考点05直线和圆大题归类

考点05直线和圆大题归类1、求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：（1）直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．特别是类似阿波罗尼斯圆这类型。（2）定义法：根据圆定义列方程．（3）几何法：利用圆的几何性质列方程．（4）代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等2、非圆形特别是未知型曲线，常用求轨迹的方法：（1）定义法：根据题目所给的几何条件判断动点满足哪类常见轨迹，确定相应基本量得出方程；（2）参数法：找出动点纵横坐标与第三变量的关系，消参后得出方程；（3）转译法：找出动点与相关点的坐标关系，利用相关点的方程得出动点的轨迹方程；（4）几何法：建系设点，由题设所给出的几何等式，转化为代数等式，整理可得方程.3、解决直线与圆相交问题，韦达定理题型常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为，；（2）联立直线与圆方程，得到关于（或）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为形式；（5）代入韦达定理求解.4、求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.5、解答直线与圆的题目要注意的两点：（1）常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．考点一直线和圆的切线问题1．（2022秋·浙江金华·高二统考期末）在①圆心在直线上，是圆上的点；②圆过直线和圆的交点．这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答．问题：已知在平面直角坐标系中，圆过点，且．(1)求圆的标准方程；(2)求过点的圆的切线方程．【答案】(1)选①，；选②，.(2)选①，；选②，.【分析】（1）选①，求出线段的垂直平分线所在直线的方程，将其与直线的方程联立，求出圆心的坐标，并求出圆的半径，即可得出圆的半径；选②，设圆的方程为，将点的坐标代入圆的方程，求出的值，即可得出圆的方程；（2）选①或选②，求出直线的斜率，可得出切线的斜率，再利用点斜式可得出所求切线的方程.【详解】（1）解：若选①，直线的斜率为，线段的中点为，所以，线段的垂直平分线所在直线的方程为，即，联立可得，故圆心为，圆的半径为，因此，圆的方程为.若选②，设圆的方程为，将点的坐标代入圆的方程可得，解得，所以，圆的方程为，即.（2）解：若选①，，故所求切线的斜率为，则过点的圆的切线方程为，即；若选②，圆心为，，故所求切线的斜率为，则过点的圆的切线方程为，即.2．（2022秋·北京昌平·高二统考期末）已知圆的圆心坐标为，且经过点.(1)求圆的标准方程；(2)若过点作圆的切线与轴交于点，求直线的方程及的面积.【答案】(1)(2)；【分析】（1）利用待定系数法设出圆的标准方程，代入即可求解.（2）首先利用点斜式设出直线方程，再利用直线与圆相切的条件求出斜率，即可得到直线方程，再结合三角形为直角，即可求解面积.【详解】（1）有题意可知，设圆的方程为，又因为在圆上，则，则，故圆的方程为.（2）由题意知，直线的斜率存在，则设直线方程为，即，因为直线与圆相切，则圆心到直线的距离，解得，则直线方程为.则点坐标为，根据题意知，为直角三角形，其中，而，所以的面积为.3．（2022秋·河南信阳·高二统考期中）已知圆经过，且圆心在直线上.(1)求圆的方程；(2)若直线与圆交于两点，求；(3)过作圆的两条切线，求切线的长.【答案】(1)(2)(3)3【分析】（1）设圆心坐标为，则，解得答案,（2）计算圆心到直线的距离，再利用弦长公式计算即可,（3）计算，再利用切线长公式计算得到答案,【详解】（1）设圆心坐标为，则，解得，圆心，半径为，所求圆的方程为.（2）圆心到直线即的距离为，则.（3）设两个切点分别为，，则，即切线长为3.4．（2022秋·湖北武汉·高二武汉市第十七中学校联考期中）如图，已知圆，点为直线上一动点，过点作圆的切线，切点分别为、，且两条切线、与轴分别交于、两点．(1)当在直线上时，求的值；(2)当运动时，直线是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．【答案】(1)(2)直线过定点【分析】（1）求出点的坐标，分析可知过点且与圆相切的直线的斜率存在，设出切线方程，利用圆心到切线的距离等于圆的半径求出切线的斜率，求出两条切线的方程，可求得点、的坐标，再利用平面内两点间的距离公式可求得的值；（2）设点，写出以点为圆心，为半径的圆的方程，将圆的方程与圆的方程作差，可得出直线的方程，化简直线的方程，可得出直线所过定点的坐标.【详解】（1）解：联立可得，即点，若过点的直线垂直于轴，则该直线的方程为，显然直线与圆不相切，设过点且与圆相切的直线的方程为，即，则圆心到切线的距离为，整理可得，解得，，由图可知，直线的方程为，则直线的方程为，在直线的方程中，令，可得，即点，在直线的方程中，令，可得，即点，，，因此，.（2）解：分析知、在以为圆心，为半径的圆上，设，，，，所以，以点为圆心，半径为的圆的方程为，将圆和圆的方程作差，消去、可得，即，故直线的方程为.由可得，因此，直线过定点.5．（2022·高二单元测试）已知圆．(1)若圆的切线在轴和轴上的截距相等，且截距不为零，求此切线的方程；(2)从圆外一点向该圆引一条切线，切点为，为坐标原点，且有，求使得的长度取得最小值的点的坐标．【答案】(1)或(2)【分析】（1）根据题意，设所求切线方程为，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，可得出关于实数的等式，解出的值，即可得出所求切线的方程；（2）利用两点间的距离公式结合勾股定理可知点在直线上，再由可知当与直线垂直时，取最小值，求出此时的方程，与直线的方程联立可求得点的坐标.（1）解：切线在两坐标轴上的截距相等且截距不为零，设切线方程为，又圆的标准方程为，所以，圆心到切线的距离等于圆的半径，则，解得或，因此，所求切线的方程为或.（2）解：，，又，，所以，，则．所以，点在直线上．，的长度的最小值就是长度的最小值，而长度的最小值为到直线的距离，此时直线的方程为．由，解得，因此，使得的长度取得最小值的点的坐标为．6．（2022秋·四川泸州·高二四川省泸县第四中学校考期中）已知圆C：，直线l：．(1)求证：直线l与圆C恒相交；(2)当时，过圆C上点作圆的切线交直线l于点P，Q为圆C上的动点，求的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）直线方程整理为关于的方程，然后由恒等式知识列方程组求解得出直线所过定点坐标，证明定点在圆内即可；（2）求出点坐标，再计算（为圆心），由加减半径得距离的最大值和最小值，从而得所求范围．【详解】（1）∵直线l的方程可化为m(x＋2y－7)＋2x＋y－8＝0，故l恒过点A(3，2)．∵(3－2)2＋(2－3)2＝2＜4，即点A在圆C内，∴直线l与圆C恒相交．（2）圆心是,圆半径为2,因此过的切线方程为x＝0．又当m＝1时，l：x＋y＝5，∴联立，得交点P（0，5），∴，圆半径为2，∴．7．（2022秋·辽宁葫芦岛·高二校联考期中）已知的顶点分别为，，．(1)求外接圆的方程；(2)直线上有一动点，过点作外接圆的一条切线，切点为，求的最小值，并求点的坐标．【答案】(1)；(2)的最小值为，点的坐标为.【分析】（1）设出圆的一般方程，代入三个点的坐标得到方程组，解出即可；（2）设圆心为，首先判断与圆相离.根据已知条件，可得出，则当最小时，，即圆心到直线的距离，进而根据已知可求出最小时点的坐标.【详解】（1）设外接圆的方程为，代入，，，可得，即，解得，所以外接圆的方程为．（2）由（1）知，外接圆可化为，圆心设为，半径.设为点到直线的距离，则，所以与圆相离.由已知，是圆的一条切线，切点为，则，在中，有，所以要使最小，只需最小．当时，最小，即，.设，因为，可设直线方程为，又，所以，所以.所以，直线方程为，又在上，联立与的方程，解得，即．8．（2022秋·山东淄博·高二沂源县第一中学校考期中）在平面直角坐标系中，过坐标原点的圆（圆心在第一象限）的半径为2，且与轴正半轴交于点.(1)求圆的标准方程；(2)设点是直线上的动点，是圆的两条切线，为切点，求四边形面积的最小值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）设圆的标准方程为，由轴上的弦长及半径得圆心坐标，从而得圆方程；（2）由四边形的面积得面积最小，则切线长最小，从而最小，最小值即为圆心到直线的距离，由此计算可得．【详解】（1）设圆的标准方程为，由题意得，，所以，解得，，圆心得坐标为.圆的标准方程为.（2）四边形得面积，在Rt中，，要使四边形面积最小，则最小即可.此时，∴，所以，四边形BCMD面积的最小值为.考点二直线和圆的弦长问题9．（2022秋·新疆哈密·高二校考期末）已知点,直线，直线过点且与垂直，直线交圆于两点．(1)求直线的方程．(2)求弦的长．(3)求与直线平行且与圆相切的直线方程．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）由垂直求出直线m的斜率，由点斜式方程可求出直线；（2）求出圆心和半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d，由即可求解．（3）先设出所求直线方程，再根据题意建立方程即可求解．【详解】（1）由可得，所以直线的斜率为，因为直线与直线垂直，则直线的斜率为，又因为直线过点，由点斜式方程可知直线为：，即；（2）由可得圆心，半径，则圆心到直线的距离为，∴弦长；（3）根据（1）可设所求直线方程为，又其与圆相切，∴圆心到直线的距离，，∴所求直线方程为或．10．（2022秋·广东广州·高二校考期末）圆的圆心为，且过点.(1)求圆的标准方程；(2)直线与圆交两点，且，求.【答案】(1)(2)或【分析】（1）利用两点间距离公式求出圆的半径，写出圆的标准方程；（2）求出圆心到直线的距离，利用垂径定领列出方程，求出.【详解】（1）设圆的半径为，则，故圆的标准方程为：；（2）设圆心到直线的距离为，则，由垂径定理得：，即，解得：或.11．（2022秋·安徽合肥·高二合肥市第七中学校联考期中）已知圆的圆心为原点，且与直线相切，直线过点.(1)若直线与圆相切，求直线的方程；(2)若直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程.【答案】(1)或(2)或【分析】（1）首先根据圆与直线相切的几何特征求解圆的方程，再分别讨论斜率存在与斜率不存在两种情况，采用待定系数法，根据圆心到直线的距离等于半径求解切线方程即可；（2）首先根据弦长求出圆心到直线的距离，再分别讨论斜率存在与斜率不存在两种情况，采用待定系数法，根据圆心到直线的距离求解直线方程即可.【详解】（1）圆心到直线的距离，圆的半径为2，所以圆的方程为；当直线斜率不存在时，圆心到直线的距离为，不相切.直线斜率存在，设直线，由，得或所以切线方程为，或.（2）设圆心到直线的距离为，则，由，解得.当直线斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离，即直线被圆所截得的弦长为，符合题意；当直线斜率存在时，设直线，则，解得：，故的方程是，即，综上所述，直线的方程为或.12．（2022秋·山西·高二校联考期末）已知圆和直线.(1)证明：不论m为何实数，直线l都与圆C相交；(2)当直线l被圆C截得的弦长最小时，求直线l的方程；(3)已知点在圆C上，求的最大值.【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）把直线的方程变形后，根据直线恒过定点，得到关于与的二元一次方程组，求出方程组的解即为直线恒过的定点坐标，然后利用两点间的距离公式求出此点到圆心的距离,发现小于圆的半径，得到此点在圆内，故直线与圆恒交于两点；（2）根据直线与圆相交弦长公式，可确定当圆心到直线的距离最大值时，弦长最小，即直线与垂直时，求得直线方程；（3）表示圆C上的点到的距离的平方，求其最值即转化为点与圆上的点的距离最大值的平方，结合圆的性质可求．【详解】（1）证明：因为，所以，令解得，所以直线l过定点，而，即点在圆内部，所以直线l与圆C相交；（2）解：如图所示，过圆心作于，设所过定点为由图可知圆心到直线的距离，且，又直线l被圆C截得的弦长为，故当取最大值时，弦长最小所以当，即直线时直线被圆C截得的弦长最小时，又圆心，所以，所以直线l的斜率，所以直线l的方程为，即.（3）解：因为，表示圆C上的点到的距离的平方，因为圆心到原点的距离，所以.13．（2022秋·浙江宁波·高二余姚中学校考期中）已知圆C经过点M（0，-2）和N（3，1），圆心C在直线上．直线l的方程为(1)求圆C的标准方程；(2)求直线l被圆C截得的弦长的最大值和最小值．【答案】(1)(2)最长等于6；最短等于4【分析】（1）利用待定系数法求出圆C的标准方程；（2）先判断出直线l过定点P（2，-2），得到最长弦为直径，利用垂径定理求出最短弦.【详解】（1）因为圆心C在直线上，所以可设由圆C经过点M（0，-2）和N（3，1），可得：解得：，即圆心坐标为，所以半径.所以圆C的标准方程.（2）将直线l的方程整理为，令得，故直线l过定点P（2，-2）.又点P在圆C内，故当直线l与直线PC重合时，弦长最长，等于直径长为6；当直线l与直线PC垂直时，弦长最短，此时圆心到l的距离为，由垂径定理得，弦长为．考点三与圆有关的轨迹问题14．（2022秋·新疆巴音郭楞·高二校考期中）已知动点M到点A（6，0）的距离等于M到点的距离的3倍，(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)若直线与轨迹C没有交点，求k的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）设出点坐标，根据已知条件列方程，化简求得动点的轨迹的方程.（2）联立直线与轨迹的方程，结合判别式列不等式来求得的取值范围.【详解】（1）设点M的坐标（x，y），由题意得：|MA|=3|MB|，即：,整理得：,故轨迹C是以（0，0）点为圆心，2为半径的圆，其方程为：.（2）由题意可联立方程组，消去y，得方程：，因为直线与圆C没有交点，所以，即：，解得：.15．（2022秋·福建泉州·高二校考期中）已知圆:，点坐标为，为圆上动点，中点为.(1)当点在圆上动时，求点的轨迹方程；(2)过点的直线与的轨迹相交于两点，且，求直线的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）设，利用代入法求得点的轨迹方程.（2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合求得直线的方程.【详解】（1），所以在圆外.设，由于的中点是，所以，所以，整理得，所以点的轨迹方程为.（2）点的轨迹方程为，所以是以为圆心，半径为的圆，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，由，解得或，满足.当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，由于，，，所以圆心到直线的距离为，即，解得，所以直线的方程为，即.综上所述，直线的方程为或.16．（2022秋·内蒙古包头·高二包头一中校考期中）已知圆C经过点，，且圆心C在直线上．(1)求圆C的一般方程；(2)若线段OP的端点P在圆C上运动，端点O为坐标原点，求线段OP的中点M的轨迹方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用待定系数法即可求得圆C的一般方程；（2）利用直接代入法即可求得点M的轨迹方程.【详解】（1）设所求圆的C的一般方程为，则圆心，由题意得，解得，所以圆的C的一般方程为.（2）依题意，设，，因为M为线段OP的中点，，所以，又因为点P在圆C上运动，所以，故，整理得：，所以点M的轨迹方程为.17．（2022秋·山东青岛·高二山东省青岛第十九中学校考期中）已知圆C的圆心在直线上，并经过点，与直线相切．(1)求圆C的方程；(2)已知，动点到圆C的切线长等于的2倍，求出点的轨迹方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）设出圆心坐标，利用半径相等，列出方程，求出圆心坐标，得到圆C的方程；（2）设出，表达出点到圆C的切线长，从而列出方程，求出轨迹方程.【详解】（1）设圆心坐标为，故，解得：，故圆心为，半径为，故圆C的方程为；（2）设，则，故动点到圆C的切线长为，，所以，化简得：，故点的轨迹方程为：.考点四直线和圆的最值问题18．（2022秋·广东茂名·高二统考期中）已知圆C：与直线l：(1)证明：直线和圆恒有两个交点；(2)若直线和圆交于两点，求的最小值及此时直线的方程．【答案】(1)证明见解析(2)，【分析】（1）变换得到，得到，得到直线过定点，确定定点在圆内，得到证明.（2）当直线时，被圆C截得的弦最短，根据垂直关系得到直线斜率，过点得到直线方程.【详解】（1）直线，即，联立，解得，所以不论取何值，直线必过定点，圆C：，圆心坐标为，半径，因为，所以点P在圆C内部，则直线l与圆C恒有两个交点．（2）直线经过圆C内定点，圆心，当直线时，被圆截得的弦最短，此时，因为，所以直线l的斜率为，又直线l过点，所以当取得最小值时，直线l的方程为，即，综上：最小值为，此时直线l方程为19．（2022秋·海南海口·高二校考期中）已知圆内有一点为过点且倾斜角为的弦.(1)当时，求弦的长；(2)已知点是圆上的动点，试求点到直线的距离的最小值.【答案】(1)；(2)．【分析】（1）求出直线的方程，然后求得圆心到直线的距离，由勾股定理得弦长；（2）求出圆心到直线的距离，此距离减去圆半径可得最小值．【详解】（1）由已知直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，圆半径为，∴；（2）圆心到直线的距离为，∴到直线的距离的最小值是．20．（2022秋·吉林长春·高二校考期中）已知圆C的圆心在坐标原点，且过点．(1)求圆C的方程；(2)若直线l与圆C相切，且l与x，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，求的面积最小值．【答案】(1)(2)4【分析】（1）根据圆C的圆心在坐标原点，设圆的方程为：，再将点代入求解；（2）设直线方程为，根据直线与圆相切，得到k，b的关系，再分别令，，由，结合基本不等式求解.【详解】（1）解：因为圆C的圆心在坐标原点，设圆的方程为：，又因为圆过点，所以，所以圆C的方程为；（2）由题意，设直线方程为：，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离与半径相等，即，即，令，得，令，得，所以，，当且仅当，即时，等号成立，所以的面积最小值为4．21．（2022秋·湖南衡阳·高二校考期中）已知圆C：，直线l过定点．（1）若直线l与圆C相切，求直线l的方程；（2）若直线l与圆C相交于P，Q两点，求的面积的最大值，并求此时直线l的方程．【答案】（1）或【分析】（1）通过直线的斜率存在与不存在两种情况，利用直线的方程与圆C相切，圆心到直线的距离等于半径即可求解直线的方程；（2）设直线方程为，求出圆心到直线的距离、求得弦长，得到的面积的表达式，利用二次函数求出面积的最大值时的距离，然后求出直线的斜率，即可得到直线的方程.【详解】（1）①若直线l1的斜率不存在，则直线l1：x＝1，符合题意.

②若直线l1斜率存在，设直线l1的方程为，即．由题意知，圆心（3，4）到已知直线l1的距离等于半径2，即：，解之得.

所求直线l1的方程是或.(2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0,设直线方程为，则圆心到直线l1的距离

又∵△CPQ的面积

＝∴当d＝时，S取得最大值2.

∴＝

∴k＝1或k＝7所求直线l1方程为x－y－1＝0或7x－y－7＝0.22．（2022秋·浙江宁波·高二宁波市北仑中学校考期中）已知圆和圆外一点．(1)若过点P的直线截圆所得的弦长为8，求该直线的方程；(2)求的最大值和最小值．【答案】(1)或(2)最大值为75；最小值为-25【分析】（1）根据直线斜率是否存在进行分类讨论，结合弦长求得直线的方程.（2）根据“两点间的距离”求得正确答案.【详解】（1）当过的直线斜率不存在时，直线方程为，由解得或，则弦长为，符合题意.当过的直线斜率存在时，设直线的方程为，即，圆的圆心为，半径为，设圆心到直线的距离为，则，即，解得，直线方程为，即.（2），表示圆上的点到点的距离的平方减去，点在圆上，所以圆上的点到点的距离的平方的取值范围是即，所以的取值范围是，所以的最大值为，最小值为.23．（2022秋·四川成都·高二校联考期中）已知圆过点，且与轴相切于坐标原点，过直线上的一动点引圆的两条切线，，切点分别为，．(1)求圆的标准方程；(2)若点为线段的中点，点为坐标原点，求的最大值．【答案】(1)(2)．【分析】（1）根据圆且与轴相切于坐标原点，设圆心为，再根据圆过点，，可得的值与半径，即可得圆的方程；（2）设，两点的坐标分别为，，点为，得直线，方程，确定直线过定点，再根据几何性质确定点的轨迹方程，从而可求，再求得最值即可.【详解】（1）解：∵圆与轴相切，∴可设圆心的坐标为；又∵圆过点，，∴，解得，∴圆心为，半径为1，∴圆的标准方程为；（2）解：如图，设，两点的坐标分别为，，再设点为，直线的方程为，又∵过点，且与直线垂直，∴为，又知过点，得到，整理可知点满足：，同理点满足：，∴直线的方程为，∴直线恒过定点，设定点为点，由题意可知当点与点不重合时，，点在以为直径的圆上（不包括点），当点与点重合时也在该圆上，∴点的轨迹为（去掉），设圆心为，，当时，；当时，∵，又∵即点与点所在直线的斜率，范围是．进而，∴，综上：，∴的最大值为．考点五韦达定理及其应用24．（2022秋·广东广州·高二广州市第七中学校考期中）已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：交于M，N两点．(1)求k的取值范围；(2)若，其中O为坐标原点，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）设直线l方程为：.因与圆有两个交点，则其到圆心距离小于半径.（2）将与圆方程联立，消去，利用韦达定理结合求出k.，并由此算出的面积.【详解】（1）由题设直线l方程为：，则其到圆C圆心距离为.解得.（2）将与联立得：，消去得：.由题其大于0，则设.由韦达定理有：，又则，得.得直线l方程为：，其过圆心，故直线l到原点距离为.故.25．（2022·全国·高二期末）已知与直线.(1)若，判断直线与位置关系；(2)若直线与相交于两点，且（为坐标原点），求的值.【答案】(1)直线与相交(2)3【分析】（1）求出圆心到直线的距离，与半径比较可得；（2）设，直线方程代入圆方程后，应用韦达定理得，由求得值，注意判别式大于0．(1)当时，可化为：，表示圆心为，半径的圆，设到的距离为，则，直线与相交.(2)设，由，直线与坐标轴的交点为，，这两点不可能同时在圆上，因此斜率都存在，所以，即，由消元，得.经检验时，.26．（2022秋·北京·高二北京四中校考期中）已知圆C与圆关于直线对称.(1)求圆C的方程；(2)若A，B为圆C上两个不同的点，OOA，OB，AB的斜率分别为，，，当时，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）设圆C的标准方程为，利用两个圆心关于已知直线对称求得圆心C的坐标，即可的出圆C的方程.（2）设点，，直线AB的方程为，直线方程代入圆方程，消去y后应用韦达定理得，，代入求得k，m的关系，由此得出k的一个范围，由直线与圆相交，判别式，又得一个范围，由，，存在得，，又得出k的限制条件，综合后可得k的范围.【详解】（1）设圆C的标准方程为，由题意得，即，解得，所以圆C的圆心为，所以圆C的方程为.（2）设点，，直线AB的方程为，由，得，即①，由，消去，整理得，由韦达定理，，将其代入①整理得，解得②，由直线与圆相交，故，得，即，解得或③，又要使，，有意义，则，，且，所以0不是方程（*）的根，所以，即且④，由②③④得，的取值范围为.27．（2022秋·重庆九龙坡·高二重庆市铁路中学校校考期中）已知圆过点，且圆心在直线上.(1)求圆的标准方程；(2)过点且斜率为的直线与圆有两个不同的交点，若，其中为坐标原点，求直线的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）设出圆的标准方程，将两点坐标代入圆的方程，圆心坐标代入直线方程，解出三个参数，即可求出圆的方程；（2）根据条件设出直线的方程，消去得到关于的一元二次方程，将韦达定理的表达式代入，解出的值，分别判断是否满足，从而得出直线方程.【详解】（1）设所求圆的方程为，则由题可得：，解得：a=3b=2r故所求圆C的方程为.（2）由题设，可知直线的方程为.代入方程，整理得，设，则，，由题设可得，解得或，经检验不满足满足所以的方程为.考点六直线和圆的定点、定值问题28．（2022秋·内蒙古赤峰·高二赤峰市元宝山区第一中学校考期中）已知圆C经过，两点，且圆心在直线上.(1)求圆C的标准方程；(2)设直线l经过点，且l与圆C相交所得弦长为，求直线l的方程；(3)若Q是直线上的动点，过点Q作圆C的两条切线QM、QN，切点分别为M、N，探究：直线MN是否恒过定点.若存在请写出坐标；若不存在请说明理由.【答案】(1)(2)或.(3)过定点【分析】（1）求圆的方程,需要三个独立条件,一般设标准式,代入三个条件,解方程组即可;本题也可设成圆的一般式,再将两个点坐标代入,解方程组可得.（2）涉及圆中弦长问题，一般利用垂径定理，即将弦长条件转化为圆心到直线距离，再根据点到直线距离公式求直线斜率，注意验证直线斜率不存在的情形.（3）根据题意求出以为圆心，为半径的圆的方程与圆的方程作差，即可得到直线的方程，从而得到定点坐标.【详解】（1）设圆的圆心坐标为，依题意，有，解得，所以，所以圆的标准方程为.（2）依题意，圆的圆心到直线的距离为，（1）若直线的斜率不存在，则，符合题意，此时直线的方程为.（2）若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，则，解得.此时直线的方程为综上，直线的方程为或.（3）根据题意，设，又因为QM、QN是过圆做的两条切线，则则是圆与以为圆心，为半径的圆的两圆的公共弦，且以为圆心，为半径的圆的方程为①且圆方程为②所以①②可得即为直线的方程令解得，则直线必过点29．（2022秋·河北张家口·高二校联考期中）已知圆，P是圆C上动点，Q为圆C与x轴负半轴交点，E是中点．(1)求点E的轨迹方程；(2)过点的直线与点E的轨迹交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在；点N为【分析】（1）根据相关点法求出点E的轨迹方程即可；（2）斜率不存在时显然成立；斜率存在时，设直线的方程为，，，，将若x轴平分，转化为，再通过联立方程结合韦达定理将转化为含与的等式即可求解.【详解】（1）设，因为P是圆C上动点，所以，因为Q为圆C与x轴负半轴交点，所以，设，因为E是中点，所以，即，所以，即，所以点E的轨迹方程为.（2）当直线轴时，x轴平分.当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，由，得，所以，．若x轴平分，则，∴，∴，∴，∴，所以当点N为时，能使得x轴平分总成立30．（2022秋·广东茂名·高二统考期中）已知圆M与直线x=2相切，圆心M在直线x+y=0上，且直线被圆M截得的弦长为2.(1)求圆M的方程，并判断圆M与圆N：的位置关系；(2)若在x轴上的截距为且不与坐标轴垂直的直线l与圆M交于A，B两点，在x轴上是否存在定点Q，使得?若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由.【答案】(1)，相交(2)存在，【分析】（1）设圆心与半径，根据条件求解即可得到圆方程；根据两圆心之间的距离与半径的关系判断两圆位置关系.（2）设Q(t，0)，直线，代入圆方程写出韦达定理，将用表示，代入韦达定理即可得到为定值.【详解】（1）设圆M的圆心为，半径为r，因为圆M与直线x=2相切，所以，又因为直线被圆M截得的弦长为2，所以解得即圆心坐标为(0，0)，r=2，所以圆M的方程为.由题意知，圆N的圆心为(3，-4)，半径R=，，.因为，，所以圆M与圆N相交.（2）存在.设l：，，，由得.由根与系数的关系，得假设存在Q(t，0)满足条件，则,由，得，即即即且m≠0，所以.所以存在满足条件.31．（2022秋·江苏连云港·高二统考期中）己知圆，直线与圆O交于A，B两点．(1)求；(2)设过点的直线交圆O于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点S满足．证明：直线SN过定点．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求圆心到直线的距离，再根据勾股定理即可求得弦长；（2）分直线的斜率不存在和存在两种情况讨论，结合根与系数的关系，表示出直线SN的方程，从而确定定点.【详解】（1）易知圆心，半径，圆心到直线的距离，所以弦长.（2）当直线的斜率不存在，即轴时，直线的方程为，代入圆方程得：或，设，，则直线方程为，代入直线得：，故，因为，所以是的中点，得，所以，所以直线的方程为：，即，直线过点.当直线的斜率存在时，如图所示：设直线方程为：，即，设，联立得：，，解得或，由韦达定理得：，所以③，④，且⑤，将代入直线得：，所以，是的中点，得，所以，所以直线的方程为：，将点的坐标代入并整理，化简得：，将①③④⑤代入上式得：，显然成立.综上可得：直线过定点.32．（2022秋·山东潍坊·高二统考期中）已知曲线C是到两个定点，的距离之比等于常数的点组成的集合．(1)求曲线C的方程；(2)设过点B的直线l与C交于M，N两点；问在x轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在定点，使得为定值【分析】（1）设点，根据距离之比等于常数列出等式，即可得到曲线方程；（2）设直线l方程为，点，联立曲线C的方程，利用韦达定理可以求出，由于为定值可知，可求出参数t的值，即可得定点坐标和定值，当斜率不存在时，也符合题意.【详解】（1）设点，由题意可知，则有，整理得，故曲线C的方程为.（2）设直线l方程为，点，，联立，得，所以，因此若，即时，，所以定值为，当斜率不存在时，直线l为，联立可求得，，所以，符合题意.故存在定点，使得为定值.33．（2022秋·山东泰安·高二统考期中）已知线段的端点的坐标是，端点的运动轨迹是曲线，线段的中点的轨迹方程是．(1)求曲线的方程；(2)已知斜率为的直线与曲线相交于异于原点的两点直线的斜率分别为，，且．若，为垂足，证明：存在定点，使得为定值．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用中点坐标公式以及求轨迹方程的方法求解；（2）利用韦达定理结合题意求解.【详解】（1）设，，由中点坐标公式得．因为点M的轨迹方程是，所以，整理得曲线C的方程为．（2）设直线l的方程为，，，，由，得，所以，，所以，所以，且即，即，所以直线的方程为，即直线过定点．因为为定值，且为直角三角形，为斜边，所以当点是的中点时，为定值．因为，，所以由中点坐标公式得．所以存在定点使得为定值．34．（2022秋·山东菏泽·高二统考期末）已知点关于直线的对称点为Q，以Q为圆心的圆与直线相交于A，B两点，且．(1)求圆Q的方程；(2)过坐标原点O任作一直线交圆Q于C，D两点，求证：为定值．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）先求出点坐标，然后根据圆心到直线的距离公式及的值求出半径即可求得圆的方程.（2）设出直线方程，联立圆和直线方程利用韦达定理来求解.（1）解：点关于直线的对称点Q为由Q到直线的距离，所以所以圆的方程为．（2）当直线CD斜率不存在时，，所以．当直线CD斜率存在时，设为k，则直线为，记，联立，得所以，．．综上，为定值5．考点七直线和圆的探索性问题35．（2022秋·山东·高二沂水县第一中学期末）已知直线：，圆C：．(1)若直线与圆C相切，求k的值．(2)若直线与圆C交于A，B两点，是否存在过点的直线垂直平分弦AB？若存在，求出直线与直线的交点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)或(2)存在，交点坐标为【分析】（1）由题意圆心到直线的距离等于半径，列出方程求解即可；（2）由直线与圆C交于A，B两点，可得圆心到直线的距离，由此求出的范围．根据圆的性质可知直线必经过圆心，从而求得直线的斜率，利用点斜式可得直线的方程，由求得，联立直线与的方程，可得交点坐标．【详解】（1）圆，则圆心，半径∵若直线与圆C相切，∴圆心到直线的距离，即，即，解得或．（2）若直线与圆C交于A，B两点，则圆心到直线的距离，即，即，解得.过点的直线垂直平分弦，则直线必经过圆心，直线的斜率为，直线的方程为，即，又，且直线，则，解得，符合题意，所以直线的方程为，联立直线与的方程得，解得所以，存在符合题意的直线，直线与直线的交点坐标为．36．（2022秋·江苏连云港·高二统考期中）已知圆经过点，与轴正半轴交于点.(1)求的值；(2)圆上是否存在点，使得的面积为15？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.【答案】(1)(2)存在，或【分析】（1）直接由已知条件可得r；（2）由（1）可得圆的方程，依题意，，，求出，直线的方程为，又由的面积，可得点到直线的距离，设点，解得或（显然此时点不在圆上，故舍去），联立方程组，求解即可得答案．【详解】（1）因为圆经过点，所以，解得.（2）存在，因为r=5，所以圆O的方程为x2+y2=25，依题意，得A（0，5），B（5，0），所以，直线AB的方程为，又因为△PAB的面积为15，所以点P到直线AB的距离为，设点，所以点P到直线AB的距离为，解得或，圆O到的距离为大于，此时点P不在圆上，故舍去建立方程组解得或所以存在点或满足题意.37．（2022秋·河北张家口·高二校联考期中）已知圆．(1)求过点与圆O相切的直线方程；(2)点在直线上，若在圆O上存在两个不同的点A，B，使，求的取值范围．【答案】(1)和；(2).【分析】（1）根据给定条件，利用点到直线的距离公式，并按切线斜率存在和不存在分别讨论作答.（2）利用给定的向量关系，结合切线长定理可得OP与AB互相垂直平分，再利用点与圆的位置关系列出不等式求解作答.【详解】（1）当切线斜率不存在时，直线与圆相切，此时切线方程为，当切线斜率存在时，设切线斜率为k，直线方程为，即，因此有，解得，此时直线方程为，所以过点与圆O相切的直线方程为和．（2）如图，，故四边形为平行四边形，因为，所以四边形为菱形，故与互相垂直平分，则线段OP的中点在圆O内，因此，即，又，即，因此，解得，所以实数的取值范围是．38．（2022秋·山东·高二山东省实验中学校考期中）在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上．(1)求圆的标准方程；(2)设点，在圆上是否存在点使，若存在，请求出满足条件的点的个数；若无，请说明理由．【答案】(1)；(2)存在，满足条件的点有2个.【分析】（1）根据二次曲线与坐标轴的交点及圆的性质求得圆的方程；（2）设，根据题设及两点距离公式可得，问题转化为圆与圆的交点问题，进而即得.【详解】（1）由题设，与y轴的交点为，对称轴为，若与x轴交点横坐标分别为，则，，∴，设圆半径为，圆心为，∴，解得，∴圆半径为，圆心为，则圆的方程为；（2）设，由题意得，整理得，∴点在圆心为半径为2的圆上，所以两圆的圆心距离，∴两圆相交．故满足条件的点有2个．39．（2022秋·福建泉州·高二校联考期中）已知圆：.(1)若过点的直线与圆相切，求直线的方程；(2)当圆与x轴相交于两点M，N（点M在点N的左侧）时.问：是否存在圆：，使得过点M的任一条直线与该圆的交点，，都有？若存在，求出圆方程，若不存在，请说明理由.【答案】(1)或(2)存在圆：，使得.【分析】（1）分直线斜率存在和不存在两种情况讨论即可；（2）联立直线与圆的方程，根据斜率关系结合韦达定理即可求解.【详解】（1）圆的标准方程为：，当直线的斜率不存在时，直线的方程，与圆相切，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，因为直线与圆相切，所以，解得，故所求直线的方程或.（2）令，得，即，求得，或，所以，.假设存在圆：，当直线与轴不垂直时，设直线方程，联立得：，设，，从而，.因为、的斜率之和为，因为，所以、的斜率互为相反数，即，所以，即.当直线与轴垂直时，仍然满足，即、的斜率互为相反数.综上，存在圆：，使得.40．（2022秋·四川内江·高二统考期末）已知圆心为的圆，满足下列条件：圆心在轴上，与直线相切，且被轴截得的弦长为，圆的面积小于．(1)求圆的标准方程；(2)设过点的直线与圆交于不同的两点、，以、为邻边作平行四边形．是否存在这样的直线，使得直线与恰好平行？如果存在，求出的方程，如果不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)不存在，理由见解析.【分析】（1）设圆心，设圆的半径为，可得出，根据已知条件可得出关于实数的方