数值计算中的基本原则

数值计算中的基本原则第一页，共十八页，2022年，8月28日数值计算中的基本原则(1)避免绝对值小的数做除数;(2)避免两相近数相减;(3)防止大数“吃”小数现象a=109，b=9，设想在8位浮点数系中相加a+b=1.0000000×109+0.000000009×109由于只保留8位有效数，数据09被舍去,实际加法操作a+b计算结果是将a的数据作为计算结果赋值给a+b.2/18第二页，共十八页，2022年，8月28日(4)尽量减少计算工作量(乘、除法次数)例计算

P(x)=1+2x+3x2+4x3+5x4的值

P(x)=1+x(2+x(3+x(4+5x)))一个应用:2进制数转换为10进制数

(11101110)2=27+26+25+0+23+22+2+0=((((((1·2+1)2+1)2+0)2+1)2+1)2+1)2+0=2383/18第三页，共十八页，2022年，8月28日求多项式值的秦九韶算法

输入

x；a0，a1，…，an

S←a0；u←1k

从1到n循环u←x×uS←S+ak×u输出数据S；结束输入x；a0，a1，…，an

S←ank

从

n

到1

循环S←ak－1+x×S输出数据S；结束秦九韶算法P(x)=a0+a1x+a2x2+······+anxn4/18第四页，共十八页，2022年，8月28日例1计算

(

n=0,1,···,20

)5/18第五页，共十八页，2022年，8月28日初值：I0=1–e

–1

n=20时，S20=-递推公式:In=1–nIn-1

(I0=1-e-1)S0=1-exp(-1);S(1)=1-S0;forn=2:20S(n)=1-n*S(n-1)end实际递推:Sn=1-nSn-1|e(S0)|=|S0–I0|<10-15有误！6/18第六页，共十八页，2022年，8月28日In=1-

nIn-1Sn-In=-

n(Sn-1-

In-1)e(Sn)=–ne(Sn-1)=······=(n!)(–1)ne(S0)新算法:In-1=(1-In)/nS(30)=1/31forn=30:-1:2S(n-1)=(1-S(n))/n;endS0=1-S(1),S(1:21)初值误差在算法执行过程中不断增大,这种算法称为数值不稳定算法。7/18Sn-In=–(Sn-1-

In-1)/n第七页，共十八页，2022年，8月28日

在算法执行过程中,舍入误差对计算结果影响不大的一类算法被称为数值稳定算法;否则称为不稳定算法.初始误差在算法执行过程中不断减小,这种算法称为数值稳定算法。|e(S20)|=|S20-I20|=|(1-S21/21)-(1-I21/21)|=|S21-I21|/21=·······=|S30-I30|/(21·22·23·····30)8/18第八页，共十八页，2022年，8月28日

r

d

例2.水中浮球问题

有一半径r=10cm的球体,密度

=0.638.球体浸入水中后,浮出水面的高度h是多少？

设球体浸入水中的深度

d.根据阿基米德定律,物体排开水的质量就是水对物体的浮力。整理得:d3–3rd2+4r3

=09/18第九页，共十八页，2022年，8月28日由

=0.638,r=10.代入,得d3–30d2+2552=0令

f(x)=x3–30x2+2552,函数图形如下所示求解方程f(x)=0,即是求函数f(x)的零点.f(x)的零点所在区间为[10，15]10/18第十页，共十八页，2022年，8月28日第一步:对根进行隔离,找出隔根区间,或在隔根区间内确定一个解的近似值x0;设f(x)=0的根为

x*,通过迭代计算,产生序列:

x0

x1

x2

···

xn·········用数值方法求非线性方程的根,分两步进行:第二步:逐步逼近,利用解的近似值x0,或隔根区间通过迭代算法得到更精确的近似解.只须11/18第十一页，共十八页，2022年，8月28日例3.分期付款购一套30万元的住房.方案是首付7万,以后每月付1500元,15年后付清.这种付款方式实际上是贷款购房,问这样贷款的利息是多少?分析:设代款总额为A,每月付款P,银行利率为x,贷款年限为y=m/12.则有A(1+x)m=P+P(1+x)+P(1+x)2+···+P(1+x)m-112/18第十二页，共十八页，2022年，8月28日令则

f(0.001)=2.4698e+005,f(0.002)=2.2655e+005

f(0.0015)=2.3647e+005,f(0.00175)=2.3144e+005x

=0.0018(年利息约0.0218)13/18第十三页，共十八页，2022年，8月28日已知方程

f(x)=0有一隔根区间[a,b],且f(x)满足f(a)·f(b)<0,则先将[a,b]等分为两个小区间,判断根属于哪个小区间,舍去无根区间保留有根区间[a1,b1];二分法迭代把区间[a1,b1]一分为二,进一步判断根属于哪个更小的区间[a2,b2],如此不断二分以缩小隔根区间长度.14/18第十四页，共十八页，2022年，8月28日[a,b]x0=0.5(a+b)[a1,b1]=[a,x0][a1,b1]=[x0,b]x1=0.5(a1+b1)f(a1)f(b1)<0已知f(x)=0在[a,b]内有一根,且f(a)f(b)<0(1)计算:x00.5(a+b),y0f(x0),y1f(a)

判断,若y0=0,则x0是根,否则转下一步;(2)判断,若y0·y1<0,则a1a,b1

x0

否则

a1x0,b1b,y1

y015/18第十五页，共十八页，2022年，8月28日二分法迭代将得到一系列隔根区间

定理2.2

设x*是f(x)=0在[a,b]内的唯一根,且

f(a)·f(b)<0,则二分法计算过程中,各隔根区间的中点数列性质:1.f(an)·f(bn)<0;2.bn–

an=(b–a)/2n满足:|xn–x*|≤(b–a)/2n+116/18第十六页，共十八页，2022年，8月28日例4

用二分法求方程

在区间[0,1]内的根,要求误差不超过2-5.x=-1:.5:2;y=exp(-x)-sin(pi*x/2);plot(x,y)grid图形显示,有一个点介于0和1之间.显然f(0)·f(1)<0,17/18解:令

,

绘图如下第十七页，共十八页，2022年，8月28日f=inline('exp(-x)-sin(pi*x./2)');a=0;b=1;er=b-a;ya=f(a);k=0