<4

【分析】由题意可得函数/(X)在[2,+8)时的值域包含于函数/(X)在(-00,2)时的值域，利用基本不

等式先求出函数f(x)在xd[2,+oo)时的值域，当xG(-00,2)时，对a分情况讨论，分别利用函数的

单调性求出值域，从而求出a的取值范围.

【详解】解：设函数g(x)=^F，x22的值域为A,函数力(耳=2卜4,x<2的值域为B,

因为对任意的玉e[2,+oo),都存在唯一的看«-8,2),满足/(%)=/(%,),

则AqB,且B中若有元素与A中元素对应，则只有一个.

当与e[2,+oo)时，g(x)=x+4=欠+),

XX

因为X+±22,Q=4,当且仅当X=3,即x=2时，等号成立，

X\XX

所以4=[4,T8),

M

当W«ro,2)时，/2(X)=2,X<2

①当a22时，Mx)=2"-",x<2,此时8=(2"-2,一),

.•.2"-2<4，解得24a<4,

2a-x,x<a

②当a<2时,心)=，

2X-U,a<x<2

此时/?(x)在(f,。)上是减函数，取值范围是(1，+®),

网力在[a,2)上是增函数,取值范围是[1,22-"),

,-.22-0<4,解得04a<2，

综合得0Va<4.

故答案为：04。<4

【点睛】关键点点睛：本题即有恒成立问题，乂有存在性问题，最后可转化为函数值域之间的包含关系问

题，最终转化为最值问题，体现了转化与化归的思想2(2022•上海•高三专题练习)已知函数

/(©=3*+二最小值为。贝I"____________.

3+13

【答案】y

【分析】本题首先可通过函数/(X)有最小值得出0>0,然后通过基本不等式得出/(x)22&-l,最后通

过函数/*)最小值为g求出。=与，通过检验即可得出结果.

【详解】因为函数〃x)=3'+m有最小值，所以”>0,

3+1

因为+

所以/(x)=3*+，一=3*+1+」--l>2j(3t+l)x—-1=2^-1,

3，+13*+1V/3，+1

因为函数/(幻=3、+3最小值为：，

3+13

所以26-1=；,解得。吟，当且仅当x=T时取等号，满足题意，

故答案为：号.

【点睛】易错点睛：

利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足“一正二定三相等“：

(1)“一正”就是各项必须为正数；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成

积的因式的和转化成定值：

(3)“三相等''是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所

求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

3.(2020•上海市行知中学高三阶段练习)设。，bwZ,若对任意的x40,都有(以+2心2+»)40,则

a-b=.

【答案】3

【解析】根据题意，设/。)=以+2,g(x)=V+2力，分析可得b<0,结合二次函数的性质分析可得在

(-OO,-X/=2F),g(x)>0,在(_，每，0),g(x)<0：又由(依+2)*2+彻„0,分析可得对于/(x)=or+2,在

(_oo,_Q),/(x)<0,在(_Q,0),/(x)>0；进而可得有f(_q)=(-“)xC^+2=0,结合。，

beZ,分析可得答案.

2

【详解】解：根据题意，设f(x)=«x+2,g(x)=x+2b,

当6..0时，gM=x2+2b..O,而F(x)=«r+2,0不可能在(-8,0]I二恒成立，必有6<0,

对于g(x)=x?+2%，h<0,

在(-8,-7^),g(x)>0,在.(-乐2,0),g(x)<0；

若(or+2)，+2垃,0,

则对于/(犬)=如+2,在(YO,-W^),f(x)<0,在(-x/^K,()),/(x)>0；

而/(x)为一次函数，则必有/(-/至)=(-a)x>/^^+2=0,且。>0,

变形可得：a\-h)=2,

又由。，beZ；

\a=b=-2,所以=1-(-2)=3

故答案为：3.

【点睛】本题考查不等式的恒成立问题，涉及一次函数、二次函数的性质，属于综合题.

二、解答题

4.(202卜上海•华师大二附中高三阶段练习)已知函数/(力=加-2公+双。>0),在区间[0,3]上有最大值

16,最小值0.设8(力=#.

(1)求g(x)的解析式;

(2)若不等式8(1哈力-"喳》20在[4,16]上恒成立，求实数出的取值范围；

【答案】(1)g(x)=4(x+：)-8(尤*0)：(2)(7,1].

【分析】(1)由二次函数的性质知”力在(0,1)上为减函数，在(1,3)上为增函数，结合其区间的最值，列

方程组求〃力，即可写出g(x)解析式；

j8

(2)由题设得无一)2---+4在xe[4,16]上恒成立，即我只需小于等于右边函数式的最小值即可.

log2Xlog2X

【详解】(1)•：f(x^a(x-1)2+b-a(a>0),即/(x)在(0,1)上为减函数，在(1,3)上为增函数.又在

[0,3]上有最大值16,最小值0,

/./(I)=b—a=0ff(3)=3a+h=16f解得〃=h=4,

g(x)=4(x+J-8(xwO)；

(i)

(2)Vg(log2x)-Aiog2x>04log2x+----------8>k\og2x,由xw[4,16],则log2*w[2,4],

k<4(—^-)2—+4=4(—^------1)2,,te,

log2xlog2^log2xlog2x|_42_

.•"(r)=4Q—1)2在上为减函数，当f时，〃⑺最小值为1,

二)41,即ke(-oo,l］.

【点睛】关键点点睛：

(1)根据二次函数的性质，结合区间最值列方程组求参数，写出函数解析式；

(2)将问题转化为在区间内％4版X)mi„，求参数范围.

5.(2022・上海•高三专题练习)对于函数/(x),若在定义域内存在实数%,满足/(-%)=-/(与)，则称

f(x)为“M类函数”

(1)已知函数/(x)=2cos(x-?J,试判断是否为“M类函数”，并说明理由；

(2)设〃力=4'-巾2川-3是定义域R上的类函数”，求实数机的取值范围

【答案】(1)是；答案见解析：(2)

【解析】(1)特殊值验证使得/(-x)=-/(x)即可；(2)因为函数满足新定义，则问题由存在问题转化为求

函数值域问题，进而可以求解.

【详解】解：(1)/(——)=2cos(————)=2cos(—+—)=2x(—=,

223232

/(y)=2cos(^-y)=2x^y=>^,B［j/(-y)=-/(^),

-TT

所以存在X。=］使得函数fix)为“M类函数”；

(2)由已知函数代处=4"-*.2川-3满足:f(-x)=-f(x),

则化简可得：4*+4-*-2皿2、+2r)-6=0...@

令1=2*+2-..2,则4'+4T=『_2,

所以①可化为：产-2,加-8=0在区间［2,*o)上有解可使得函数/(X)为“M类函数”，

即7M=在［2,+8)有解，

而函数在［2,+oo)上单调递增，所以当f=2时，有最小值为22、)=-1，

所以加…一1,

故实数m的取值范围为：［-1,*o).【点睛】本题考查了新定义的函数问题以及函数的有解问题，涉及到

求函数的值域问题.求函数最值和值域的常用方法：

(I)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；

(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；

(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；

(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；

(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.

题型三：函数不等式恒成立问题

一、填空题

1.(2022・上海・华东师范大学附属东昌中学高三阶段练习)若关于x的不等式log/3'+/l-2')41对任意的

4

x40,+oo)恒成立，则实数4的取值范围是.

【答案】[一3今”)

4

【分析】将%(3'+九2')41对任意的xW0,内)恒成立，变为义z《-(|)，对任意的x目0,田)恒成

立，构造函数g(x)=7二-4)》,xe[0,w),判断其单调性，确定其最值，即可求得答案.

4・22

【详解】关于X的不等式logi(3'+九2')41对任意的X€[0,物)恒成立，

4

则3,+2•2*>1对任意的xe[0,+oo)恒成立，

I3

即几21方-(]),对任意的X目0,物)恒成立，

令g(x)=£；-(**,xe[0,+oo),由于尸1不是递减函数，y=-g)*递减，

故g(x)=:=-分，xe[0,+<»)是递减函数，

4,22

3

故g(x)<g(0)=一：,

4

3

故4N，

4

3

故答案为：[-9，口)

4

2.(2022•上海市实验学校高三阶段练习)已知/(x)=or2+8x+3,对于给定的负数4，有一个最大的正数

用⑷，使得xe[0,M(a)]时，都有|/(刈45,则似⑷的最大值为.【答案】彗"

【分析】二次函数配方得到/(x)的含有参数的最大值，研究二次函数最值与5的大小关系，分类讨论，求

出〃(。)的最大值.

【详解】/(x)=ar2+8x+3=afx+-T+3--,当3—3>5,即-8<a<0时，要使|/(*)归5在

ka)aa

xe［O,M(a)］上恒成立，要使M㈤取得最大值，则M(a)只能是♦+8x+3=5的较小的根，即

、侬+16-4

M(a)=----------：

a

当3-?W5,即8时，要使M(a)取得最大值，则M(a)只能是52+8x+3=-5的较大的根，即

/、-2,4-2”4

M(a)=------------------

a

MQ)=J2a?6d21

当一8<。<0时丁-I—<一

侬+16+42

当〃4一8时，.4<_^—=^l±L,所以"(a)的最大值为垦1.

a44-2a-2V20-222

故答案为：叵“

2

【点睛】对于含有参数的二次函数综合性质问题，通常要进行分类讨论，数形结合来进行求解.

二、解答题

3.(2022•上海市七宝中学模拟预测)已知定义在区间10,2］上的两个函数/*)和g(x),其中

2

f(x)=x2-2ax+4(。>1),g(x)=——.

x+1

⑴求函数y=/(x)的最小值加①)；

⑵若对任意内，々｛［。，©，/(%2)>ga)恒成立，求。的取值范围.

4-«2,l<a<2⑵l&a〈巫

【答案】⑴加3)=<

8-4a,a>23

【分析】(1)先将f(x)的解析式进行配方，然后讨论对称轴与区间。21的位置关系，可求出函数y=/(x)

的最小值"?(〃)；

(2)根据函数的单调性求出函数"力的最小值和g(x)的最大值,然后使/(Wmi/gG)^，建立关系

式，解之即可求出答案.⑴由〃x)=Y_2ax+4=(x-a)2+4-a2,则二次函数的对称轴为x=。，

则当14a<2时，“X)在［0,4)上单调递减，在(。,2］上单调递增，所以

加⑷=/(xL=/(a)=4-〃；

当a22时，f(x)在［0,2］上单调递减，加(°)=/(矶而=/(2)=8-4«,

4-a2,\<a<2

所以加(a)=，

8-4a,a>2

⑵g(x)=(x+l)+：i—2,当xe[0,2]时，x+le[l(3],又g(x)在区间位2]

4

上单调递增，所以g(X”0,-.

若对任意占%w[o,2],“w)>ga)恒成立

\<a<2a>2

则〃立广且㈤皿，故或'4

8—4〃〉一

3

解得：14a<亚.

3

4.(2022・上海・复旦附中模拟预测)已知非常数函数/(x)的定义域为。，如果存在正数7,使得对任意

xeD,都有〃x+T)=，/(x)恒成立,则称函数f(x)具有性质尸(7).

(1)分别判断下列函数是否具有性质夕(1),并说明理由；

①/(x)=sin2zu；②g(x)=cos7tx.

⑵若具有性质P(2),/(1)=1,/(2)=-4,s“表示"〃)的前〃项和，C,二2若

C”<log”(a+1)+10恒成立，求”的取值范围；

(3)设连续函数g(x)具有性质P(T),且存在M>0,使得对任意xGR,都有|g(x)|<M成立，求证：g(x)

是周期函数.

【答案】⑴函数/(x)=sin2m具有性质P⑴，函数g(x)=cos也不具有性质「⑴；

⑵或0<a<土好；(3)证明见解析.

2

【分析】(1)根据性质尸(1)的定义判断，(2)由条件求，<明再由数列求和公式求C,,,解不等式

(C,)gVlo&(a+l)+10求0;(3)由条件证明函数g(x)具有性质尸⑴,由此证明g(x)是周期函数.⑴因为

/(x)=sin2iuc,Jj/fI2X/(x+1)=sin2n(x+1)=sin2TTX=1-f(x),

所以函数〃x)=sin2心具有性质P⑴，

因为g(x)=COS7Lt,^(X+1)=COS71(X+1)=-COS^X^1-^(X),

所以函数g(x)=cosn不具有性质P(l):

(2)因为/(/?)(«eN*)具有性质尸(2),所以f(〃+2)=2f(〃)

又/⑴=1,42)7,

所以f(3)=2/(1)=2,/(5)=2/(3)=22,……,/(2n-l)=2"，

/(4)=2/(2)=-2\/(6)=2/(4)=-24,……J(2〃)=-2n+,,

所以/(1)+/(3)+/(5)+…+/(2“_1)=]+2+22+…+2"T=2"_],

/(2)+/(4)+f(6)+…+/(2n)=-22-23-24-------2同=-4(2"-1)所以

邑„=/(D+/(2)+/⑶+…+/(2n)=-3(2"-1),

S2„_,=/(1)+/(2)+/(3)+-+/(2n-l)=3-2«,

S?”3(2"7)

所以C,,=

S三2--3

所以G=-3,G=9,

3(2"”-1)

…八/、Cm2,,+I-32(2")2-72+3

'n~时，">'3(2"-tF=2(2")2-5・2"+3'

2"-3

因为2(2")2-5-2"+3>2(2")2-7-2"+3,

c

所以孝旦<1，即G>G>…〉C>…，

所以(GL=G=9,

因为C,<Iog“(。+1)+10恒成立，所以log.(a+1)+1。>(C,L=9,

所以bg"(a+l)>T,

当”>1时，log.(a+l)>-l可化为a+l>L解不等式可得a>l,当0<。<1时，log“(“+l)>-l可化为

a

a+1<L化简可的0<〃<―""，

a2

所以。>1或Oca<二ItG；

2

⑶设|g(%)|在区间。7]上的最大值为〃,H<M

因为函数g(x)具有性质P(T),T>0.

若T>1,则g(x+7)=Tg(x),g(x+2T)=7g(x+T)=T2g{x),…，g(x+〃T)=T"g(x),所以

\g(x+nT)\=T"\g(x)\<T"a,

即函数|g(x)|在区间［〃T,5+1)T］上的最大值为Tk,

M

令T,aNM,则n>log一，

za

M

所以当"取比logr一大的整数时，则7与条件矛盾，

a

若0<7<1,则g(x-T)="g(x),g(x-2T)=，g(x+T)=*g(x),…，g(x-〃7)=\g(x),所以

|g(x-〃7)|=亲以x)|4*,

即函数|g(力|在区间［-〃T,-(〃-1)为上的最大值为，a,

令占aNM,贝iJnNlogr9.

所以当"取比log’E大的整数时，则二〉M,与条件矛盾，

故7=1,所以函数g(x)具有性质P⑴,

即g(x+l)=g(x),所以g(x)是周期函数.

【点睛】函数的新定义问题的解决的关键在于准确理解定义.

5.(2022•上海市建平中学高三阶段练习)对于函数/(x)(xe。)，若存在正常数T,使得对任意的xe。，

都有f(x+T)>f(x)成立，我们称函数f(x)为“7同比不减函数”.

⑴求证：对任意正常数T,/(x)=/都不是“T同比不减函数”；

TT

(2)若函数/(x)=H+sinx是“彳同比不减函数”，求左的取值范围.

【答案】⑴详见解析；(2)［逑,+8)

冗

【分析】(1)利用T同比不减函数的定义证明；(2)根据T同比不减函数的定义，由上2乎sin(x-7)恒

成立求解.

⑴因为,

所以f(x+T)-f(x)=(x+Ty-x2,

=1xT+T2=T（2x+T）,

因为2x+T与0的大小不确定，

所以对任意正常数T,〃幻=/都不是叮同比不减函数”;

TT

⑵因为函数f(x)=&+sinx是同比不减函数”,

所以/(x+7)-/(x)="x+|^+sin(x+'-Ax-sinx

=£_血sin(x-7)之0,恒成立,

即kN乎sin(x-?)恒成立，

因为-1<sin<1

所以kN里,

71

所以&的取值范围是［迪，包)

71

题型四：函数不等式有解问题

一、填空题

1.(2022•上海市控江中学高三阶段练习)已知函数〃x)=x,g^=^-x+2,若存在

o

Xl,x2,---,x„e0,-，使得/(均)+/(々)+…+/(玉_1)+8(玉)=8(4)+8(工2”-+8(玉_1)+/(玉)，则〃的

最大值为

【答案】14

r9

【分析】令九(力=犬-2x+2,原方程可化为存在演,七,…,x,,e0,-,使得

/?&)+/?(&)+…+旗x,i)=/i(x.)，算出左侧的取值范围和右侧的取值范围后可得”的最大值.

9-

-

【详解】因为存在为,多,…,e2

-

9

使得/(%)+/(占)+・・T/(X,l)+g(X〃)=g(X)+g(9)+・・・+gCvJ+/(%〃)，故存在冷和…，怎6。,5

使得片-2xj+2+…+x；_]+2=x；-2xn+2.

,、c「9-153

^•/z(x)=x2-2x4-2,xe0,-,则

5353

故〃一l4x；-2玉+2d----Fx^_1—2xzr_1+2<—(n-1),因为1

53

<—,n€N*»故"max=]4.

4

故答案为：14.

Xn

2.(2021・上海•曹杨二中高三阶段练习)已知。>0,函数.f(x)=「^,g(x)=x-；,若对任意

\+x3

芭e[~a,a]，总存在x,el-a,a],使得/(不)2g(%),则a的最大值为.

【答案】显

2

【分析】利用/(x)2g(x)1mx在[-〃,”]有解可求a的最大值.

【详解】因为对任意%,总存在马,使得"々"gG)，

所以存在We[-a,a]，使得/(乙)2g(x)max=-a,

r2

故;72彳。在上有解，即20r2一3x+2〃40在I-。，川上有解，

1+x3

□

设=2aX?-31+2。，其对称轴为x二"，

若3<。即〃时，此时△=9一16々2<0,故20r2一31+2々40不成立；

4a2

若即0<〃4孝，此时需〃(不需W0即〃(a)<0,

fj

故j2,故0<aWJ

2a3-a<02

故。的最大值为也.

2

故答案为：丝.

2

3.(2021•上海•模拟预测)函数/'(>)=8§。+且sin2x,xw一U，若存在实数〃2,使得

2L36J

/(X)+k)g1-；机2+||<o成立，则实数机的取值范围为

【答案】(一石，1一夜)u(0—1,@【分析】由“力二可21+£|+；,根据工£，求得其值域,

再根据存在实数加，使得f*)+10g2(-；团2+|]<0成立，转化为存在实数〃7,使得

log?12?+目<一成立求解.

【详解】函数/(x)=cos2ji+^^sin2x,

G「111

——sinz.x4—cos2x4—»

222

=sin|2x+—|+—,

I6j2

因为xe-^，看，则2x+?e，则sin新?

_JoJo|_22J秒6

ri3~

所以~292'

因为存在实数，"，使得/'*)+1鸣(-]?2+?<0成立，

所以存在实数，小使得腕21;疝成立，

1.3

——m~+—>0n

,,,r123A122

则log21-5次+2H2,即《

123rr

——rn-+—<yJ2

22

由华得-A/3<m<\—41或A/2—\<m<百，

所以实数〃1的取值范围为卜后1-夜”(夜-1,6)

故答案为:(-6,1-/”(应-1,百)

二、解答题

4.(2021.上海市风华中学高三期中)已知函数〃X)=X2-4X+3,g(x)=mx+5-2m.

(1)若对任意的百W1,4],总存在ww[l,4],使/G)=g(&)成立，求实数，"的取值范围；

(2)若函数y=f(力(xe『,4])的值域为区间。，是否存在常数f