数值分析课件第三章函数逼近与计算

数值分析课件第三章函数逼近与计算第一页，共四十页，2022年，8月28日实例：考察某种纤维的强度与其拉伸倍数的关系,下表是实际测定的24个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数是记录:1、引言第二页，共四十页，2022年，8月28日纤维强度随拉伸倍数增加而增加并且24个点大致分布在一条直线附近---------(1)必须找到一种度量标准来衡量什么曲线最接近所有数据点。第三页，共四十页，2022年，8月28日一般使用在回归分析中称为残差称为平方误差。在回归分析中称为残差平方和.从而确定(1)中的待定系数:注意(1)式是一条直线,因此将问题一般化为:什么是最小二乘法第四页，共四十页，2022年，8月28日仍然定义平方误差第五页，共四十页，2022年，8月28日我们选取的度量标准是---------(2)---------(3)第六页，共四十页，2022年，8月28日第七页，共四十页，2022年，8月28日由可知因此可假设因此求最小二乘解转化为二次函数7.1最小二乘法的求法第八页，共四十页，2022年，8月28日由多元函数取极值的必要条件得即第九页，共四十页，2022年，8月28日---------(4)即第十页，共四十页，2022年，8月28日引入记号则由内积的概念可知---------(5)---------(6)显然内积满足交换律第十一页，共四十页，2022年，8月28日方程组(4)便可化为---------(7)将其表示成矩阵形式-----(8)第十二页，共四十页，2022年，8月28日并且其系数矩阵为对称阵所以法方程组的系数矩阵非奇异,即根据Cramer法则,法方程组有唯一解第十三页，共四十页，2022年，8月28日即是的最小值所以因此第十四页，共四十页，2022年，8月28日作为一种简单的情况,基函数之间的内积为平方误差第十五页，共四十页，2022年，8月28日例1.回到本节开始的实例，从散点图可以看出纤维强度和拉伸倍数之间近似与线性关系故可选取线性函数为拟合函数，其基函数为建立法方程组根据内积公式，可得第十六页，共四十页，2022年，8月28日法方程组为解得平方误差为第十七页，共四十页，2022年，8月28日拟合曲线与散点的关系如右图:第十八页，共四十页，2022年，8月28日例2.求拟合下列数据的最小二乘解x=.24.65.951.241.732.012.232.522.772.99y=.23-.26-1.10-.45.27.10-.29.24.561解:从数据的散点图可以看出因此假设拟合函数与基函数分别为第十九页，共四十页，2022年，8月28日6.7941-5.347563.2589-5.34755.1084-49.008663.2589-49.00861002.51.6163-2.382726.7728通过计算,得法方程组的系数矩阵及常数项矩阵为Go!Go!第二十页，共四十页，2022年，8月28日用Gauss列主元消去法,得-1.0410-1.26130.030735拟合的平方误差为图象如图第二十一页，共四十页，2022年，8月28日例3.在某化学反应里,测得生成物浓度y%与时间t的数据如下，试建立y关于t的经验公式t=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16y=4.00,6.40,8.00,8.80,9.22,9.50,9.70,9.86,10.00,10.20,10.32,10.42,10.50,10.55,10.58,10.60解:具有图示的图形的曲线很多，本题特提供两种形式第二十二页，共四十页，2022年，8月28日两边取对数,得得即为拟合函数基函数为解法方程组得平方误差为第二十三页，共四十页，2022年，8月28日用最小二乘法得即无论从图形还是从平方误差考虑在本例中指数函数拟合比双曲线拟合要好平方误差为第二十四页，共四十页，2022年，8月28日从本例看到，拟合曲线的数学模型并不是一开始就能选好的，往往要通过分析确定若干模型之后，再经过实际计算，才能选到较好的模型。第二十五页，共四十页，2022年，8月28日各点的重要性可能是不一样的重度:即权重或者密度，统称为权系数定义加权平方误差为:-----(9)关于加权最小二乘法第二十六页，共四十页，2022年，8月28日使得第二十七页，共四十页，2022年，8月28日由多元函数取极值的必要条件得即第二十八页，共四十页，2022年，8月28日引入记号定义加权内积-----(10)第二十九页，共四十页，2022年，8月28日矩阵形式(法方程组)为方程组(10)式化为-----(11)---(12)第三十页，共四十页，2022年，8月28日平方误差为作为特殊情形,用多项式作拟合函数的法方程组为-----(13)第三十一页，共四十页，2022年，8月28日即正交多项式如何选取呢---(14)7、2用正交多项式作最小二乘拟合第三十二页，共四十页，2022年，8月28日第三十三页，共四十页，2022年，8月28日使得由正交多项式的性质,法方程组第三十四页，共四十页，2022年，8月28日-----(16)-----(17)可化为即得即为利用正交多项式的最小二乘解第三十五页，共四十页，2022年，8月28日平方误差为第三十六页，共四十页，2022年，8月28日例4.是用最小二乘法求拟合这组数据的多项式解:从散点图可知数据和二次多项式拟合较好因此选用