线性代数空间解析几何

第二量的内合三、向量的混合引例F作用下沿与力夹角为的直线移动,s,则力F所做的功为W 定WWF

Mabba aba

同理,当b0时性aaab为两个非零向量 abaa

((a)(b)a(b)(ab

ab(abcPrjcab(abcPrjcaPrjc事实上c0时当c0abc

Prjcab

cPrjcaPrjcbc cPrjcacPrjcbacbc思考：下列等式是否成立|a|aa a(ab)(a

(ab)(ab)(aa)(bb (ab)ca(bcc2a2b22ab CCBa CAb AB C c2(ab)(ab)aabb2aa2

b22

ba

,b

b,cc2a2b22ab设aaxiay jazk,bbxibyjbzk,(axiay jazk)(bxi

jbzkabaxbxayby

ijjkki 为非零向量时,由

bcoscos axbxayby a2a2 b2b2 M(1,1,1),A22,1B2,12MAMB 解:MA(1,1,0) MB(1,0,1)B cosAMB

MA221022 AMB面域,

的流体流过一个面积为A的平 A求单位时间内流过该平面域的流体的质量P(流体密度为).Av解 PvAvvv已知a(1,1,4)例

(1,2,2)，求 a·b；（2）a与b的夹角；（3）a在b上的投影解(1)ab111(2(42cos1

axbxaybya2xy2a2xy2azb2xy2bz

aab|b|

Prja |b 例5证明向量与向量 c

· c)a垂直· FOQPL引例设O为杠杆L,有一个与杠杆夹角为M:FOQPL

OP

OPFMMM

OQOPM设a,b的夹角为 :ca,cb

模 c bcca与b的外积（向量积bc ca

(叉积 思考:

aabaaaa,b为非零向量ab

a∥证明

当a0b0时ab

sin运算律

sin0即0或

a∥abb

(ab)cacb

(证明略设aaxiay jazk,bbxi(axiay jazk)(bxi

jbzk,jbzkaaxbx(iiayby(jjazbz(kkkij(aybzazby)i(azbxaxbz)kij(axbyaybx)(aybzazby)(a(aybzazby)aaxiay jazaaxiay jazbbxi jbzi j k ijk ay

解:如图所示,1

A(123),B345),C247SABC21

ACB Bji2ABji21 21

1k242k24

4,6,2 42(6)2222a例7a

32

j4kbij2kji垂直的单位向量i a

10j5k |

102102

2 c0

|c

j k5555在顶点为A(1,1,2B(1,10)C(131三角形中,求AC边上的高BD AC043)AB(0,2,2 S1|ACAB|

(2)202 |AC| 42(3)2

S1|AC||BD| 115|BD2

|BD|5M的线速度的表示式

解l上引进一个角速度向量,aMlOaMlO 点M离开转轴的距离

的夹角为,a

r且 v

acba1.定义abc,acbaabc

a,b,c为abc的几何意以a,b,c为棱作平行六面体,则其底面积Aab, 高h VAha,b,c

(ab)aaxayaz),bbx,bybz),ccxcyczab

ay

ay

,ax az

ax ay y by y

a,b,c(ab)c

cax caxayby ay

abca,b,c[a,b,c][b,c,a][c,a,b 解:A1A2A1A3 [A1A2,A1A3, 2 26x36

y3

z3x4

y4

z4A(1,1,1),B(4,5,6),C(2,3,3),D(10,15,17解:

3451229[AB,AC,AD3451229 ABCDa(axayazbbxbybzccxcycz加减

ab(axbx,ayby,azbza(ax,ay,azabaxbxayby 叉积(向量):ab

axayazbxbyaxay a,b,c(ab)c

向量关系 ab

cy bx ay abc共面

axbxaybyazbz0(ab)c0 ay cy 设ai2jkbijabab并求ab夹角的正弦与余弦答案

ab1 ab(1,1,cos

sinBcaBca sin sin sin

1AC21BA2

1CBBca2Bca AC

bcsin