课件第五章代数结构7.环与域

七、环与域

本节讨论具有两个运算的代数系统<A,*,>,它可视为<A,*>和<A,>组合而成的代数系统.我们把第一个运算*称为“加法”，把第二个运算称为“乘法”.

例如，实数集上具有加和乘运算的代数系统<R,+,>.(一)环环：设<A,,*>是代数系统，若1)<A,>是阿贝尔群，2)<A,*>是半群，3)乘法*对加法可分配，即a,b,cA,有a*(bc)=a*ba*c,(bc)*a=b*ac*a,则称<A,

,*>是一个环(ring).说明：为了方便，常称环的第一个运算*为“加法”，并记为+,第二个运算为“乘法”，并记为;在环中，加法幺元记为，加法逆元a-1记为-a,a+(-b)记为a-b.七、环与域例5.7.1判断以下代数系统是否是环.七、环与域代数系统<Z,+,><Q,+,><R,+,><C,+,>环Y代数系统<S,+,><R[x],+,>环YYYYYS表示所有n阶方阵的集合，其中nZ+;R[x]表示所有系数属于实数的x的多项式的集合.例5.7.2证明代数系统<Nk,+k,k>是环.证：1)证明<Nk,+k>是阿贝尔群：i)运算封闭：ii)结合律：[x],[y]Nk,[x]+k[y]=故[x]+k[y]Nk.[x],[y],[z]Nk,[x+y+z][x+y],([x]+k[y])+k[z]==[x]+k([y]+k[z])七、环与域证(续)：1)证明<Nk,+k>是阿贝尔群：例5.7.2证明代数系统<Nk,+k,k>是环.iii)幺元的存在：幺元[0]以自身为逆元，每个非幺元[x]都有逆元[k-x].v)<Nk,+k>关于运算+k可交换：[0]是幺元.iv)[x]Nk存在逆元：[x],[y]Nk,[x]+k[y]==[y]+k[x][x+y]七、环与域2)证明<Nk,k>是半群：证(续)：例5.7.2证明代数系统<Nk,+k,k>是环.i)运算封闭：ii)结合律：[x],[y]Nk,[x]k[y]=故[x]k[y]Nk.[x],[y],[z]Nk,[xyz][xy],([x]k[y])k[z]==[x]k([y]k[z])七、环与域3)证明运算k对运算+k可分配：证(续)：例5.7.2证明代数系统<Nk,+k,k>是环.[x],[y],[z]Nk,[x(y+z)][x]k([y]+k[z])=[x]k[y]+k[x]k[z]=[xy+xz]故[x]k([y]+k[z])=[x]k[y]+k[x]k[z]([y]+k[z])k[x]=[y]k[x]+k[z]k[x].同理可证七、环与域(二)环的性质设<A,+,>是环,a,b,cA,1)环的加法幺元必为乘法零元，即a=a=.a=由消去律可得：类似可证a=.证：a(+)=a+a,a=.2)(-a)b=a(-b)=-(ab).(-a)b+ab=故(-a)b=-(ab).类似可证a(-b)=-(ab).证：((-a)+a)b

=b=,七、环与域3)(-a)(-b)=ab.证：(-a)(-b)=-(a(-b))=-(-(ab))=ab.4)a(b-c)=ab-ac.a(b-c)=a(b+(-c))=ab+a(-c)=ab+(-(ac))=ab-ac.证：5)(b-c)a=ba-ca.(b-c)a=(b+(-c))a=ba+(-c)a=ba+(-(ca))=ba-ca.证：环的性质七、环与域(三)零因子零因子：设<A,+,>是环，若a,bA,a,b,使ab=,则称a,b为零因子，<A,+,>是零因子环.无零因子：无零因子的环称为无零因子环.a,bA,a,b,必有ab.零因子：“两个非零的数相乘等于零”；强调这个概念，是因为a*b=0a=0或b=0(1)这条普通的计算规则，在一个一般的环里并不一定成立；显然，在而且只在一个没有零因子的环里，(1)式才成立.七、环与域定理一：环<A,+,>无零因子,当且仅当<A,>满足消去律（即a,b,cA,若ab=ac,a必有b=c).a,b,cA,若ab=ac,a证：必要性:则ab-ac=,因为<A,+,>无零因子，所以b-c=,从而a(b-c)=,

即b=c.充分性:aA,a,ab=,则ab=a,由消去律所以环<A,+,>无零因子.b=,七、环与域(四)整环交换环：给定环<A,+,>,若<A,>可交换，则称<A,+,>为交换环(commutativering).含幺环：给定环<A,+,>,若<A,>含幺元，则称<A,+,>为含幺环(ringwithunity).整环：给定环<A,+,>,若<A,>可交换、含幺元、无零因子（或满足消去律），则称<A,+,>为整环(integraldomain).环+乘法幺元+乘法可交换+无零因子=整环环+乘法幺元+乘法可交换+乘法消去律=整环七、环与域整环：设<A,+,>是代数系统，若1)<A,+>是阿贝尔群，2)<A,

>是可交换独异点，且无零因子（或满足消去律），3)运算对+可分配，则称<A,+,>是一个整环(ring).整环的另一种定义七、环与域例5.7.3判断以下代数系统是否是整环.七、环与域代数系统<Z,+,><Q,+,><R,+,><C,+,>环Y代数系统<S,+,><R[x],+,><Nk,+k,k>环NYYYYS表示所有n阶方阵的集合，其中nZ+;R[x]表示所有系数属于实数的x的多项式的集合.乘法不可交换，有零因子Y(当且仅当k为质数)(五)域域：设<A,+,>是代数系统，若1)<A,+>是阿贝尔群，2)<A-{},

>是阿贝尔群，3)运算对+可分配，则称<A,+,>是域(field).七、环与域域V.S.整环两者的定义区别在第二条：整环<A,

>是可交换独异点，且无零因子域<A-{},

>是阿贝尔群事实上，域的概念是在整环中增加了“除了零元外，每个元素都有逆元”这个条件.那么域是否有零因子呢？因为

b=.

a-1ab=a-1a,ab=所以域无零因子.定理二：域一定是整环.七、环与域例5.7.4判断以下代数系统是否是域.七、环与域代数系统<Z,+,><Q,+,><R,+,><C,+,>环N代数系统<S,+,><R[x],+,><Nk,+k,k>环NNYYY整环不一定是域.Y(当且仅当k为质数)S表示所有n阶方阵的集合，其中nZ+;R[x]表示所有系数属于实数的x的多项式的集合.必要性：（反证法）证：设<Nk,+k,k>是域，若k不是质数，i)k=1,[a]k[b]=故<Nk,+k,k>不是域，矛盾.ii)k=ab,则则|N1|=1,故N1不是域，矛盾；[0],即[a],[b]是零因子，例5.7.5Nk={[0],[1],,[k-1]},证明<Nk,+k,k>是域当且仅当k是质数.七、环与域充分性：若k为质数，往证<Nk,+k,k>是域.1)证明<Nk,+k>是阿贝尔群：2)证明<Nk-{[0]},k>是阿贝尔群：同例5.7.2的1)i)[a],[b]Nk-{[0]},有[a]k[b]=所以，Nk-{[0]}对k封闭.[ab]Nk-{[0]},ii)[a],[b],[c]Nk-{[0]},有([a]k[b])k[c]=所以，<Nk-{[0]},k>满足结合律.[ab]k[c]=[abc]=[a]k[bc]=[a]k([b]k[c])证(续)：例5.7.5Nk={[0],[1],,[k-1]},证明<Nk,+k,k>是域当且仅当k是质数.七、环与域iii)<Nk-{[0]},k>有幺元：iv)[a]Nk-{[0]},证明[a]存在逆元:[1];假设存在[b],[c]Nk-{[0]},[b][c],使[a]k[b]=[a]k[c],注意到k为质数，不能被分解成两个数的乘积，故等式左边至少有一个数是k的倍数，而这是不可能的.因此，{[a]k[1],[a]k[2],…,[a]k[k-1]}此k-1个数均不相同,其中必有一个为[1].从而[ab]=[ac],不妨设b>c,则ab=nk+r,ac=mk+r,n>m,

因而，a(b-c)=(n-m)k.证(续)：例5.7.5Nk={[0],[1],,[k-1]},证明<Nk,+k,k>是域当且仅当k是质数.七、环与域证(续)：所以[a]Nk-{[0]},[b]Nk-{[0]}使即[a]存在逆元[b].所以<Nk,+k,k>是域.[a]k[b]=[1],v)证明<Nk-{[0]},k>满足交换律：3)证明运算k对运算+k可分配：同例5.7.2的3)[a],[b]Nk-{[0]},有[a]k[b]==[b]k[a][ab]<Nk,+k,k>称为模k整数域.例5.7.5Nk={[0],[1],,[k-1]},证明<Nk,+k,k>是域当且仅当k是质数.七、环与域定理三：有限整环一定是域.设<A,+,>是有限整环，因为A为有限集，不妨设A-{}={a1,a2,,an}，再由运算封闭性，A-{}=则dA-{},使cd=1,

所以，

<A,+,>是域.a,bA,若ab,cA,c,

证：由消去律，acbc,{ca1,ca2,,can}=c(A-{}).设乘法幺元为1,即c有逆元d.七、环与域环&整环&域环整环域七、环与域(六)具有两个运算的代数系统间的同态

设<A,+,>和<B,,>是两个代数系统，若存在映射f:AB满足：a,bA,有(1)f(a+b)=f(a)f(b),(2)f(ab)=f(a)

f(b),则称f是<A,+,>到<B,,>的一个同态映射，并称<f(A),,>是<A,+,>的同态象.七、环与域例5.7.6设<N,+,>是一个代数系统，并设代数系统<{偶,奇},,>的运算表如下：

偶奇偶偶奇奇奇偶若构造映射

偶奇偶偶偶奇偶奇f(n)=偶,若n=2k,k=0,1,2,…奇,若n=2k+1,k=0,1,2,…则f是<N,+,>到<{偶,奇},,>的一个同态映射.七、环与域定理四：任一环的同态象是一个环.证：设<A,+,>是一个环，<B,,>是关于同态映射f的同态象.b1,b2,b3B,由<A,+>是阿贝尔群知，由<A,>是半群知，<B,>是阿贝尔群.<B,>是半群.则存在a1,a2,a3A,使f(ai)=bi,i=1,2,3七、环与域于是b1(b2

b3)=同理可证

(b2b3)b1=(b2b1)(b3b1).所以，<B,,>是一个环.=f(a1)f(a2+a3)=f(a1a2)f(a1a3)=(b1b2)(b1b3)f(a1)(f(a2)f(a3))=(f(a1)

f(a2))(f(a1)

f(a3))=f(a1(a2+a3))=f((a1a2)+(a1a3))定理四：任一环的同态象是一个环.续证：七、环与域例5.7.7