最基础最全张量分析

最基础最全张量分析第一页，共八十五页，2022年，8月28日i—指标——取值范围为小于或等于n的所有正整数n—维数

数变量指标符号第二页，共八十五页，2022年，8月28日一、求和约定和哑指标

§A-1指标符号A张量分析约定求和指标与所用的字母无关指标重复只能一次指标范围用拉丁字母表示3维，希腊字母表2维第三页，共八十五页，2022年，8月28日§A-1指标符号代表27项的和式一、求和约定和哑指标

双重求和第四页，共八十五页，2022年，8月28日二、自由指标

筒写为

j——哑指标i——自由指标，在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同§A-1指标符号第五页，共八十五页，2022年，8月28日三、Kronecker-符号和置换符号(Ricci符号)Kronecker-符号定义§A-1指标符号第六页，共八十五页，2022年，8月28日三、Kronecker-符号和置换符号(Ricci符号)Kronecker-符号定义§A-1指标符号第七页，共八十五页，2022年，8月28日直角坐标系的基矢量

第八页，共八十五页，2022年，8月28日三、Kronecker-符号和置换符号(Ricci符号)Ricci符号定义§A-1指标符号偶次置换奇次置换第九页，共八十五页，2022年，8月28日三、Kronecker-符号和置换符号(Ricci符号)Ricci符号定义§A-1指标符号第十页，共八十五页，2022年，8月28日第十一页，共八十五页，2022年，8月28日第十二页，共八十五页，2022年，8月28日Kronecker-和Ricci符号的关系第十三页，共八十五页，2022年，8月28日§A-2矢量的基本运算

在三维空间中,任意矢量都可以表示为三个基矢量的线性组合

ai为矢量a在基矢量ei下的分解系数,也称矢量的分量

一、矢量点积

A张量分析第十四页，共八十五页，2022年，8月28日§A-2矢量的基本运算

一、矢量点积

二、矢量叉积

A张量分析第十五页，共八十五页，2022年，8月28日§A-2矢量的基本运算

二、矢量叉积

A张量分析证明第十六页，共八十五页，2022年，8月28日§A-2矢量的基本运算

二、矢量叉积

A张量分析第十七页，共八十五页，2022年，8月28日三、矢量的混合积

§A-2矢量的基本运算

Ricci符号A张量分析第十八页，共八十五页，2022年，8月28日四、矢量的并乘(并矢)

§A-2矢量的基本运算

A张量分析并乘第十九页，共八十五页，2022年，8月28日§A-3

坐标变换与张量的定义

A张量分析第二十页，共八十五页，2022年，8月28日坐标变换式§A-3

坐标变换与张量的定义

A张量分析第二十一页，共八十五页，2022年，8月28日互逆、正交矩阵基矢量变换式任意向量变换式A张量分析§A-3

坐标变换与张量的定义

坐标变换系数第二十二页，共八十五页，2022年，8月28日张量的定义——在坐标系变换时,满足如下变换关系的量称为张量

张量的阶——自由指标的数目不变性记法

A张量分析§A-3

坐标变换与张量的定义

第二十三页，共八十五页，2022年，8月28日一、加(减)法

二、矢量与张量的点积(点乘)

左点乘

A张量分析§A-3

坐标变换与张量的定义

矢量与张量点乘的结果仍为张量,新张量b比原张量T的阶数降低一阶

第二十四页，共八十五页，2022年，8月28日§A-4

张量的代数运算

右点乘

对称张量两者才相等A张量分析第二十五页，共八十五页，2022年，8月28日三、矢量与张量的叉积

§A-4

张量的代数运算

左叉乘

A张量分析矢量与张量叉乘的结果仍为张量,新张量与原张量同阶

第二十六页，共八十五页，2022年，8月28日右叉乘

三、矢量与张量的叉积

§A-4

张量的代数运算

A张量分析第二十七页，共八十五页，2022年，8月28日四、两个张量的点积

§A-4

张量的代数运算

A张量分析两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是原两个张量的阶数之和减

2

两个二阶张量点积的结果为一个新的二阶张量,这相当于矩阵相乘

第二十八页，共八十五页，2022年，8月28日五、张量的双点积

§A-4

张量的代数运算

A张量分析两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是原两个张量的阶数之和减4

第二十九页，共八十五页，2022年，8月28日六、张量的双叉乘§A-4

张量的代数运算

A张量分析第三十页，共八十五页，2022年，8月28日七、张量的缩并§A-4

张量的代数运算

A张量分析在张量的不变性记法中,将某两个基矢量点乘,其结果是一个较原张量低二阶的新张量,这种运算称为缩并

第三十一页，共八十五页，2022年，8月28日八、指标置换§A-4

张量的代数运算

A张量分析若对该张量的分量中任意两个指标交换次序,得到一个与原张量同阶的新张量

第三十二页，共八十五页，2022年，8月28日九、对称化和反对称化§A-4

张量的代数运算

A张量分析若张量的任意两个指标经置换后所得的张量与原张量相同,则称该张量关于这两个指标为对称,若与原张量相差一符号,则称该张量关于这两个指标为反称。有6个独立分量

有3个独立分量

第三十三页，共八十五页，2022年，8月28日九、对称化和反对称化§A-4

张量的代数运算

A张量分析

对称化：对已知张量的N个指标进行N!次不同的置换,并取所得的N!个新张量的算术平均值的运算。其结果张量关于参与置换的指标为对称。将指标放在圆括弧内表示对称化运算。第三十四页，共八十五页，2022年，8月28日九、对称化和反对称化§A-4

张量的代数运算

A张量分析

反称化:

对已知张量的N个指标进行N!次不同的置换,并将其中指标经过奇次置换的新张量取反号,再求算术平均值,这种运算称张量的反称化,其结果张量关于参与置换的指标为反称。将指标放在方括弧内表示反称运算。

第三十五页，共八十五页，2022年，8月28日十、商法则若在某坐标系中按某规律给出33=27个数A(ijk),且A(ijk)bk=Cij,其中bk

是与A(ijk)无关的任意矢量,

Cij是张量,那么,A(ijk)必为比Cij高一阶的张量。

§A-4

张量的代数运算

A张量分析用于判定某些量的张量性！第三十六页，共八十五页，2022年，8月28日§A-5

二阶张量（仿射量）A张量分析B的作用如同一个算子,它使空间内每一个向量变换为另一个向量,或者说B能把一个向量空间映射为另一向量空间。

第三十七页，共八十五页，2022年，8月28日§A-5

二阶张量（仿射量）A张量分析一、仿射量的转置BT

对称张量

反对称张量

第三十八页，共八十五页，2022年，8月28日§A-5

二阶张量（仿射量）A张量分析一、仿射量的转置BT

α和b为任意向量

第三十九页，共八十五页，2022年，8月28日A张量分析§A-5

二阶张量（仿射量）一、仿射量的逆B-1

第四十页，共八十五页，2022年，8月28日A张量分析§A-5

二阶张量（仿射量）三、对称仿射量的主向和主值

对于仿射量B,若存在三个相互垂直的方向i,j,k,其映象

B·i,B·j,B·k也相互垂直,则称该三个方向为B的主向。对称仿射量T必存在三个主向和三个相应的主值。主值S满足如下特征方程。第四十一页，共八十五页，2022年，8月28日A张量分析§A-5

二阶张量（仿射量）三、对称仿射量的主向和主值

第四十二页，共八十五页，2022年，8月28日A张量分析§A-5

二阶张量（仿射量）三、对称仿射量的主向和主值

第四十三页，共八十五页，2022年，8月28日三、对称仿射量的主向和主值

笛卡儿坐标

A张量分析§A-5

二阶张量（仿射量）第四十四页，共八十五页，2022年，8月28日A张量分析§A-5

二阶张量（仿射量）四、各向同性张量

各向同性张量——在坐标任意变换时,各分量保持不变的张量

零阶张量(标量)总是各向同性的。一阶张量(即矢量)总不是各向同性的。对于对称二阶张量T,如果其三个主值相等,即S1=S2=S3=λ,则是各向同性的。

第四十五页，共八十五页，2022年，8月28日§A-5

二阶张量（仿射量）四、各向同性张量

证明：(1)4个指标都相同的分量有3个第四十六页，共八十五页，2022年，8月28日§A-5

二阶张量（仿射量）四、各向同性张量

证明：(2)4个指标有3个相同的分量有24个以A1112为例。如绕x2转1800，坐标变换系数为第四十七页，共八十五页，2022年，8月28日要使新坐标的分量A1112与原坐标中的分量A1112

相等，A1112

。必为零。第四十八页，共八十五页，2022年，8月28日所以A1123=0。其它都为零。(3)4个指标中有2个相同的分量有36个以A1123为例。坐标仍绕x2转1800，坐标变换系数同上，则第四十九页，共八十五页，2022年，8月28日将此三类分量用统一形式表示为：(3)4个指标中有2对指标重复的分量有18个。可分为3类，每6个分量相等。第五十页，共八十五页，2022年，8月28日在空间所论域内,每点定义的同阶张量,构成了张量场。一般张量场中被考察的张量随位置而变化。研究张量场因位置而变化的情况使我们从张量代数的领域进入张量分析的领域。笛卡儿坐标系中的张量分析。

A-6张量分析第五十一页，共八十五页，2022年，8月28日

一、哈密顿(Hamilton)算子(梯度算子)

设有标量场(x),

当位置点r(x)变到r(x+dx)时,的增量d命为

梯度算子,矢量算子

A-6张量分析第五十二页，共八十五页，2022年，8月28日

一、哈密顿(Hamilton)算子(梯度算子)

A-6张量分析1.标量场的梯度2.矢量场u的散度

第五十三页，共八十五页，2022年，8月28日

一、哈密顿(Hamilton)算子(梯度算子)

A-6张量分析3.矢量的旋度

第五十四页，共八十五页，2022年，8月28日二、张量场的微分

A-6张量分析1.张量A的梯度

左梯度

右梯度

张量的梯度为比原张量高一阶的新张量第五十五页，共八十五页，2022年，8月28日二、张量场的微分

A-6张量分析1.张量A的散度

左散度

右散度

张量的散度为比原张量低一阶的新张量第五十六页，共八十五页，2022年，8月28日二、张量场的微分

A-6张量分析3.张量A的旋度

左旋度

第五十七页，共八十五页，2022年，8月28日二、张量场的微分

A-6张量分析3.张量A的旋度

右旋度

第五十八页，共八十五页，2022年，8月28日三、散度定理

A-6张量分析高斯积分公式为

第五十九页，共八十五页，2022年，8月28日三、散度定理

A-6张量分析高斯积分公式为——任意阶张量第六十页，共八十五页，2022年，8月28日A-7曲线坐标下的张量分析

一般讨论的张量,都是在笛卡儿坐标系下进行的,在解决具体问题时,往往要求更复杂的坐标系。

一、曲线坐标在笛卡儿坐标系,空间任一点P的向径是设在三维空间某连通区域,给定了笛氏坐标的三个连续可微的单值函数

反函数第六十一页，共八十五页，2022年，8月28日A-7曲线坐标下的张量分析

第六十二页，共八十五页，2022年，8月28日A-7曲线坐标下的张量分析

若函数不是线性函数,则称其为曲线坐标系

用于编排指标i’的次序第六十三页，共八十五页，2022年，8月28日第六十四页，共八十五页，2022年，8月28日A-7曲线坐标下的张量分析

二、局部基矢量

在笛卡儿坐标系,空间任意向量(张量)都可以在基上分解。这种做法可进行两种不同的解释:(l)空间里只有一个固定在原点的基ei,先将向量(张量)平行移至原点,然后在这基上分解。(2)在定义区域内每点都有一个与ei相同的基,即局部基,向量(张量)在本作用点的局部基上就地分解。

在曲线坐标系,如果只用一个固定基的做法,就会使曲线坐标的引人成为无的放矢。我们采用第二种做法,在空间每一点都建立局部基。

第六十五页，共八十五页，2022年，8月28日A-7曲线坐标下的张量分析

第六十六页，共八十五页，2022年，8月28日A-7曲线坐标下的张量分析

二、局部基矢量

取一点处坐标曲线的切向量

自然基

度量张量

第六十七页，共八十五页，2022年，8月28日A-7曲线坐标下的张量分析

二、局部基矢量

求圆柱坐标系的自然基gi

和度量张量gij第六十八页，共八十五页，2022年，8月28日A-7曲线坐标下的张量分析

二、局部基矢量

求圆柱坐标系的自然基gi

和度量张量gij第六十九页，共八十五页，2022年，8月28日A-7曲线坐标下的张量分析

二、局部基矢量

笛卡儿坐标系中关于张量的定义和张量的运算等,可以推广到曲线坐标系,区别只在于这时的基矢量gi及变换系数i’i是空间点位置的函数。如张量A在曲线坐标系可以写成

由于在曲线坐标系并非所有坐标都具有长度量纲,例如,圆柱坐标中的。因此,相对应的自然基矢量就不是无量纲的单位矢量。具有一定物理意义的向量(张量)在这样的基上的各分量并不具有物理量纲,从而给直接的物理解释带来不便。第七十页，共八十五页，2022年，8月28日A-7曲线坐标下的张量分析

二、局部基矢量

为了使张量在每个具体坐标系里能取得具有物理量纲的分量,在正交曲线坐标系,取切于坐标曲线的无量纲单位矢量作为基矢量,即正交单位标架为