考点22图形的投影与视图

考点22图形的投影与视图课标对考点的要求对图形的投影问题，中考命题需要满足下列要求：（1）通过丰富的实例，了解中心投影和平行投影的概念。（2）会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，能判断简单物体的视图，并会根据视图描述简单的几何体。（3）了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作实物模型。（4）通过实例，了解上述视图与展开图在现实生活中的应用。重要问题解题思维方法总结一、投影基础知识1．投影：在光线的照射下，空间中的物体落在平面内的影子能够反映出该物体的形状和大小，这种现象叫做投影现象．影子所在的平面称为投影面．2．平行投影、中心投影、正投影（1）中心投影：在点光源下形成的物体的投影叫做中心投影，点光源叫做投影中心．（2）平行投影：投射线相互平行的投影称为平行投影．（3）正投影：投射线与投影面垂直时的平行投影，叫做正投影．【注意】灯光下的影子为中心投影，影子在物体背对光的一侧．等高的物体垂直于地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体的影子短，离点光源远的物体的影子长．阳光下的影子为平行投影，在平行投影下，同一时刻两物体的影子在同一方向上，并且物高与影长成正比．二、视图基础知识1．视图：由于可以用视线代替投影线，所以物体的正投影通常也称为物体的视图．2.物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图。（1）主视图：从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图,能反映物体的前面形状。（2）俯视图：从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图，能反映物体的上面形状。（3）左视图：从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图，能反映物体的左面形状，有时也叫做侧视图。物体的三视图实际上是物体在三个不同方向的正投影.正投影面上的正投影就是主视图，水平投影面上的正投影就是俯视图，侧投影面上的正投影就是左视图在画三视图时，三个三视图不要随意乱放，应做到俯视图在主视图的下方，左视图在主视图的右边，三个视图之间保持：长对正，高平齐，宽相等。【注意】在三种视图中，主视图反映物体的长和高，左视图反映了物体的宽和高，俯视图反映了物体的长和宽．3．三视图的画法1）画三视图要注意三要素：主视图与俯视图长度相等；主视图与左视图高度相等；左视图与俯视图宽度相等．简记为“主俯长对正，主左高平齐，左俯宽相等”．2）注意实线与虚线的区别：能看到的线用实线，看不到的线用虚线．三、几何体的展开1.展开图：平面图形有三角形、四边形、圆等.立体图形有棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等.把立体图形按一定的方式展开就会得到平面图形，把平面图形按一定的途径进行折叠就会得到相应的立体图形。2．常见几何体的展开图几何体立体图形表面展开图侧面展开图圆柱圆锥三棱柱3．正方体的展开图正方体有11种展开图，分为四类：第一类，中间四连方，两侧各有一个，共6种，如下图：第二类，中间三连方，两侧各有一、二个，共3种，如下图：第三类，中间二连方，两侧各有二个，只有1种，如图10；第四类，两排各有三个，也只有1种，如图11．重要问题解题思维方法总结1.投影问题要领（1）根据两种物体的影子判断其是在灯光下还是在阳光下的投影，关键是看这两种物体的顶端和其影子的顶端的连线是平行还是相交，若平行则是在阳光下的投影，若相交则是在灯光下的投影．（2）光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终在物体的两侧．（3）物体的投影分为中心投影和平行投影．2.在判断几何体的三视图时，注意以下两个方面：（1）分清主视图、左视图与俯视图的区别；（2）看得见的线画实线，看不见的线画虚线．3.立体图形的展开与折叠正方体展开图口诀：正方体展有规律，十一种类看仔细；中间四个成一行，两边各一无规矩；二三紧连错一个，三一相连一随意；两两相连各错一，三个两排一对齐；一条线上不过四，田七和凹要放弃；相间之端是对面，间二拐角面相邻．中考典例解析【例题1】（2020·贵州贵阳）在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据太阳光下的影子的特点：（1）同一时刻，太阳光下的影子都在同一方向；（2）太阳光线是平行的，太阳光下的影子与物体高度成比例，据此逐项判断即可．选项A、B中，两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下的影子，则选项A、B错误选项C中，树高与影长成反比，不可能为同一时刻阳光下的影子，则选项C错误选项D中，在同一时刻阳光下，影子都在同一方向，且树高与影长成正比，则选项D正确故选：D．【例题2】（2021福建）如图所示的六角螺栓，其俯视图是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】根据从上面看到的图形即可得到答案．从上面看是一个正六边形，中间是一个圆，【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．看得见部分的轮廓线要画成实线，看不见部分的轮廓线要画成虚线．【例题3】（2021广东省）下列图形是正方体展开图的个数为（）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【解析】考查正方体展开图的11种样式的记忆，第一个属于2-3-1样式，第三个属于2-2-2样式，第三个属于3-3样式【例题4】（2021贵州黔东南）由4个棱长均为1的小正方形组成如图所示的几何体，这个几何体的表面积为（）A．18 B．15 C．12 D．6【答案】A【解析】几何体的表面积是几何体正视图，左视图，俯视图三个图形中，正方形的个数的和的2倍．正视图中正方形有3个；左视图中正方形有3个；俯视图中正方形有3个．则这个几何体中正方形的个数是：2×（3+3+3）＝18个．则几何体的表面积为18cm2．【例题5】（2021四川眉山）我国某型号运载火箭的整流罩的三视图如图所示，根据图中数据（单位：米）计算该整流罩的侧面积（单位：平方米）是（）A．π B．π C．12π D．π【答案】C【解析】根据几何体的三视图得这个几何体是上面圆锥下面是圆柱，再根据圆锥的侧面是扇形和圆柱的侧面是长方形即可求解．观察图形可知：圆锥母线长为：＝2（米），所以该整流罩的侧面积为：π××4+π×÷2)×2＝12π（平方米）．答：该整流罩的侧面积是12π平方米．考点问题综合训练一、选择题1．（2021广西玉林）如图是某几何体的三视图，则该几何体是（）A．圆锥 B．圆柱 C．长方体 D．三棱柱【答案】C【解析】该几何体的主视图与左视图、俯视图均为矩形，易得出该几何体的形状．解：该几何体的主视图为矩形，左视图为矩形，俯视图是一个矩形，且三个矩形大小不一，故该几何体是长方体．2．（2021贵州毕节）如图所示的几何体，其左视图是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】画出从左面看这个几何体所得到的图形即可．这个几何体的左视图为：3．（2021黑龙江鹤岗）如图是由5个小正方体组合成的几何体，则该几何体的主视图是（）A．B． C．D．【答案】C【分析】根据主视图为正面所看到的图形，进而得出答案．解：从正面看，底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形．4．（2021浙江温州）直六棱柱如图所示，它的俯视图是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据简单几何体的三视图进行判断即可．从上面看这个几何体，看到的图形是一个正六边形．5．（2021四川雅安）甲和乙两个几何体都是由大小相同的小立方块搭成，它们的俯视图如图，小正方形中数字表示该位置上的小立方块个数，则下列说法中正确的是（）A．甲和乙左视图相同，主视图相同 B．甲和乙左视图不相同，主视图不相同 C．甲和乙左视图相同，主视图不相同 D．甲和乙左视图不相同，主视图相同【答案】D【解析】直接利用俯视图以及小立方体的个数得出左视图与主视图即可得出答案．∵甲、乙都是由5个大小相同的小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，∴甲和乙的主视图均为3列，立方体的个数从左到右分别是1，2，1，∴主视图相同，甲的左视图是有两列，正方体的个数分别是2，1，乙的左视图也是两列，但正方体的个数分别为1，2，故主视图相同、左视图不同．6．（2021湖北黄冈）如图是由四个相同的正方体组成的几何体，其俯视图是（）A．B． C．D．【答案】C【解析】俯视图是从上面看到的图形，据此判断即可．从上面看，是一行三个小正方形．7．（2021湖北荆州）如图是由一个圆柱和一个长方体组成的几何体，则该几何体的俯视图是（）A．B． C．D．【答案】A【解析】根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案．从上边看，是一个矩形，矩形的内部有一个与矩形两边相切的圆．8．（2021吉林）如图，粮仓可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，其主视图是（）A．B． C．D．【答案】A【解析】粮仓主视图上部视图为等腰三角形，下部视图为矩形．9．（2021苏州）如图，圆锥的主视图是（）A．B． C．D．【答案】A【解析】找到从正面看所得到的图形即可．圆锥的主视图是一个等腰三角形。10．（2021浙江衢州）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】从正面看该组合体，所看到的图形与选项A中的图形相同．11.（2021黑龙江大庆）一个儿何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方块的个数，能正确表示该几何体的主视图的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】主视图的列数与俯视图的列数相同，且每列小正方形的数目为俯视图中该列小正方数字中最大数字，从而可得出结论．由已知条件可知：主视图有3列，每列小正方形的数目分别为4，2，3，根据此可画出图形如下：【点睛】本题考查了从不同方向观察物体和几何图像，是培养学生观察能力．12．（2021大连）某几何体的展开图如图所示，该几何体是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．扇形和圆折叠后，能围成的几何体是圆锥．13．（2020·内蒙古鄂尔多斯）已知某物体的三视图如图所示，那么与它对应的物体是A． B． C． D．【答案】B【解析】从上面物体的三视图看出这是一个圆柱体，故排除A选项，从俯视图看出是一个底面直径与长方体的宽相等的圆柱体，故C、D选项不符合题意，故选B．14．（2020·湖北随州）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体为（）A．圆柱 B．圆锥 C．四棱柱 D．四棱锥【答案】A【解析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，从而得出答案．俯视图为圆的几何体为球，圆柱，再根据其他视图，可知此几何体为圆柱．故选：A．15．（2020·四川雅安）一个几何体由若干大小相同的小正方体组成，它的俯视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】在“俯视打地基”的前提下，结合左视图知俯视图上一行三个小正方体的上方（第2层）至少还有1个正方体，据此可得答案.由俯视图与左视图知，该几何体所需小正方体个数最少分布情况如下图所示：16．（2021辽宁本溪）如图，该几何体的左视图是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据左视图的意义，从左面看该几何体所得到的图形即可，注意能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示．从左面看该几何体所得到的图形是一个长方形，被挡住的棱用虚线表示，图形如下：17．（2020·四川）如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的表面积是（）A．20π B．18π C．16π D．14π【答案】B【解析】由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥和圆柱组合体，且底面半径为，∴这个几何体的表面积=底面圆的面积+圆柱的侧面积+圆锥的侧面积=22π+222π+32π=18π，故选：B．【点睛】本题考查了由三视图判断几何体、圆锥和圆柱的计算，由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥和圆柱组合体是解题的关键．18．（2020·宁夏）如图2是图1长方体的三视图，若用S表示面积，，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，∴俯视图的长为a+1，宽为a，∴，故选：A．19.（2020•衡阳）下列不是三棱柱展开图的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据三棱柱的两底展开是三角形，侧面展开是三个四边形，可得答案．【解析】A、C、D中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图．B围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有．故C不能围成三棱柱．20.（2019•山东济宁）如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，该几何体的表面展开图是（） ABCD【答案】B．【解析】考点是几何体的展开图。由平面图形的折叠及几何体的展开图解题，注意带图案的一个面不是底面．本题主要考查了几何体的展开图．解题时勿忘记正四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．注意做题时可亲自动手操作一下，增强空间想象能力．选项A和C带图案的一个面是底面，不能折叠成原几何体的形式；选项B能折叠成原几何体的形式；选项D折叠后下面带三角形的面与原几何体中的位置不同．二、填空题1．（2021云南）如图图形是某几何体的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图）．已知主视图和左视图是两个全等的矩形．若主视图的相邻两边长分别为2和3，俯视图是直径等于2的圆，则这个几何体的体积为．【答案】3π．【解析】由三视图得此几何体为：圆柱，并得到球的半径、圆柱的底面半径和高，由体积公式计算出几何体的体积．解：由三视图知几何体为圆柱，且底面圆的半径是1，高是3，∴这个几何体的体积为：π×12×3＝3π．【点评】本题考查由三视图求体积，解题的关键是熟练掌握三视图的作图规则，由三视图还原出实物图的几何特征。2．（2020·广西百色）如图，长方体的一个底面ABCD在投影面P上，M，N分别是侧棱BF，CG的中点，矩形EFGH与矩形EMNH的投影都是矩形ABCD，设它们的面积分别是S1，S2，S，则S1，S2，S的关系是_____（用“=、＞或＜”连起来）【答案】S1=S＜S2【解析】∵立体图形是长方体，∴底面ABCD∥底面EFGH．∵矩形EFGH的投影是矩形ABCD，∴S1=S．∵EM＞EF，EH=EH，∴S＜S2，∴S1=S＜S2．故答案为S1=S＜S2．3．（2020·吉林长春市）小华家客厅有一张直径为高为的圆桌有一盏灯到地面垂直距离为圆桌的影子为，则点到点的距离为_______．【答案】4【解析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴=.∵，∴CD=2.又∵FC=2,∴DF=CD+FC=2+2=4．故答案为：4．4.（2020浙江丽水）如图为一个长方体，则该几何体主视图的面积为cm2．【分析】根据从正面看所得到的图形，即可得出这个几何体的主视图的面积．【解答】解：该几何体的主视图是一个长为4，宽为5的矩形，所以该几何体主视图的面积为20cm2．故答案为：20．5.（2019•甘肃）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的左视图的面积为．【答案】（18+2）cm2．【解析】由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．该几何体是一个三棱柱，底面等边三角形边长为2cm，高为cm，三棱柱的高为3，所以，其表面积为3×2×3+2×＝18+2（cm2）．6.（2019•河北省）图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，S主＝x2+2x，S左＝x2+x，则S俯＝_____【答案】x2+3x+2【解析】∵S主＝x2+2x＝x（x+2），S左＝x2+x＝x（x+1），∴俯视图的长为x+2，宽为x+1，则俯视图的面积S俯＝（x+2）（x+1）＝x2+3x+2。7.（2019•广西贵港）如图，在扇形OAB中，半径OA与OB的夹角为120°，点A与点B的距离为2，若扇形OAB恰好是一个圆锥的侧面展开图，则