数学分析函数的导数

数学分析函数的导数第一页，共三十九页，2022年，8月28日一、单调性1.单调性证明：第二页，共三十九页，2022年，8月28日2.严格单调性定理1：证明：第三页，共三十九页，2022年，8月28日定理2：证明：仅以一点为例:有限个点类似第四页，共三十九页，2022年，8月28日定理3：证明：第五页，共三十九页，2022年，8月28日第六页，共三十九页，2022年，8月28日3.应用例1解：第七页，共三十九页，2022年，8月28日例2.证明不等式:原理:第八页，共三十九页，2022年，8月28日证明：第九页，共三十九页，2022年，8月28日证明：第十页，共三十九页，2022年，8月28日证明：方法①变形,选辅助函数;②可逐次使用;第十一页，共三十九页，2022年，8月28日二、极值1.必要条件2.极值点:“增减区间的分界点”定理：(极值判定1)第十二页，共三十九页，2022年，8月28日例3.解：列表:第十三页，共三十九页，2022年，8月28日例第十四页，共三十九页，2022年，8月28日在–1和1之间振荡第十五页，共三十九页，2022年，8月28日证明：定理：(极值判定2)第十六页，共三十九页，2022年，8月28日第十七页，共三十九页，2022年，8月28日例4.解：第十八页，共三十九页，2022年，8月28日三、最值步骤:1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,哪个大哪个就是最大值,

哪个小哪个就是最小值;注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)第十九页，共三十九页，2022年，8月28日例5.解：第二十页，共三十九页，2022年，8月28日例6501800可以全部租出每增加100,多一套房子不能租出租出去的房子每月需花费200元的整修维护费．试问房租定为多少可获得最大收入?第二十一页，共三十九页，2022年，8月28日解设房租为每月元，租出去的房子有套，每月总收入为（唯一驻点）故每月每套租金为3500元时收入最高,可收第二十二页，共三十九页，2022年，8月28日实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数;(2)求最值;第二十三页，共三十九页，2022年，8月28日例7.解：第二十四页，共三十九页，2022年，8月28日四、凸函数与凹函数问题:如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位于所张弦的上方图形上任意弧段位于所张弦的下方第二十五页，共三十九页，2022年，8月28日1.凸函数与凹函数定义:等价形式:第二十六页，共三十九页，2022年，8月28日2.Jensen不等式:定理1：定理2：第二十七页，共三十九页，2022年，8月28日定理1的证明：第二十八页，共三十九页，2022年，8月28日对严格凸类似可证;定理2的证明：第二十九页，共三十九页，2022年，8月28日3.判定定理3：(判定1)证明：第三十页，共三十九页，2022年，8月28日反推即可第三十一页，共三十九页，2022年，8月28日定理4：(判定2)第三十二页，共三十九页，2022年，8月28日证明：第三十三页，共三十九页，2022年，8月28日第三十四页，共三十九页，2022年，8月28日定理5：(判定3)第三十五页，共三十九页，2022年，8月28日4.应用(Jensen不等式—不等式机器)例8.证明：第三十六页，共三十九页，2022年，8月28日证明：例9.第三十七页，共三十九页，2022年，8月28日第三十八页，共三十九页，2022年，8月28日作业(数学分析习题集)习题3.6利用导数研究函数1、1);2、4);3