考点13抛物线焦点弦12个常用结论及其4个应用

考点13抛物线焦点弦12个常用结论及其4个应用1、抛物线焦点弦的常用结论设抛物线方程为，准线与轴相交于点，过焦点的直线与抛物线相交于两点，为原点，为与对称轴正向所成的角，的中点为，又作，垂足分别为，则（1）．证明：因为焦点坐标为，当AB不垂直于x轴时，可设直线AB的方程为：，由得：，，．当轴时，直线AB方程为，则，，∴，同上也有：．焦半径长公式：（坐标式）；夹角式：（在轴上方，在轴下方）．证明：由抛物线的定义易得．又，同理可证．焦点弦长公式：．证明：由（2）可得弦长：通径长公式：（通径最短）．证明：当轴时，直线AB方程为，则，，∴通径长公式：．AF，BF的数量关系：．证明：由，得，又，．三角形AOB的面积：．证明：点到直线的距离就是的高，，．中点弦斜率：若斜率为，，则．证明：，由点差法得直线的斜率之和为零，即．证明：，，，分子，直线的斜率之和为零：，即．（9）焦点弦与圆有关的结论①以为直径的圆与准线相切；（以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切）②以为直径的圆与轴相切；③以为直径的圆与轴相切；④分别以为直径的圆之间的关系：圆与圆外切；圆与圆既与轴相切，又与圆相内切．证明：过点作于，则是梯形的中位线，由抛物线的定义知，即以为直径的圆与准线相切，同理可证②，③．④分别以为直径的圆有以下关系：圆与圆外切；圆与圆既与轴相切，又与圆相内切．拓展：过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切已知AB是抛物线的过焦点F的弦，分别过点A、B作准线的垂线，垂足为点M、N，求证：以MN为直径的圆与直线AB相切.（10）由焦点弦得出有关直线垂直关系的结论①以为直径的圆的圆心在准线上的射影与两点的连线互相垂直，即；②以为直径的圆的圆心在轴上的射影与两点的连线互相垂直，即；③以为直径的圆的圆心在轴上的射影与两点的连线互相垂直，即；④以为直径的圆必过原点，即；⑤．证明：①准线与圆相切，圆的圆心在准线上的射影就是切点，直径所对的圆周角是直角，．同理可证②，③：．④由抛物线的定义知，////，，而，即．⑤易知，又．点三点共线；点三点共线．证明：由（1）知．点三点共线．同理可证：点三点共线．（12）如图，点A，B是抛物线，O为原点，若，则直线AB过定点．证明：．设，则，直线方程为，即，直线AB过定点．与抛物线焦点弦有关的比例问题一般地，与抛物线焦半径有关的比例问题，可采用构造相似三角形，寻找相似比例进行转化.已知抛物线E：的焦点为，准线为.过点的的直线m与E交于A，B两点，与y轴交于点C，与交于点D.过点A，B，C，D分别作两轴的垂线，可构成如图的多对相似三角形，如：~，因此有；如~，因此有等。一般地，为了利用比例进行转化，需要用两个条件：一是利用抛物线的定义进行转化；二是要把比例式转化成含有（即含p）的比例式.考点一与抛物线有关的焦点弦的几何性质1．（2023·河南信阳·河南省信阳市第二高级中学校联考一模）倾斜角为的直线过抛物线的焦点F，与该抛物线交于点，且以为直径的圆与直线相切，则（

）A．4 B． C． D．【答案】B【分析】由题意确定直线即为抛物线的准线，确定,设直线方程为，代入中可得根与系数的关系，利用抛物线过焦点的弦长公式即可求得答案.【详解】设抛物线的准线为，过点分别作l的垂线，垂足为,设的中点为M，作，垂足为N，则,即以为直径的圆与相切，又以为直径的圆与直线相切，故直线即为抛物线的准线，∴,∴，设直线方程为，代入中，∴，即，设，∴，∴，故选：B.2．（2023秋·湖北·高二赤壁一中校联考期末）已知抛物线的方程为，为抛物线的焦点，倾斜角为的直线过点交抛物线于，两点，则线段的长为______.【答案】【分析】首先求出焦点坐标，即可得到直线的方程，设，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，根据焦点弦公式计算可得.【详解】解：因为抛物线的方程为，所以焦点为，所以直线的方程为，设，，由，消去整理得，所以，所以.故答案为：3．（2021秋·广东·高三统考阶段练习）直线过抛物线的焦点交抛物线于、，为原点，则的重心的横坐标为（

）A．4. B．8 C．16 D．24【答案】B【分析】设点、的横坐标分别为，，由抛物线的焦点弦长公式可求出，即可求出的重心的横坐标.【详解】设点、的横坐标分别为，，由过抛物线的焦点弦长公式得：，所以，所以的重心的横坐标为：，故选：B.4．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点（在第一象限），若，则直线的斜率为_______.【答案】【分析】法一：设出直线方程，，，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，结合，，求出直线斜率；法二：设直线与轴的夹角为，作出辅助线，得到，，利用得到方程，求出直线斜率.【详解】法一：设直线，，，，由已知，联立，故，故有，结合得：；法二：角度焦半径公式：设直线与轴的夹角为，得到抛物线的准线方程为，与y轴交于点T，过点B作BM⊥准线交x轴于点N，作BE⊥y轴于点E，则ET=BM，由抛物线定义可得：，其中，故，解得：，同理可得：，因为，所以，设直线与轴夹角的正弦值为，正切值为，由于在第一象限，，则.故答案为：.5．【多选】（2023秋·安徽淮北·高二淮北一中校考期末）已知，是抛物线上的两点，若直线过抛物线的焦点且倾斜角为.则下列命题正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】对于选项A，设直线的方程为，代入，再利用韦达定理，即可得到结论；对于选项B，利用抛物线的定义和选项A中的结论，表示出即可；对于选项C，由抛物线的定义，在直角三角形中，运用余弦函数的定义，即可得到的长，同理可得的长，即可判断；对于选项D，选项A中的结论进行判断即可.【详解】对于选项A，设直线的方程为，代入，可得，所以，，选项A正确；对于选项B，因为是过抛物线的焦点的弦，所以由抛物线定义可得，由选项A知，，，所以.即，解得，当时，，所以，当时，，所以，当时，也适合上式，所以，选项B正确；对于选项C，不妨设，点A在x轴上方，设，是，在准线上的射影，，所以，同理可得，所以，同理可证时，等式也成立，选项C正确；对于选项D，由上可知：，，所以，选项D不正确，故选：ABC.6．【多选】（2023秋·湖北·高二赤壁一中校联考期末）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于，两点，分别过，作的垂线，垂足为，，，，为中点，则下列结论正确的是（

）A．直线的斜率为 B．为等腰直角三角形C． D．，，三点共线【答案】CD【分析】过点向准线作垂线，垂足为，设，，其中，，过点作，交于，利用锐角三角函数即可判断A，利用反证法证明B，设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，根据焦半径公式即可得到，再由A中结论及求出，即可判断C，最后求出、坐标，从而求出，，即可判断D.【详解】解：过点向准线作垂线，垂足为，设，，其中，，过点作，交于，设，因为，则，所以，则，所以，，在中，所以，所以直线的斜率为，故A错误；假设为等腰直角三角形，则，则、、、四点共圆且圆的半径为，又因为，所以，所以，所以，显然不成立，故B错误；依题意直线的斜率存在，设直线的方程为，由，整理可得，则，，所以，，所以，即，由A根据对称性不妨取直线的斜率为，又，所以，所以，故C正确；由，解得或，所以，，则，所以，，所以，，三点共线，故D正确；其中的证明过程如下：可知，，，所以，，所以，，即.故选：CD7．【多选】（2022秋·浙江宁波·高二效实中学校考期中）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线交抛物线于两点，线段的中点为，在上的射影分别为，下列结论正确的为（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根据抛物线定义和梯形中位线性质可求得，知A正确；根据等腰三角形性质和平行直线的性质可推导得到，进而确定，知B正确；由角度关系可推导得到，由此可知C正确；若D正确，由圆的性质知，可知不恒成立，则D错误.【详解】对于A，由抛物线定义可知：，，为中点，，，A正确；对于B，，，，，则，又，，，，即，B正确；对于C，，，，，，，，，，，，即，C正确；对于D，若，则由知：在以为圆心，为半径的圆上，，又，（当且仅当重合时取等号），不恒成立，D错误.故选：ABC.8．（2022秋·天津滨海新·高二天津市滨海新区塘沽第一中学校考期末）已知抛物线的焦点为为上一点，且在第一象限，直线与的准线交于点，过点且与轴平行的直线与交于点，若，则线段的长度为（

）A．4 B． C．2 D．【答案】A【分析】根据抛物线的定义和几何关系即可求解.【详解】根据题意作出函数图像，过点N作准线l的垂线，由抛物线的定义知，又，所以，所以，又与轴平行，所以由抛物线的定义知，所以三角形为等边三角形，所以，故选:A.考点二与抛物线焦点弦有关的比例问题9．（2022秋·福建福州·高三校考期末）已知抛物线C的焦点为F，准线为l，过F的直线m与C交于A、B两点，点A在l上的投影为D，若，则（

）A． B．2 C． D．3【答案】B【分析】结合图像，分析出点为的中点，从而利用抛物线的定义即可求得结果.【详解】过点作，垂足为，作，垂足为，如图，.又因为，所以四边形为矩形，所以，因为，，所以点为的中点，所以，故，由抛物线的定义可得，，所以，即.故选：B.10．（2022秋·山东济南·高二山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）已知椭圆的右焦点是抛物线的焦点，则过作倾斜角为45°的直线分别交抛物线于，（在轴上方）两点，则的值为（

）A． B． C．3 D．4【答案】A【分析】先根据椭圆方程求抛物线的方程，分别过A，B作准线的垂线，得到直角梯形，结合抛物线的定义在梯形中求，即得结果.【详解】依题意，是抛物线的焦点，故，则，.根据已知条件如图所示，在轴上方，分别过A，B作准线的垂线，垂足为，过B作的垂线，垂足为P，设，根据抛物线的定义知，所以直角梯形中，，，又直线AB的倾斜角，故，解得，即，故选：A.11．（2022秋·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考期中）已知直线过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，与抛物线的准线交于C点，若，则等于（

）A．2 B．3 C． D．【答案】B【分析】过点作垂直于准线交准线于，过点作垂直于准线交准线于，根据相似得到，再利用抛物线的性质得到答案.【详解】如图所示：过点作垂直于准线交准线于，过点作垂直于准线交准线于，则，，，故，即.故选：B12．（2022秋·浙江金华·高二浙江金华第一中学校考阶段练习）设倾斜角为α的直线l经过抛物线C：的焦点F，与抛物线C交于A、B两点，设A在x轴上方，点B在x轴下方．若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由抛物线的性质，抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，在直角三角形中求出倾斜角为的余弦值.【详解】过，分别作准线的垂线交准线于，，过作于，则，由抛物线的性质可得，，，因为，∴，所以，即.故选：A．13．（2022秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知抛物线：焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，抛物线的准线与轴交于点.(1)请写出一组满足的点，的坐标；(2)证明：；(3)若过点的直线与抛物线交于，两点，点，若，求的面积.【答案】(1)，时满足；(2)证明见解析；(3).【分析】（1）写出轴时对应的，的坐标即可；（2）过分别作垂直准线于，根据抛物线定义及平行线性质易证，进而有，即可证结论；（3）设直线为，联立抛物线及韦达定理得，结合已知求得，应用三角形面积公式即可求面积.【详解】（1）当直线轴，显然关于轴对称，此时，由，若分别在一、四象限，则，满足.（2）过分别作垂直准线于，如下图示，所以，轴，由平行线分线段等比例性质知：，又，所以，故，又，所以.（3）由题设，可设直线为，代入，令，所以，则，又，即，故，则，所以.考点三抛物线的通径问题14．（2022秋·重庆南岸·高二重庆市第十一中学校校考期末）抛物线的通径长为_______【答案】【分析】根据抛物线的通径的定义进行求解即可.【详解】由，所以该抛物线的焦点坐标为，把代入中，得，所以抛物线的通径长为，故答案为：15．（2022秋·江西·高三校联考阶段练习）已知点到抛物线的准线的距离为4，那么抛物线的通径（过焦点并垂直于轴的弦）长是（

）A．8 B．8或24 C．12 D．12或24【答案】B【分析】考虑和两种情况，根据点到准线的距离得到抛物线方程，再计算通径得到答案.【详解】，即，当时，准线方程为，故，，抛物线方程为，焦点，当时，，通径长为；当时，准线方程为，故，，抛物线方程为，焦点，当时，，通径长为.综上所述：通径长为或.故选：B16．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为A，是抛物线轴，则以为直径的圆截直线所得的弦长为(

)A．2 B． C．1 D．【答案】B【分析】求出M坐标及直线AM的方程，根据圆的弦长公式即可求解．【详解】由题知，，，，∵轴，∴，根据抛物线对称性，不妨取，则，原点O到直线AM的距离为：，∴以为直径的圆截直线所得的弦长为：﹒故选：B﹒17．（2022·全国·高三专题练习）若圆与抛物线相交于A，B两点，且弦AB过抛物线的焦点F，则___________.【答案】1【分析】首先得到抛物线的交点坐标，依题意可得，两点的横坐标都是，将代入抛物线方程，即可求出、两点坐标，再在中由勾股定理得到方程，解得即可；【详解】解：依题意知抛物线的焦点，轴，且，两点的横坐标都是，不妨令在第一象限，将代入抛物线，解得，即、所以.在中，，即，且，解得.故答案为：18．【多选】（2022秋·江苏扬州·高二江苏省邗江中学校考期中）已知是抛物线上两动点，为抛物线的焦点，则（

）A．直线过焦点时，最小值为4B．直线过焦点且倾斜角为时（点在第一象限），C．若中点的横坐标为3，则最大值为8D．点坐标，且直线斜率之和为与抛物线的另一交点为，则直线，方程为：【答案】ACD【分析】对于A，由题意，过焦点，则垂直轴时最小，可得答案；对于B，已知直线的倾斜角，可根据抛物线焦半径公式，可得答案；对于C，根据三角形三边性质，可得不等式，由于中点坐标已知，根据抛物线定义与梯形中位线，可得答案；对于D，利用中点弦的斜率公式，可求得点的纵坐标，进而求得该点的坐标，根据可以，求得的斜率，同样方法，可得点的坐标，可得答案.【详解】对于A选项，直线过焦点，当垂直于轴时，取最小值，故正确；对于B选项，由题意，作图如下：则，轴，轴，即，，，，即，，，，，，故错误；对于C选项，由于为两动点，所以，当且仅当直线过焦点时等号成立，故正确；对于D选项，依题意，，故，即，由题意，，同理可得，故直线方程为，故正确.故选：ACD.19．（2022·全国·高三专题练习）直线过抛物线的焦点，且与交于两点，若使的直线有且仅有1条，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】利用抛物线对称性，即可得出满足条件的焦点弦必须垂直于轴，即可得出两点坐标，代入方程解出【详解】由抛物线的对称性，要使的直线有且仅有1条，则必须垂直于轴，故两点坐标为，代入抛物线方程可解得，故选：C考点四与焦点弦有关的最值问题20．（2023秋·重庆巫山·高二校考期末）过点作抛物线的两条切线，切点分别为和，又直线经过拋物线的焦点，那么的最小值为_________．【答案】16【分析】设，写出以为切点的切线方程，由判别式求出切线斜率，得到以为切点的切线方程，同理求出以为切点的切线方程，结合在两条切线上得直线的方程，联立直线与抛物线方程，根据根与系数的关系，结合抛物线定义得出结果．【详解】设，，以为切点的切线斜率为，则以为切点的切线方程为，与抛物线联立，得，由，即，则，即，解得，则以为切点的切线方程为，即，，整理得；同理，设，，则以为切点的切线斜率为，以为切点的切线方程为，又因为在切线和，所以，，所以直线的方程，又因为直线经过抛物线的焦点，所以令得，即，，所以抛物线方程为，直