2023年上海高考数学满分复习攻略第11讲 平面向量（解析版）

第11讲平面向量

［考点1】平面向最的实际背景及基本概念

【考点2】平面向辰的线性运算

【考点3】平面向ht的底本定理及坐标表示

平面向量

【考点4】平面向量的数量积

【考点5】平面向量的应用

【考点6】平面向最新定义4【考点梳理】

一、平面向量的概念及线性运算

1.向量的有关概念

名称定义备注

具有大小和方向的量;向量的大小叫做向量的长度

向量如a,AB

域模）

零向量长度等于零的向量:其方向不确定记作0

给定一个非零向量a,与a回包且模为1的向量，叫

单位向量j/

做向量a的单位向量，可记作国

向量a与b

共线（平如果向量的基线互相平行或重合,则称这些向量共线

平行记作

行）向量或平行

a"b

相等向量同向且等长的有向线段表示同一向量,或相等的向量如荔=a

相反向量与向量a反向且等长的向量,叫做a的相反向量记作一a

2.向量的线性运算

向量运算定义法则（或几何意义）运算律

(1)交换律：

ZJb

aa+b=b+a.

加法求两个向量和的运算三角形法则

(2)结合律:

a(a+t>)+c=a+(Z?+c)

平行四边形法则

减去一个向量相当于

xy

减法加上这个向量的相反a—b=a+(—b)

三角形法则

向量

(1)^a\=\1|a|；

⑵当4>0时，，la的方向4(=入〃a；

求实数A与向量a

数乘与a的方向相同;当4V0(4+〃)a=-a+

的积的运算

时，4a的方向与a的方向A(a+Z?)=Xa+/"

相反;当a=0时，Aa=0

3.共线向量定理

向量a(a#O)与6共线的充要条件是存在唯一一个实数人使得b=4a.

二、向量的分解与向量的坐标运算

1.平面向量的基本定理

如果a和®是一平面内的两个不平行的向量,那么该平面内的任一向量&存在唯一的一对实数国,出,使

a=a\e\-\-aiez.

其中，不共线的向量会叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为｛&,ej.a向+选d叫做向量a

关于基底｛8,伪｝的分解式.

2.平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.

3.平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模

设a=(%,yi),b=(x2,⑸，则

a+b=(为+X”%+%),a-b=(小一生，K—%)，才a=([x”/必)，a|=、/"+«.

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.

②设4(为，必)，6(必，%),则葩=(XL/，——,I葩I=、/~7XL%),+(%—»)".4.平面向量共线的

坐标表示

设a=(xi,%),6=(x2,%)，则a〃ZK=>xi%一—％=0.

三、平面向量的数量积及其应用

1.两个向量的夹角

(1)定义：已知两个非零向量a和。,作应=a,08=b,则/4仍称作向量a和向量6的夹角,记作〈a,b).

(2)范围：向量夹角〈a,b)的范围是［0,五］,且〈&6〉=〈b,a〉.

JI

(3)向量垂直：如果〈a,6〉—.则a与b垂直，记作a^Lb.

2.向量在轴上的正射影

已知向量a和轴/(如图)，作应=&过点0,4分别作轴/的垂线，垂足分别为。，4,则向量弟।叫做向

量a在轴/上的正射影(简称射影)，该射影在轴/上的坐标，称作a在轴，上的数量或在轴/的方向上的

数量.

应=&在轴/上正射影的坐标记作a,向量a的方向与轴/的正向所成的角为0,则由三角函数中的余弦

定义有ai=Ia|cos0.

45一Hh.向量的数量积

⑴平面向量的数量积的定义：

a|6|cos〈a,b)叫做向量a和，的数量积(或内积)，记作a・6,即a・b=|ab\cos〈a,b).

⑵平面向量数量积的性质及其坐标表示

设向量a=(x”％),6=(如y2)f。为向量&b的夹角.

①数量积：a*b=abcos夕=汨加

②模：IH=yja•a=^xx+yi.

④两非零向量的充要条件：a•，=0=X径+%%=0.

⑤|a•引W|a||b(当且仅当a//b时等号成立)=|不用+%力W7京+/•4.平面向量数量积的运

算律

(Da•b=b・a(交换律).

(2)4a・8=4(a・b)=a•(4b)(结合律).

(3)(a+b)•c—a•c+6・c(分配律).

W【解题方法和技巧】

1.向量线性运算的三要素

向量的线性运算满足三角形法则和平行四边形法则，向量加法的三角形法则要素是“首尾相

接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是''起点重合，指向被减向量”；平行四边形

法则要素是“起点重合”.

2.三个常用结论

（1）0为△A3C的重心的充要条件是以+为+反=0;

（2）四边形A8CO中，E为AO的中点，厂为8c的中点，则油+比=2航：

（3）对于平面上的任一点O,OA,为不共线，满足罚=x稹+y访（尤，ydR）,则p,A,8共

线=x+y=l.

注意向量共线与三点共线的区别.

3.平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是

向量的坐标表示的基础.

4.平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组.

5.用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如。=九61+/202的形式.

6.计算向量数量积的三种方法

定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活运用，与图形有关的不要忽略数量积几何意义

的应用.

7.求向量模的常用方法

利用公式|。|2=,，将模的运算转化为向量的数量积的运算.

8.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.

一

【考点剖析】【考点1］平面向量的实际背景及基本概念

一、单选题

1.（2022・上海•高三专题练习）正2021边形A4…4）21内接于单位圆0,任取它的两个不同的顶点4,A.,

构成一个有序点对（4,4）,满足|西十可|21的点对（A，a）的个数是（）

A.2021x673B.2021x674C.2021x1346D.2021x1348

【答案】c

【分析】先通过向量模的运算公式，可以计算出cosON-],即64半，既可以得出答案.

【详解】闻+弧『=2+2cosOZl,cos”-；,所以两网的夹角不超过耳，对于任意给定的丽，

2427r—>_

因为=673.66,满足|侬+OA伸1的向量0A,的取法共有673x2=1346,再让画।动起来，可得

点对（A，A,）的个数是2021x1346.

故选:C.

2.（2022・上海•高三专题练习）下列说法中正确的是（）

A.AB+BA=0^

B.若方、5非零向量且|a+5|=|4-B|,则。_Lb；

C.若|万|=出|且Z//5,则-=

D.若。//5,则有且只有一个实数义，使得5=痛.

【答案】B

【分析】注意到零向量的符号应当是。，可知A错误：对于B：利用向量的模的性质和数量积运算可以证

明。石=0,可得B正确；考虑到M=的情况，得到C错误；考虑到1=6，Bw。，可知D错误.

【详解】而+而=0左边是向量的加法，结果是零向量，用。表示，故A错误；

由/I非零向量且向+川=|万-5|,

两边平方可得a2+2ab+b2=a2-2ab+b2,

即2石=0，所以Z_Lb,故B正确；

当H=时也有|@|=出|且2〃石，故C错误；

若]=0，BwO,不存在实数义，使得5=而，故D错误.故选：B.

3.（2022・上海市嘉定区第二中学高三开学考试）设A、B为圆/+丁=1上的两动点，且乙408=120。，P

为直线/：3x-4y-15=0上一动点，则|两+方|的最小值为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】取A8中点C,求出C点轨迹方程，PA+PB=2PC，转化求C点到直线/上点的距离的最小值，由

此计算可得.

【详解】设C是48中点，因为NO8=120。，所以|01=|。4恒1130。=；,即C在以原点为圆心，g为半径

的圆上，

PA+PB=PC+CA+PC+CB=2PC>\PA+PB\=\2PC\,

।.|0—0—15|i5_.,

又「°仁=知才=3,所以1代|“而=3-万=子所以IPA+PB0=2==5-

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题考查圆上两动点AB与直线上

动点P间的“距离”的最小值问题，解题关键是取中点C,把万+而用无表示，这样A8两动点转化

为一个动点C,求得C点轨迹，利用直线与圆的位置关系求解即M.

二、填空题

4.（2022・上海•高三专题练习）设向量2=（2』），）是与£方向相反的单位向量，贝底的坐标为.

【答案】（-与,【分析】根据相反向量、向量模的概念，求得£相反向量的坐标及模长，即可求"的

坐标.

【详解】由£相反向量为（-2,-1）且模长为逐，

5.(2022•上海•高三专题练习)已知A(2,3),B(l,4),且jAEi=(sinx,cosy),x,则

x+y=.

【答案】m或-g

o2

【详解】因为A(2,3),B(l,4),所以AB=(1，4)-(2,3)=(-l,1),故;人口二卜；，；)所以sinx=-；,cosy=；,

..|兀7T)...7t711.兀__ji7C

又X,ye>所以x=-T，y=±T'从而x+y=7或x+y=-彳.

V2276362

故答案为BTT或-7WT

62

6.(2022♦上海•高三专题练习)已知正方形A8CO的边长为1,则卜月+有仁+48+而|=.

【答案】141

【分析】利用向量的运算法则和模的计算公式即可得出.

【详解】解：解：如图所示:

AB+fiC=AC，AB+AD=AC>

\AB+BC+AI3+Al^=\2A(^=2\A(^=2yf2.

故答案为：2y.

(2022•上海•高三专题练习)已知非零向量£、5、"两两不平行，且2〃伍+2),

b//(a+c),设"=xd+y万，x,yeR,则x+2y=.

【答案】-3

【分析】先根据向量共线把工用£和石表示出来，再结合平面向量基本定理即可求解.【详解】解：因为非

零向量£、%、2两两不平行，且£〃R+2),bll(a+^,

二.a="？+00,

:.c=-a-b:.b=n(a+c],n^0,\c=-b-a

tnv7n

,/c=xa+yb/.x=y=T，x+2y=-3故答案为：-3.

【点睛】本题考查平面向量基本定理以及向量共线的合理运用.解题时要认真审题，属于基础题.

8.(2022.上海.高三专题练习)在平面直角坐标系xOy中，起点为坐标原点的向量万,5满足忖=忖=1,且

a-b=-^,c==(n,l-n)(m,n&R).若存在向量G、b，对于任意实数加，"，不等式

忖-日+忸-同之7成立，则实数T的最大值为.

【答案】1+72

【分析】由区-4+|5-1卜7转化为求口-4+1-目的最小值，转化为求|AE|+|M|的最大值，再由梯形中

位线转化为求|用凶的最大值得解.

1UUUUIIILIU

【详解】设M=OAb=OB<c=OC,d=OD>则点A、8在单位圆上，点C、£)在直线x+y-l=O匕⑦b

的夹角为2看7r.如图所示.

根据机、w的任意性，即求点A、B到直线x+y-l=O距离之和的最小值,

即|A目+忸月(点E、尸分别是点A、8在立线x+)「l=O上的射影点)；

同时根据&石的存在性，问题转化为求|A£j+|AF|的最大值.

设A8的中点为M,设点M、。在直线》+丫-1=0上射影点分别为N、0，，

Wi]|A£|+|BF|=2|A®V|<2(|MO|+|^,|)=2(1+^)=1+72,

当且仅当点M、0、0'依次在一条直线上时，等号成立.

所以T41+&，即所求实数7的最大值是1+夜.

故答案为：1+&

【点睛】关键点睛：把向量模长最值转化为点到直线的距离.

【考点2】平面向量的线性运算

一、单选题

I.(2022♦上海•高三专题练习)已知EF半径为2夜的圆C上的一条动弦，且所=4,。为圆C内接正三

角形边上一动点，则丽.前的最大值为()

A.3B.2GC.4D.20

【答案】c

【分析】根据题意，设M是动弦EF的中点，判断M点的轨迹是以C为圆心、半径为2的圆，根据向量的

线性运算法则，表达丽.前，即可求解.

【详解】由题意，EF是半径为2/的圆C上的一条动弦，设M是动弦族的中点，

则CM=卜_（共,=2,故M点的轨迹是以C为圆心、半径为2的圆，

则而•丽=（防-配）（而-而）=防（而+配）-乐•斯-而2由M是EF的中点，贝I］赤+赤=6,

则丽.丽:=而2-砺2，山|娇|=2,则丽.丽^4-诟2

因为短是圆C内接正三角形边上一动点，M是动弦EF的中点,

所以当。取M点的轨迹与正三角形交点时，|诟卜0是最小值，

此时•（而・丽）=4

故选：c

【点睛】本题考查向量的线性运算及数量积运算求最值问题，考查转化与化归思想，属于中等题型.

二、填空题

2.（2022・上海•高三专题练习）设户是边长为2近的正六边形A&A34AA的边上的任意一点，长度为4的

线段MN是该正六边形外接圆的一条动弦，则丽・丽的取值范围为

4圣一人

【答案】［6-4通,8+8回

公一^^

【分析】取MN中点为Q,利用平面向量的加减法及数量积运算可推导出丽・丽=所2一4,利用数形结合

法得出|及|的取值范围，即可求出丽•丽的取值范围.

【详解】设正六边形外接圆的圆心为。，

正六边形44A3A44a.的边长为2a,•••LE六边形A44AA4外接圆的半径为R=20，

设MN中点为。，则PM=PQ+QM,PN=PQ+QN,

二一QN）=PQ2+PQ（QM+QN）+QMQN,

•1.QM=-QN,QM+QN=6,：.PQ（QM+QN）=O,

又...［西卜|丽卜.•.西.丽

...|MN|=4,2,=2x2*cosl80°=--4,.-.PM-PN=PQ-4<

4K%1先在A°QM中.MN中点为Q.根据;垂径定理则OQ1MN,\QM\=2,\0M\=2

.•.|OQ|=JOM|2_|QM「=^T^=2,

“""……；

%---

匕线时|所取|图=R+r=20+2；

二当尸在正六边形A4A4AA的顶点处，且P、Q、。三点方

・••当尸在正六边形AA24AM4边长中点，且P、。、。三点共线时|而|取|①L=l°网一『="-2：

>i-.-PMPN=P^-4，-4<PM-PN^PQ-44同[“-4,

:.（>/6-2^-4<PM-PN=PQ-4<（2y/2+2^-4,

:.6-4y/6<PMPN<S+8y[2.

故答案为：[6-476,8+872]

3.（2022・上海•高三开学考试）设四边形ABCD为平行四边形，|而|=3,|而|=4,/明。=60.若点M

满足丽=2祝，则赤.荏=

【答案】12

【分析】计算次=乱+,而，则祝•通=而•通+,而二根据向量运算法则计算得到答案.

__________2__

【详解】AM=AD+DM=AD+-AB,

AMAB=\AD+-AB\AB=ADAB+-AB=4X3X-!-+-X32=12.

I3J323

故答案为：12.

4.（2022・上海•高三专题练习）已知向量九B满足同=1，W=2,若存在单位向量入使得|万词+归目=#,

则必5的最小值为.

【答案】-2

【分析】分无e与51符号同号与异号两种情况讨论，进而可求a石的范围，即可得最小值.

【详解】当无々与51同号时，卜•々+5/=区/+|5/=6

所以l（a+B>e|=#,即工与3+各共线时等号成立，而|&+方『=12+76,即6

又7弘同W=2当向量£,各同向共线时，等号成立

-1

所以1包£弓,2]

当&包与氏。异号时，,电一5回=|五。|+|5例=#

所以|0_方）电|=卡,即值-在而,"与£+1共线时等号成立,

jfu'|a-^|2=a2+P-2a.^>6,即心Bw-g,

又£隹干帆=-2当向量£,各反向共线时，等号成立

所以无相[-2,一3

-1I

综上，«^=e[-2,--]U[-,2],即最小值为—2.

故答案为：—2

【点睛】关键点点睛：分无。与符号同号与异号两种情况讨论，结合向量数量积的运算律是解题关键

5.（2022•上海•高三专题练习）设向量£=（2,1）,"是与£方向相反的单位向量，则"的坐标为.

【分析】根据相反向量、向量模的概念，求得£相反向量的坐标及模长，即可求"的坐标.

【详解】由£相反向量为（-2,-1）且模长为不，

.-,2石石、

..e=（一丁丁

故答案为：（-笠,-乎）

__12

6.（2022•上海•高三专题练习）在AABC中，AB=\,AC=2,CE=-CB+-CA,则通.而=__________.

63

【答案】y

【解析】利用而，正作为基底表示衣，BC，即可求出乐.无.

【详解】,-CB=AB-AC，

;.CE=-CB+-CA=-（AB-AC\+-CA=-AB--AC+-CA=-AB--AC,：.CE=AE-AC=-AB--AC,

636、,36636666

即荏砺一亮而=[（而+硝，

UUUULHUULU

又QBC=AC-A8，

通.宓=1（通+码.国_碉='（研一网2）=\x（22_12）=g

故答案为：y.

UUUUUIU———.5

7.（2022・上海•局三专题练习）在△ABC中，AB=3,AC=2,点。在边5c上.若人用AO=1，ADAC=-f

,UUUUUIU.........

则AB-AC的值为.

【答案】-3

【解析】设丽=4团（0<4<1）,则而=4衣+（1-4）荏，由题设可得关于力和而•福的方程组，从而

可求而•福的值.

【详解】设丽=寂（0</1<1），故而-而=2国_画，

B|JAD=AAC+（1-A）AB,

teABAD=2AC-AB+（l-2）AB2=2AC-AB+9（l-A）.

ACAD=2AC2+（1-2）AC-AB=4A+（1-2）ACAB.

AACAB+9（1-A）=1,（1）

所以S.、______5,、，

42+（l-2）AC-AB=-,（2）

.3

------19

两式相加可得AC48=54此式代入（1）式可得

'V2或八三I?（舍去），

代入⑴式可得而.丽=-3

故答案为：-3.

8.（2022・上海•高三专题练习）己知平面向量区、而满足|丽『+|而『=4,|浅|、2,设用=2期+谣,

则因e.

【答案】3"；&,3好;立【分析】根据条件求解出|可+而|、|可-而|的值，根据

斤=2丽+丽=云丽+丽）+；的_丽），

利用向量的三角不等式形式“|叩词丽-丽］卜四4||西+丽|+；国-网求解出।南的范围.

【详解】因为网2=|"+=网2+冏，-2P4方=2且网2+1而1=4,所以百.万=1；

又因为国+而i=网2+阀?+2丽.丽=6,所以国+网="；

由画2=|丽—可|2=陷_网2=2,所以国—丽卜区

根据卮=2中+方=弓（刀+方）+g（西-丽）可知：

萨+丽卜妒_啡|邳|叵+网+J丽一网

左端取等号时：户,48三点共线且尸在线段外且尸靠近B点；右端取等号时，P,A8三点共线且产在线

段A8外且P靠近A点，

所以3#；应v园43”夜,所以同卜3娓；应,3瓜;近

3瓜-叵3#+&

故答案为:

2'2

【点睛】本题考查向量的三角不等式的运用,难度较难晌量的三角不等式形式：己知向量工人则

阿训中+取时+阵取左端等号时£与.反向，取右端等号时£与B同向.

9.（2022•上海市建平中学高三阶段练习）在平面直角坐标系X。），中，已知点A0/）、3（2,4）、C（4,2）,

点尸在AABC三边围成的区域（含边界）内，若丽=小赤+〃/，则动点（〃?,〃）所构成的图形的面积为

【答案】3

【分析】先结合AABC三边围成的区域（含边界）写出不等关系，发示出点P坐标，利用不等关系解出动点

（见制的可行区域,求面积即可.

【详解】由A。/）、8（2,4）、C（4,2）可知，直线AB的方程为yT=fj（x-l）,化简得3x-y—2=0,

2—1

直线AC的方程为化简得x—3y+2=0,

4-1

直线BC的方程为y-4=。«-2）,化简得x+y-6=0.“BC三边围成的区域（含边界）如图所示，对

2—4

3x-y-2>0

应的不等关系为《x-3y+2<0,

x+y-6<0

又丽=(1,3),(3,1),故

3(m+3〃)-(n+3m)-2>0

要使点P在△ABC三边围成的区域(含边界)内，结合不等关系可知(机+3〃)-35+3刈+2(0,解得

(/77+3〃)+(〃+3m)-6<0

故动点(〃?,〃)所构成的图形为边长为1的等腰直角三角形，面

故答案为：^-.10.(2022・上海•高三专题练习)已知正六边形ABCDEF,例、N分别是对角线AC、CE上

的点,使得黑飞/当“-----------时,8、%N三点共线.

—>—>—>1—>3—>

【分析】连结AQ,交EC于G点，根据正六边形的性质，表示出C4=CG+GA=mCE+5C8,然后根据

怨=生=，表示成丝=色+3&,由共线定理求得参数r的值.

ACCEi-r2r2

【详解】连结AZ),交EC于G点,设正六边形边长为m由正六边形的性质知，ADA.CE,AD//CB,G

[T3

贝|JC4=CG+G4=-CE+-CB,

22

—>—>

又网="

(r>0)则&=也，

ACCE\-rr

故包=比+。&,即

1-r2r22r2

若8、M、M三点共线，由共线定理知，?+=/=1，解得『=走或（舍）

2r233

故答案为：立

3

【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于用向量&&表示&，从而根据粤=桀=，把向量表示

ACCE

一厂—（）

成CtM==1CN+、31—?rC-8,若从M、N三点共线，由共线定理可以求得参数.

2r2

11.（2022.上海市实验学校高三阶段练习）如图，圆。是半径为1的圆，OA=；,设8,C为圆上的任意

2个点，则Ac,BC的取值范围是.

【分析】连接。4,OB,设。是线段8C的中点，连接。£>,则有8人8c.设。为以和庭的夹角.求出

—>T1—>~1—>

ACBC=-BC-一8Ccos6».利用二次函数即得解.

22

【详解】解：连接04,08,设O是线段BC的中点，连接0Q,则有8A8C.

设夕为0、和BC的夹角•

—>I—>T->—>—>

则ACBC=OC-OA\BC=OCBC-04BC

—>—>—>一]T[2

=OCBC•cosN8co—OA^Ccos6>=lBC\||BCCOS6»,

«c|COS0>^|«C|_、8口=；（|比'g）_:，（当cos6=l即0=0时取等）

因为BCe[0,2],所以当8C=；时，/辰:有最小值

28

2

BC

2

（当cos6=-l即时取等）

T]—1f

当BC=2时-，-BC+-BC有最大值为3,

22

即公•庭有最大值3,所以正.战：的取值范围是-《3•

故答案为：

_O_

-*-*1->|~1I—>

【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用向量的运算建立函数模型ACBC=；8C-；8Ccos。，再利用

二次函数的图象和性质求解.

__________UHULUUlUUUU

12.（2022・上海♦高三专题练习）设向量0A,0B满足|OAi=|OB|=2,0408=2，若见“eR,m+n=l,贝lj

uunuuuIuiuuir

\mAB-AO\+\-BO-nBA\的最小值为.

【答案】币

uunmnniuimuir

【解析】先由向量的数量积判断出AAOB为等边三角形，再计算出依48-4。|+|/8。-〃84|的表达式，由

m+n=\,得出w=l-m，进行代换，最后转化为点与点之间的距离，即可求得.

uiauuu

【详解】解：|。4|=|。8|=2,

uiruiuIUUTI.uuni

OA.08=04.xcos/AOB=2,

解得：cosN4O8=g,

7T

即NAOB=；,

「.△AC«为等边三角形，

utnuiin，2uun।Iuuu*7jr1呵2._-------------

\mAB-AO\=nr|AB|一2〃?„卜0卜0§—十A。=。4相~一4相+4,

又・.•机+〃=1,艮|J〃=1一〃2,

iuuuuir/ilUunpiuuuilUiri[uirT)---------------

J-|BO|-/?|BO|-|BA|cosy+/i2|BA|=>J4n2-2n+l,即

Iuiinuiri-----------------------------

\-BO-nBA\=J4(l一w)2—2(1一加)+1="M-6〃?+3,

uuniiu®।uunuir______________________

\mAB-AO\+\-BO-nBA\="疗-4/%+4+J4m?-66+3=d(2m-1)?+3+J(2ZH—1)2+—,

上式可转化为求点与点之间的距离，

令C(2m,0),£)(1,A/3),E(|,当，

uunnumiuuuuir

\mAB-AO\+\-BO-nBA\^|CD|+|CE|,

又•.•皿+|侬的最小值为园=j(l一|)2+石一(一亭=5.

故答案为：币.

uniuun1uunur

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将|小钻-4。|+1150-〃孙|转化为求点与点之间的距离，再根据

距离公式进行求解.

13.(2021•上海市金山中学高三阶段练习)设定义域为以，/］的函数丁=/(力的图象的为。，图象的两个

端点分别为A、点。为坐标原点，点M是。上任意一点，向量砺=(%/),9=(电,%)，且满足

X=2XI+(1-/1)A2(O<2<1),又设向量丽=4砺+(1-冷砺，现定义”函数尸〃x)在［占声］上“可在标准

下线性近似”是指I丽卜/恒成立，其中A>0为常数.给出下列结论：

①A、8、N三点共线；

②直线MN的方向向量可以为2=(0,1)；

③函数y=5/在［0,1］上“可在标准1下线性近似”;

④“函数y=x」在g］上“可在标准下线性近似”，则无:-.

x2

其中所有正确结论的序号为一.

【答案】①②④

［分析］根据题意得到BN=ABA得到①正确，计算得到酝=x得到MN〃，轴，②正确，取2=g,计算得

到|丽卜③错误，|丽卜％+根据均值不等式得到答案.【详解】

ON=AOA+(l-A.)OB,^ON-OB=AOA-WB即的=义丽，故A、B、N三点共线，①正确；

ON=A.OA+(\-X)OB,04=(西，乂)，08=(々,必)，故/=，菁+(1-几)々，x=Axj+(1-2)^2(0<2<1),

故％=x,即MN〃y轴，即直线MN的方向向量可以为Z=(O/)，②正确;

易知3=(0,0),丽=(1,5),取4=；,则x故M丽」双+!丽=化,凡

乙LLL22><22)

故即|丽卜1>1,③错误；

函数尸X」在口，2］上，易知A(l,0),从2目，故直线AB方程为：y=^x-1.

xI2，22

I-夜,

当且仅当!x=L，即“收时等号成立，故④正确.

故答案为：①②④.

【点睛】本题考查了向量共线问题，方向向量，均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用

能力，其中把向量模长转化为点的纵坐标相减是解题的关键.

14.(2021•上海市吴淞中学高三阶段练习)已知同=1,阿=2,=反=x^+y砺且x+2y=l,

则OC的最小值为.

【答案】g

【分析】取OB中点。，连接A0,可得元=x^+y而=x或+2y而，根据题意，可得C、A、O三点共

线，在"8中，求得AD长，结合图象，可得当OCL4)时，|无|有最小值，根据等面积法，即可得答

案.

【详解】取OB中点。，连接A2如图所示

o

所以丽=2丽,即反=苫砺+y丽=x^+2y无，因为

x+2y=1,

所以C4、。三点共线，

在△AOD中，|砺|=|而卜1,ZAOB=y,

所以A。?=OA2+o£）2-2OAxOOxcosK=l+l-2xlxlx（-g）=3,

所以AO=G，

由图可得，当OC_LAO时，无有最小值，

此时%.。!环|西s哼=gx码国,

所以|因卜即|瓦|的最小值为丸

故答案为：g

15.（2021.上海市金山中学高三期中）£=（-1,x）与B=（-x,2）平行且方向相同，贝i]x=.

【答案】0

【分析】根据向量平行得到--=_2,排除方向不同的值，得到答案.

【详解】«=（-1,x）与石=（7,2）平行，则—/=—2,解得x=±五，

当x=五时，b=y/2a，方向相同，成立；

当x=-夜时，b=-41a，方向相反，不成立.

综上所述：x=x[2.

故答案为：应.

16.（2022・上海宝山,二模）已知2E分别是AMC边A8AC的中点，M是线段OE上的一动点（不包含O,E

____12

两点），且满足AM=aAg+夕，则）+7的最小值为一.

【答案】6+4正

【分析】由三点共线得到2a+2万=1,利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.

【详解】由于M是DE上的一动点（不包含2E两点），

AM=aAB+/3AC=2aAD+2/3AE,所以。,夕>。且2a+2/?=1,

以L+2=（J-+^）（2a+2/3）=6+>6+4>/2,

apapap

当且仅当0=与与=秒色时取等号，所以:+看的最小值为6+4近.故答案为：6+4血

三、解答题

17.（2022•上海•高三专题练习）平面上有〃个向量，其中至少有两个向量不共线，且任意1个向量的和

都与剩下的一个向量平行，求证：这"个向量的和是零向量.

【分析】不妨设4与为不平行，依题意可得G+4+…+玛=义4①且4+7+…+可,=〃万2②，从而得到

（1+2）4=（1+〃）4,即可求出小从而得证;

【详解】证明：不妨设4与G不平行.

由题意，有G+4+…+4,=彳4①且4+4+…+且,②.

①②左右两边分别加上Z，豆,得（l+2）4=（i+〃）q.

•.•4与之不平行，

1+.=1+〃=0,即丸=-1.代入①式即有4+%+…+可,=0

【点睛】本题考查平面向量的线性运算以及平面向量共线定理的应用，属于基础题.

18.（2022・上海•高三专题练习）已知。是线段A8外一点，若丽=万，OB^b-

（1）设点4、4是线段A3的三等分点，AO44、△。4人及△O&B的重心依次为G1、G、G，试用向

量力、万表示OGi+OG2+OG3；

（2）如果在线段A8上有若干个等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论.

【答案】（1）5G+诙2+强=@+5；（2）答案见解析.

【分析】（I）根据三角形重心性质以及中点公式的向量形式，可得西=?/+两），

OG?=3（。4,+）,063=3（。&+。8）,即可用向量G、B表示出OGi+OG?+OG3；

（2）根据（1）中结论可类比得到结论：设A，AL,A,i是A8的”等分点，

则西+竭+竭+…+西+西丁出也.

【详解】（1）如图:

___21——

因为点4、4是线段A8的三等分点，所以]（OA+OA）=—(,OA+OA]),同理可得:

强西+网,西斗砥+两，