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《自动控制理论基础》第十一讲1九、根之和系统闭环极点之和等于开环极点之和为一常数:将系统开环传递函数的分子、分母展开，得2若系统满足，则系统的特征方程为由代数方程根与系数的关系知，n阶代数方程n个根的和等于第（n-1）次项的系数乘-1。即

--闭环特征根；--开环极点3通常：称为闭环极点重心。当K1值变化时，极点重心不变。利用该性质可估计根轨迹曲线的变化趋势，有助于确定极点位置及相应的K1值。例：巳知系统开环传递函数如下所示4闭环极点之和为-3，极点重心为-1，也即渐进线与实轴的交点，由此可估计根轨迹曲线的变化趋势，如下所示：5十、根之积：当控制系统所有开环零、极点都位于s平面的左半部,则称为最小相位系统;否则为非最小相位系统。若以表示闭环特征根，且系统为最小相位系统，则闭环极点之积为：6若系统无开环零点时，则闭环极点之积为：该关系式是根据代数方程根之积与常数项系数的关系得到的。若系统既有开环零极点，又无开环零点时，则闭环极点之积为：7例：巳知系统开环传递函数如下所示巳知根轨迹与虚轴的交点为：，求第三个闭环极点，并求根轨迹与虚轴交点处的临界K1值。又因开环系统有零极点，又无零点，故8故利用根之积规则，可以求出巳知闭环极点处的K1值。例1：巳知某系统的开环传递函数如下所示，试绘制该系统的根轨迹图。典型例题91、确定开环零、极点：极点：0，-0.5，无有限零点.2、根轨迹起点、终点、分支数：起点：开环极点；终点：；分支数：43、对称性、连续性：（检验）4、实轴上的根轨迹：105、渐近线：因，故存在渐近线：116、分离点：故是高阶代数方程，一般采用‘试探法’求根。由，解出：12高次代数方程近似求根方法：设1、若n为偶数，则其中：比A(s)低二阶。第一次近似：13分别将P(s)、Q(s)作为除式,对A(s)按综合除法相除。若余次不为零，P(s)、Q(s)修正，再作综合除法，直到余项近似为零。2、若n为奇数，则其中：比A(s)低一阶。第一次近似：14分别将P(s)、Q(s)作为除式,对A(s)按综合除法相除。若余次不为零,P(s)、Q(s)修正,再作综合除法，直到余项近似为零。对本例：设有因子：15作综合除法，得余项为：-0.03，基本除尽，故其根为：位于实轴根轨迹上，故是分离点。解出K1<0，故不是分离点。综合前几项求解，可画出在s平面的示意图，如下所示：(注意画根轨迹图时，实轴与虚轴的坐标比例应一致)16177、出射角：即188、根轨迹与虚轴的交点：将代入特征方程中，解出：欲使系统稳定，K1<26.157。可画出系统的根轨迹图如下所示：1920根轨迹的绘制不必太准确，主要是一些关键点需要准确，例如：实轴上的根轨迹、分离点、与虚轴的交点等，这样才能很好确定根轨迹的大致走向。在根据开环零、极点的分布初步确定出根轨迹的图形后，特别要认真检查和计算，是否存在分离点，否则可能导极完全错误的

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