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二、高阶导数的运算法则第四节一、高阶导数的概念机动目录上页下页返回结束高阶导数

第二章一、高阶导数的概念速度即加速度即引例：变速直线运动机动目录上页下页返回结束定义.若函数的导数可导,或即或类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,阶导数的导数称为n

阶导数,或的二阶导数

,记作的导数为依次类推,分别记作则称机动目录上页下页返回结束设求解:依次类推,例1.思考:

设问可得机动目录上页下页返回结束例2.

设求解:特别有:解:规定0!=1思考:例3.设求机动目录上页下页返回结束例4.

设求解:一般地,类似可证:机动目录上页下页返回结束例5.设解:机动目录上页下页返回结束例6.

设求使存在的最高分析:但是不存在.2又阶数机动目录上页下页返回结束二、高阶导数的运算法则都有n

阶导数,则(C为常数)莱布尼兹(Leibniz)公式及设函数推导目录上页下页返回结束规律用数学归纳法可证例7.求解:

设则代入莱布尼兹公式,得机动目录上页下页返回结束例8.设求解:即用莱布尼兹公式求n

阶导数令得由得即由得机动目录上页下页返回结束例9.设由方程确定,解:方程两边对x

求导,得再求导,得②当时,故由①得再代入②得

求机动目录上页下页返回结束①若参数方程二阶可导,且则由它确定的函数可求二阶导数.利用新的参数方程,可得机动目录上页下页返回结束中?例10.设,且求已知解:注意:机动目录上页下页返回结束内容小结(1)逐阶求导法(2)利用归纳法(3)间接法——利用已知的高阶导数公式(4)利用莱布尼兹公式高阶导数的求法如,机动目录上页下页返回结束思考与练习1.

如何求下列函数的

n

阶导数?解:解:机动目录上页下页返回结束(3)提示:

令原式原式机动目录上页下页返回结束解:机动目录上页下页返回结束各项均含因子(x–2)2.(填空题)(1)设则提示:(2)已知任意阶可导,且时提示:则当3

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